劉 煒 (江蘇省蘇州中學(xué) 215006)

“核心素養(yǎng)”是本次課改的關(guān)鍵詞，指新時(shí)代的公民必須具備的人格品質(zhì)及其關(guān)鍵能力，是落實(shí)“立德樹人”的重要標(biāo)尺．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的六個(gè)核心素養(yǎng)被寫進(jìn)課程目標(biāo)，即希望能貫穿高中數(shù)學(xué)教育的全過程．落實(shí)課程目標(biāo)的重要載體和途徑是教學(xué)，要與傳統(tǒng)的以逐個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“了解”“識(shí)記”“理解”為目標(biāo)的教學(xué)相區(qū)別，其關(guān)鍵在于實(shí)施“主題教學(xué)”．主題教學(xué)設(shè)計(jì)倡導(dǎo)將教學(xué)內(nèi)容置于主題整體內(nèi)容中去把控，更多地關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊(yùn)涵的思想以及學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)．[1]如何能讓主題教學(xué)的理念在一線教學(xué)中落地生根？筆者以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例談主題教學(xué)在具體課堂中的實(shí)踐，并加以反思．

1 教學(xué)內(nèi)容分析

教學(xué)設(shè)計(jì)過程通常包括三個(gè)環(huán)節(jié)：前期準(zhǔn)備，開發(fā)設(shè)計(jì)，評(píng)價(jià)修改．前期準(zhǔn)備工作是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，主題教學(xué)設(shè)計(jì)首先需要對(duì)主題內(nèi)容進(jìn)行整體分析，包括數(shù)學(xué)整體分析、課程標(biāo)準(zhǔn)要求分析、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析、內(nèi)容重點(diǎn)(本質(zhì))分析、教材對(duì)比分析、教學(xué)方式分析等；其次，在此基礎(chǔ)上確定主題教學(xué)目標(biāo).這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，主題目標(biāo)不是每個(gè)知識(shí)點(diǎn)目標(biāo)的總合，而是綜合提煉，如此更容易體現(xiàn)通識(shí)核心素養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成程度，這個(gè)環(huán)節(jié)是教學(xué)的關(guān)鍵．[2]由此，針對(duì)課題“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”，筆者著重對(duì)以下幾個(gè)要素進(jìn)行分析．

1.1 數(shù)學(xué)整體分析

從數(shù)列一章來(lái)看，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是對(duì)等差數(shù)列研究的進(jìn)一步討論，是數(shù)列求和研究的第一個(gè)案例，對(duì)等比數(shù)列求和可能有一定啟發(fā)性.從函數(shù)主線來(lái)看，其本質(zhì)在于研究前n項(xiàng)和這個(gè)新數(shù)列的通項(xiàng)公式，即屬于離散變量的函數(shù)模型，從而可以用“圖象”描述數(shù)列求和變化情況.從課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看，求和可以給定積分的定義和運(yùn)算奠定基礎(chǔ)，也是級(jí)數(shù)最初級(jí)的形態(tài)，從而可以走向函數(shù)問題研究的高級(jí)階段——微積分．

1.2 課程標(biāo)準(zhǔn)分析

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具．在教學(xué)目標(biāo)中，要求學(xué)生了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性．[3]在理解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的聯(lián)系上，最直接的經(jīng)驗(yàn)就是利用函數(shù)研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，從而得到等差數(shù)列前n項(xiàng)和與一元二次函數(shù)的聯(lián)系．

1.3 學(xué)生學(xué)情分析

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的概念以及等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)和簡(jiǎn)單性質(zhì)；有研究函數(shù)的常規(guī)方法，表示函數(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)；在初中階段，對(duì)一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式與圖象有深刻的認(rèn)識(shí)；在小學(xué)階段，儲(chǔ)備過等差數(shù)串、高斯和等內(nèi)容的活動(dòng)體驗(yàn)，三角形、梯形面積公式推導(dǎo)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．在此基礎(chǔ)上，對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的探究活動(dòng)就可以有豐富的視角進(jìn)行切入，從不同的維度加以理解．

2 教學(xué)過程簡(jiǎn)述

本節(jié)課是蘇教版必修5中的內(nèi)容，在課程標(biāo)準(zhǔn)的框架和主題教學(xué)的引領(lǐng)下，以函數(shù)為主線來(lái)探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，教學(xué)設(shè)計(jì)分成五個(gè)環(huán)節(jié)，即問題、探究、歸納、應(yīng)用、升華.下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐加以闡述．

2.1 問題：發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

教師從復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義引入課堂，提醒學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待實(shí)際問題，觀察教材中鋼管堆放的案例，從而發(fā)現(xiàn)并提出問題，即研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．

