劉瑞銀, 暢藝婷

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

Meta分析是對某一特定問題的諸多研究結(jié)果進行綜合評價的一種統(tǒng)計方法,1976年由Glass首次命名為meta分析,并將其定義為以綜合已有的研究結(jié)果為目的,對單項研究結(jié)果進行綜合的統(tǒng)計學(xué)方法。Meta分析最早被應(yīng)用于教育學(xué)等社會科學(xué)領(lǐng)域,20世紀(jì)90年代開始被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)領(lǐng)域[1-6]。

假設(shè)研究的總體為X～F(x;μ,σ2),其中均值μ為感興趣的總效應(yīng)量?，F(xiàn)有K個調(diào)查小組對該問題進行調(diào)查研究,得到了K組樣本x1,x2,…,xK,其中

每一組的樣本均值記為ti,又稱作子效應(yīng)量。樣本均值ti的誤差記為vi,其中i=1,2,…,K。Meta分析指的是,在不知道原始樣本x1,x2,…,xK,只知道由原始樣本估計的子效應(yīng)量ti及子效應(yīng)量的誤差數(shù)據(jù)vi的情況下,如何對效應(yīng)量μ進行估計。

這里需要特別注意的是,研究中感興趣的效應(yīng)量不一定是均值,而是根據(jù)實際情況而定的統(tǒng)計量。在本文中,不加注明的話,假設(shè)是均值。

1 Meta分析

Meta分析根據(jù)所建立模型的不同可以分為固定效應(yīng)模型和隨機效應(yīng)模型。下面分別介紹meta分析的這2種模型,并對它們進行比較。

1.1 固定效應(yīng)模型

在固定效應(yīng)模型下,假設(shè)所有的研究都來自于同一個總體[8],那么它們估計的效應(yīng)量μ是相同的,也就是說μ1=μ2=…=μK=μ,實驗數(shù)據(jù)來自均值為μ方差為σ2的分布,即xij～F(x;μ,σ2),觀測效應(yīng)Ti的分布為Ti～F(x;μ,vi)。在這種模型下只有一種誤差即組內(nèi)誤差。如圖1所示,總體是均值為μ方差為σ2的分布,觀測效應(yīng)為Ti,ei為隨機誤差,也就是組內(nèi)誤差,觀測效應(yīng)Ti的表達式為

Ti=μ+ei

圖1 固定效應(yīng)模型Fig.1 Fixed effect model

研究中通常用樣本量來作為權(quán)重,例如攜帶1 000個個體的研究得到的權(quán)重會是攜帶100個個體的研究的權(quán)重的10倍。但是這種方法并不精確,因此meta分析提出運用每組研究的方差的倒數(shù)來作為每組研究的權(quán)重[9],也就是說第i個研究的權(quán)重wi為

(1)

其中vi為第i組研究中子效應(yīng)的方差。

Meta分析的計算方法及步驟如下[10-12]:

(2)

聯(lián)合效應(yīng)的方差為權(quán)重和的倒數(shù),表達式為

(3)

推導(dǎo)過程如下:

聯(lián)合效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為

(4)

則95%的置信區(qū)間為

(6)

單尾檢驗p值為

p=1-Φ(|Z|)

(7)

雙尾檢驗p值為

p=2[1-Φ(|Z|)]

(8)

其中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

1.2 隨機效應(yīng)模型

Ti=μ+εi+ei

其中:εi為組間誤差;ei為組內(nèi)誤差。

圖2 隨機效應(yīng)模型Fig.2 Random effect model

隨機效應(yīng)模型將誤差分為2個部分,組內(nèi)誤差和組間誤差,當(dāng)分配權(quán)重的時候也是運用這2個部分來計算,這樣會更加精確。設(shè)總方差為Q,其公式如下

(9)

它是由組內(nèi)方差和組間方差相加得到的,如果方差的來源只有組內(nèi)方差,那么Q的期望值就會等于自由度df,其中

df=(NumberStudies)-1

證明如下:

其中

帶入(10)式得

其中總方差Q減去自由度df得到的是額外方差,也就是組間方差,記為τ2,其表達式為

(11)

表1 植物種群密度和植物質(zhì)量對植物代謝率的影響

由于隨機效應(yīng)模型的計算公式與固定效應(yīng)模型的形式一致,這里不再重復(fù)。

2 實例分析

表1是2012年統(tǒng)計的植物種群密度和植物質(zhì)量對植物的代謝率的影響[16],其中原假設(shè)為植物種群密度和植物質(zhì)量對植物的代謝率無影響,備擇假設(shè)為植物種群密度和植物質(zhì)量對植物的代謝率有影響。

若將該研究模型看作固定效應(yīng)模型,利用R語言進行計算,每一組的權(quán)重可以根據(jù)式(1)給出,根據(jù)式(2)到式(8)其他計算結(jié)果為

v=0.020 2

LowerLimit=0.678 6-1.96*0.142 2=0.399 9

UpperLimit=0.678 6+1.96*0.142 2=0.957 3

P1T=1-(Φ(|4.772 4|))<0.000 1

P2T=2[1-(Φ(|4.772 4|))]<0.000 1

由于2個p值都小于0.000 1,所以拒絕原假設(shè),也就是說有理由相信植物種群密度和植物質(zhì)量對植物的代謝率有影響。

若將其看做隨機效應(yīng)模型,由式(9)得到總方差Q的值為

因該模型自由度為5,大于總方差Q,由式(10)知,組間方差τ2為0,所以該模型為固定效應(yīng)模型。

3 結(jié) 語

因固定效應(yīng)模型假定所有研究都來自一個總體,即影響每個研究的效應(yīng)的元素是相同的,所以估計值也就是聯(lián)合效應(yīng)是相同的,模型誤差僅來自于每個研究固有的隨機誤差,即組內(nèi)誤差。但隨機效應(yīng)模型假定每個研究來自不同總體,所以得到的是一個分布,估計值是分布的均值,模型的誤差不僅來自于組內(nèi)誤差,還來自于研究與研究間的組間誤差。另外,在處理一些比較極端的實驗時,固定效應(yīng)模型會忽視一些比較小的研究,但是隨機效應(yīng)模型不會,因此隨機效應(yīng)模型的權(quán)重會比固定效應(yīng)模型平衡一些。

因此當(dāng)選擇固定效應(yīng)模型來進行計算時,有理由相信所有研究的功能是相同的,研究的目的是計算共同的效應(yīng)然后將其推廣到其他相同總體的例子中。如選擇隨機效應(yīng)模型,由于數(shù)據(jù)來自前人研究,所以研究功能不同,這些研究對象或干預(yù)可能會對結(jié)果有影響,對此研究目的是將其推廣到一系列不同總體中。但如研究數(shù)量較小,不太可能精確估計組間誤差,所以此時選擇固定效應(yīng)模型。