朱小扣

(安徽省無(wú)為第三中學(xué)城北校區(qū) 238300)

筆者發(fā)現(xiàn)構(gòu)造局部不等式在證明競(jìng)賽題與數(shù)學(xué)通訊等期刊的征解題中有著重要的作用.本文將從四個(gè)角度去構(gòu)造局部不等式，以期拋磚引玉.

一、利用切線法構(gòu)造局部不等式

?(2a-1)2≥0 (0

①+②即證.

用切線法可以解決很多題目，如數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題332：

例2(數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題332)已知正數(shù)x,y,z滿足xy+yz+zx≤3，求證：

同理：

①+②+③得：

令a=xy,b=yz,c=zx，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在a+b+c≤3的條件下，求證：

由切線法得只需證：

?4≥(1+a)(3-a)?(a-1)2≥0.

④+⑤+⑥得：

故原命題得證.

二、利用割線法構(gòu)造局部不等式

上述例題用割線法可以很快解決.又如數(shù)學(xué)通訊問(wèn)題399：

例4(數(shù)學(xué)通訊399問(wèn)題)已知△ABC,記BC=a,CA=b,AB=c，求證：

原命題等價(jià)于：

下面先證明：

三式相加得：

故原不等式得證.

三、利用均值不等式構(gòu)造局部不等式

故只需證明：

故原不等式得證.

例6 (數(shù)學(xué)通訊398問(wèn)題)已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c≤12，求證：abc≤2a+5b+10c.

當(dāng)且僅當(dāng)a=5,b=4,c=3時(shí)取等號(hào).

即證.

本題證明是筆者采用文[2]中類似的構(gòu)造方法寫出來(lái)的，非常令人不解的是為什么這樣構(gòu)造局部不等式，原因如下：

先a=5,b=4,c=3時(shí)取等號(hào)，

此法還可以解決很多類似的題目.

四、利用支撐函數(shù)構(gòu)造局部不等式

例7(數(shù)學(xué)通訊390問(wèn)題)已知正數(shù)a,b,c,d且滿足abcd=1，求證：

于是，f′(x)單調(diào)遞減，而f′(1)=0

易得，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0,x∈(1,+)時(shí)，f′(x)<0.

?f(x)≤f(1)=0,即證①式.

四式相加，即證.

此種方法有別于切線法的“以直代曲”，這是“以曲代曲”.又如：

例8(2004年波蘭奧林匹克)已知正數(shù)a,b,c且滿足a2+b2+c2=1，求證：

以下證明：

故①式恒成立.故：

三式相加，即證.

類似地，還可以解決很多不等式競(jìng)賽題，如：2005年摩爾多瓦競(jìng)賽題等.

以上闡述了四種構(gòu)造局部不等式證明試題的方法，正是”花開四朵，各自妖嬈.”

當(dāng)然，能用構(gòu)造局部不等式去證明的題目可能遠(yuǎn)不止這四種，希望大家能繼續(xù)研討升級(jí).