引例圖1是一堆鋼管的截面圖，請(qǐng)計(jì)算鋼管的數(shù)量．

圖1

將鋼管數(shù)量抽象成數(shù)字求和，可累加解決.因此教師追問：如何求1+2+3+4+5+6+…+ 2 035的值？在模型相同、數(shù)據(jù)較多時(shí)加以抽象，從而呼喚“公式”以解決一類問題．由此發(fā)現(xiàn)并提出問題：

已知{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an．

教師帶領(lǐng)學(xué)生分析，在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1、公差d是確定的，前n項(xiàng)和隨n的變化而變化，因此確立的目標(biāo)是將Sn寫成關(guān)于n的函數(shù)φ(n)．根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以將求和改造為Sn=na1+(1+2+…+(n-1))d.雖然是關(guān)于n的函數(shù)形態(tài)，但不能稱為公式，從而將問題轉(zhuǎn)化為研究前(n-1)個(gè)正整數(shù)的和：1+2+…+(n-1)，為方便記錄，可研究前n個(gè)正整數(shù)的和f(n)=1+2+…+n．

如果將表達(dá)式再次還原成鋼管堆放的問題(如 圖2)，不難發(fā)現(xiàn)，f(n)就是畢達(dá)哥拉斯研究的第n個(gè)三角形數(shù)．

評(píng)注本環(huán)節(jié)為“問題”，即引入課題，有兩個(gè)要素值得思考：其一，從外在形式來(lái)看，用什么樣的情境是十分關(guān)鍵的．往往有教師為求新求異而創(chuàng)設(shè)情境，這時(shí)便脫離了教材，因此在“用教材教”時(shí)首先要問的問題是“教材創(chuàng)設(shè)的情境是什么?目的如何?”，接著追問“它是否體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)？本班學(xué)生是否熟悉和理解該情境？自己能否理解和把握該情境？”等問題．[4]據(jù)此,選擇教材中鋼管堆放的問題是最貼近學(xué)生生活、最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的．其二，從邏輯本質(zhì)來(lái)看，為什么要研究本課題才是至關(guān)重要的．累加適用于簡(jiǎn)單較少數(shù)的求和，一旦數(shù)據(jù)增多便需要新的方法，這是刺激學(xué)生探究的動(dòng)機(jī)，也是本節(jié)課研究的邏輯起點(diǎn)，這樣的“問題意識(shí)”才是真的素養(yǎng).學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，才能有接下來(lái)的研究問題．

2.2 探究：經(jīng)驗(yàn)意識(shí)，模型意識(shí)

圖3

表1 三角形數(shù)

評(píng)注常規(guī)來(lái)說(shuō)，對(duì)于等差數(shù)串的求和技術(shù)是承接小學(xué)的知識(shí)，偶數(shù)個(gè)可以配對(duì)、奇數(shù)個(gè)可以添項(xiàng)或減項(xiàng)，其本質(zhì)源自前面對(duì)于鋼管的觀察，發(fā)現(xiàn)對(duì)稱項(xiàng)的和相等.這個(gè)觀點(diǎn)是等差數(shù)列求和公式很重要的技術(shù)要領(lǐng)，也是人們簡(jiǎn)便計(jì)算的一個(gè)主要原因．在本環(huán)節(jié)中，重點(diǎn)在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和處理數(shù)據(jù).其一，數(shù)列的觀念是列數(shù)，通過列數(shù)找規(guī)律，這需要學(xué)生有較強(qiáng)的歸納意識(shí)；其二，模型的建立通過數(shù)據(jù)擬合，也就是從代數(shù)角度出發(fā)由對(duì)部分的研究去揭示整體數(shù)據(jù)的特點(diǎn)．這樣的處理可以平移到等比數(shù)列，再借鑒“裂項(xiàng)”的方案就可以找到“錯(cuò)位相減”的理論依據(jù).從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，本節(jié)課就實(shí)踐了“主題教學(xué)”的理念．

2.3 歸納：解決問題，推廣問題

表2

評(píng)注教材使用鋼管堆放作為引例，其目的在于讓學(xué)生觀察到“倒序和相等”的現(xiàn)象，從而便于推導(dǎo)出求和公式.本環(huán)節(jié)中,使用等差數(shù)列代數(shù)形式上的對(duì)稱性，從而得到“下標(biāo)和相等則項(xiàng)的和相等”的性質(zhì)，再次從幾何直觀的角度推導(dǎo)求和公式，回應(yīng)小學(xué)時(shí)梯形的面積公式．

2.4 應(yīng)用：運(yùn)用公式，反思公式

教師在分析兩個(gè)公式的基礎(chǔ)上給出例題，即對(duì)新得的兩個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．

