□胡 丹

教材對數(shù)學教學活動的開展有著深刻的指導意義，它是教學的主要資源，是教與學的重要憑借。教師只有認真研讀教材，準確理解教材的編寫意圖，尋找課程標準與教材的連接點，才能有效地開展教育教學活動?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)”是小學數(shù)學計算教學的核心內(nèi)容，是后續(xù)學習多位數(shù)乘法的重要基礎(chǔ)。筆者基于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一內(nèi)容，選取中國的人教版《數(shù)學》（以下簡稱人教版）和美國的My Math（以下簡稱MM 版）進行比較研究，以期為教材編者和小學數(shù)學教育工作者提供參考，從而促進教學，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、兩版教材編寫依據(jù)的比較

人教版教材的編寫依據(jù)是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱中國課標）。中國課標中關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容是這樣描述的：“能口算一位數(shù)乘兩位數(shù)，能計算一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法?！盡M 版教材的編寫依據(jù)是Common Core State Standards For Mathematics（以下簡稱CCSS 課標）。CCSS 課標中關(guān)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的內(nèi)容是這樣描述的：“用基于位值和運算性質(zhì)的策略來計算最多四位數(shù)的整數(shù)乘一位數(shù)的整數(shù)、兩個兩位數(shù)相乘；使用方程式、矩形陣列或面積模型說明和解釋計算?！眱砂嬲n程標準對兩位數(shù)乘兩位數(shù)內(nèi)容的要求有異同。

相同之處是兩版課程標準對算法的要求基本相同。運算能力是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)之一，是發(fā)展其他數(shù)學素養(yǎng)的重要基石。兩版課程標準都要求學生能計算一位數(shù)乘多位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，只是中國課標要求計算的是一位數(shù)乘三位數(shù)，而CCSS 課標要求的是一位數(shù)乘最多四位數(shù)的整數(shù)。一位數(shù)乘三位數(shù)和一位數(shù)乘四位數(shù)的計算方法是一樣的，所以兩版課程標準對這一算法的掌握程度基本是一致的。

不同之處是兩版課程標準對口算要求以及算理要求存在差異。能正確、合理、簡捷地進行口算，體現(xiàn)了學生良好的數(shù)學素養(yǎng)。中國課標中提到“能口算一位數(shù)乘兩位數(shù)”，表明中國數(shù)學教育界對學生口算能力的重視，而CCSS 課標中卻沒有類似的相關(guān)要求出現(xiàn)。另外，培養(yǎng)運算能力，首先要讓學生明白為什么這樣算，即要讓學生理解算理。CCSS 課標中提到“用基于位值和運算性質(zhì)的策略來計算”“使用方程式、矩形陣列或面積模型說明和解釋計算”，可見CCSS課標明確要求通過多個途徑幫助學生理解算理，而中國課標在這方面沒有詳細的陳述。

二、兩版教材在內(nèi)容編排上的比較

兩版教材都是以圖文并茂的形式呈現(xiàn)教學內(nèi)容，并以兒童的視角為切入點，配以常見的生活場景的。但在具體內(nèi)容的編排上兩版教材還是存在差異，具體從以下三方面進行比較。

（一）知識準備的比較

在學習“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”前，兩版教材在這一單元中的知識準備內(nèi)容羅列如下表。

知識準備內(nèi)容人教版（三年級下冊）口算乘法■■■例1：口算一位數(shù)乘法例2：口算整十數(shù)乘法練習例1：筆算整十數(shù)乘法(一次進位)例2：筆算整十數(shù)乘法(連續(xù)進位)獨立練習回家作業(yè)2.乘法的估算■1.整十數(shù)乘法My Math（Grade 4）■ ■ ■■ ■■■■■例1：乘法的估算(四舍)例2：乘法的估算(五入)獨立練習3.動手操作■■■畫一畫、說一說、練一練、用一用和寫一寫家庭作業(yè)

由上表可以發(fā)現(xiàn)，MM 版教材在重點內(nèi)容“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”學習前，對知識的準備要更充分些，主要體現(xiàn)在動手操作這一內(nèi)容上。采用畫一畫、說一說、練一練、用一用、寫一寫的方式，學生能理解并掌握通過面積模型把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的一位數(shù)乘整十數(shù)和一位數(shù)乘兩位數(shù)的知識，為后續(xù)學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算做鋪墊。

畫一畫，是先讓學生在矩陣面積模型中找到12×15，接著通過把因數(shù)15 分成10 和5，并在矩陣面積模型中標注每個部分，再在簡化后的面積模型中找到12×10和12×5，并計算出結(jié)果。而且在畫一畫之前，還讓學生回顧了如何利用乘法分配律求出兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘積并用面積模型表征，可見對于利用面積模型來表征乘法算式，學生是有基礎(chǔ)的。

說一說，是讓學生分別說說如何利用乘法分配律求12×18 和14×17，也就是通過“一數(shù)拆和”的方法來求兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積。

練一練，是讓學生畫一個面積模型，然后利用乘法分配律在面積模型中找到每個部分的乘積。在第一題36×24 中，作了面積模型表征的示范，而且練習的乘法算式有涉及連續(xù)進位的47×19，以及因數(shù)比較特殊的52×11，46×22。

用一用，是先出示需要解決的問題，然后讓學生根據(jù)面積模型寫出乘法算式并求出乘積。最后讓學生改錯，改正錯誤使用面積模型計算的情況。

寫一寫，是讓學生解釋為什么乘法分配律適用于兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

以上五個實踐活動為兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算教學奠定了較為扎實的基礎(chǔ)。

（二）算理理解的比較

兩版教材都通過數(shù)形結(jié)合的表征方法來幫助學生理解算理，但在呈現(xiàn)的形式上又各有不同。

人教版教材呈現(xiàn)的表征方式比較豐富，有實物圖、學具圖、點子圖，運用這三類圖循序漸進地幫助學生理解算理。具體樣例如下所示。

而MM版教材更多的是通過面積模型來呈現(xiàn)。從最開始的矩陣面積模型過渡到普通的面積模型，如下所示。

矩陣面積模型

普通面積模型

可見，人教版教材在幾何直觀的呈現(xiàn)上形式更多樣，而MM版教材則相對比較單一。

（三）算法掌握的比較

人教版教材在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法上一共出示了三種算法，分別是：“一數(shù)拆積”轉(zhuǎn)換、“一數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換和豎式計算。下面是三種算法的樣例。

“一數(shù)拆積”轉(zhuǎn)換方法

“一數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換方法

豎式計算方法

MM版教材在算法上共呈現(xiàn)了四種算法，分別是：“一數(shù)拆積”轉(zhuǎn)換、“一數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換、“兩數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換和豎式計算。以下是四種算法的樣例。

“一數(shù)拆積”轉(zhuǎn)換方法

“一數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換方法

“兩數(shù)拆和”轉(zhuǎn)換方法

豎式計算方法

MM版教材在算法種類的呈現(xiàn)上多了一種“兩數(shù)拆和”的方法。這種方法對于四年級學生來說是比較難理解的，所以教材只是借助面積模型呈現(xiàn)，最后200＋40+70+14 這一步驟，省略了中間27×12轉(zhuǎn)換為（20+7）×（10+2）=20×10＋20×2+7×10+7×2的過程?？梢?，這一方法呈現(xiàn)的目的是引出與之對應(yīng)的面積模型，讓學生會運用這個模型來計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)。所以在算法種類的呈現(xiàn)上，MM版教材借助面積模型呈現(xiàn)得更多更深。

但在學習“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”時，人教版教材第一課時的算法呈現(xiàn)更多樣，把三種算法都加以呈現(xiàn)。而MM 版教材只有“兩數(shù)拆和”和豎式計算兩種方法。

三、思考與建議

通過兩版教材的對比，我們可以發(fā)現(xiàn)有很多地方值得思考。

（一）實踐操作具體化，讓學生的數(shù)學思考更深入

兩版教材最大的區(qū)別就是實踐操作環(huán)節(jié)。人教版教材把實踐操作滲透在每個課時中，相對比較隱晦。而MM版教材則是獨立成一個課時，給出了更充足的時間和空間，讓學生來實踐操作。

在教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”前，筆者曾對本校三年級兩個班的學生做過前測，發(fā)現(xiàn)學生的學習起點普遍較高，近90%的學生能正確計算12×14，12×24兩道題，有50%的學生會用兩種及以上的方法來計算，但能借助點子圖來表示計算過程的學生比例卻不到20%?？梢?，很多學生會算，但不能很好地表示出為什么可以這么算。

因此，筆者建議教材編寫者在編寫“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一單元時，可在教材中留出具體實踐操作的課時，讓學生有足夠的機會和時間來探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法的“數(shù)學化”過程，從而生發(fā)自己的數(shù)學體會，讓數(shù)學思考力通過實踐操作不斷生長，最終能更深入地進行數(shù)學探究活動，提高數(shù)學素養(yǎng)。同時也讓教師在教學時能明確實踐操作的重要性，并在教學中更好地加以體現(xiàn)和實施。

（二）計算方法多樣化，讓學生的數(shù)學思維更開放

在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一單元中，兩版教材都體現(xiàn)了算法的多樣化。特別是人教版教材，在筆算乘法中同時出示了三種算法，這三種算法之間又都有聯(lián)系。這不僅激發(fā)了學生的個性化學習，更讓學生在探索和展示自己算法的過程中，體會到了數(shù)學學習的快樂。

因此，教師在教學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時要體現(xiàn)算法的多樣化，讓學生不斷地去思考“能不能算”“怎樣算更好”。這樣不僅能讓學生掌握數(shù)學知識，更能讓學生掌握數(shù)學思想，學會運用數(shù)學思維，最終讓數(shù)學能力得到更好的發(fā)展。

（三）幾何直觀可視化，讓學生的數(shù)學觀察更敏銳

在幫助學生理解算理時，兩版教材都借助了數(shù)形結(jié)合的方法。人教版教材的實物圖、學具圖、點子圖，MM版教材的矩形陣列、面積模型，都用直觀的形式描述了乘法運算的抽象過程，在形象思維和抽象思維之間構(gòu)架橋梁，讓思考過程可視化，讓學生形成敏銳的觀察力。

因此，筆者建議教師在教學時可利用實物圖、點子圖、面積模型等手段，讓計算過程和思考過程更直觀，讓學生能在形象與抽象之間觀察到共性，最終理解算法。

綜上所述，通過對中美教材的比較，梳理異同，能讓教師更深刻地挖掘教材的內(nèi)涵，為更有效地開展教育教學活動，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)奠定實踐基礎(chǔ)。