變式 (類教材例2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，an=101，Sn=2 600，求d及n．

這兩個(gè)問題是簡(jiǎn)單的，方法是明確的.其后，教師引導(dǎo)學(xué)生提出并思考兩個(gè)問題：

圖4

思考2 將例1(2)中的數(shù)列制成表3，并轉(zhuǎn)化為圖4，即寬度為1的柱狀統(tǒng)計(jì)圖，此時(shí)前10項(xiàng)的和就是這些柱形圖的面積．你可以聯(lián)想到物理學(xué)中的什么現(xiàn)象？

表3

學(xué)生易聯(lián)想到物理學(xué)中勻加速運(yùn)動(dòng)中的v-t圖象，其面積就是位移．此時(shí)教師加以點(diǎn)評(píng)，求和從幾何角度理解即為研究矩形面積之和．

例2(教材例3改編)在等差數(shù)列中，完成如下問題：

(1)第1項(xiàng)到第3項(xiàng)的和為3，第4項(xiàng)到第6項(xiàng)的和為6，求第7項(xiàng)到第9項(xiàng)的和；

(2)第1項(xiàng)到第5項(xiàng)的和為5，第6項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為10，求第11項(xiàng)到第15項(xiàng)的和；

(3)第1項(xiàng)到第4項(xiàng)的和為4，第5項(xiàng)到第8項(xiàng)的和為8，求第9項(xiàng)到第12項(xiàng)的和．

在實(shí)際教學(xué)過程中，由于從思考2得到類比，學(xué)生十分容易得到答案，也可以歸納出一般性的結(jié)論：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …成首項(xiàng)為Sn、公差為n2d的等差數(shù)列．

評(píng)注應(yīng)用如果僅僅落實(shí)在公式的選擇上，那么就是膚淺的．波利亞曾指出：回顧已經(jīng)完成的解答是解題工作中的一個(gè)重要且有啟發(fā)性的階段.由此說(shuō)來(lái)，從解決問題的過程中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題才是具有生長(zhǎng)性的．在本環(huán)節(jié)中，我們不僅通過例題的練習(xí)與講解鞏固并重新認(rèn)識(shí)了公式，同時(shí)又一次從函數(shù)形態(tài)的圖形特點(diǎn)理解了公式，其中矩形面積之和的問題指向了高等數(shù)學(xué)中的級(jí)數(shù)與積分，為未來(lái)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，積累經(jīng)驗(yàn)．

2.5 升華：回顧課堂，拓展課堂

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課，發(fā)現(xiàn)分成兩大塊：數(shù)學(xué)建構(gòu)和數(shù)學(xué)應(yīng)用.其中數(shù)學(xué)建構(gòu)部分讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，解決問題的全過程；數(shù)學(xué)應(yīng)用部分在應(yīng)用知識(shí)的過程中又一次讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題．最后留給學(xué)生一個(gè)拓展問題，即楊輝在《詳解九章算法》(1261)提出的“三角垛”：下廣，一面十二個(gè)，上尖，問：計(jì)幾何？術(shù)文說(shuō)：下廣加一乘之，平積，下廣加二乘之，立高方積，如六而一．答數(shù)：364．

評(píng)注課程標(biāo)準(zhǔn)要求組織學(xué)生收集、閱讀數(shù)列方面的研究成果，特別是我國(guó)古代的優(yōu)秀研究成果．通過相關(guān)問題的提出，首先讓學(xué)生思考問題如何得以解決，即是否可以通過本節(jié)課所得的研究方法去研究該問題；其次讓學(xué)生去體會(huì)古人的表達(dá)以及對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)，從而感悟我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就．事實(shí)上，本節(jié)課所提出來(lái)的“歸納猜測(cè)通項(xiàng)”與“類比面積公式”的方法都可以進(jìn)行移植，也就是從代數(shù)與幾何角度分別得以解決，從而鞏固了思想方法，延展了時(shí)間空間．

3 教學(xué)實(shí)踐反思

回顧這堂課的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，與傳統(tǒng)的教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生了一些分歧，也帶來(lái)一點(diǎn)思考．本次教學(xué)活動(dòng)在主題教學(xué)方面做出了一些探索，也給筆者帶來(lái)了一些體會(huì)，整理如下，以期促進(jìn)以后的教學(xué)活動(dòng)．

3.1 從知識(shí)教學(xué)到主題教學(xué)

知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)側(cè)重于對(duì)知識(shí)生成、理解和應(yīng)用的教學(xué)，是孤立的；主題教學(xué)設(shè)計(jì)則不是單純知識(shí)點(diǎn)傳輸與技能訓(xùn)練的安排，而是教師基于學(xué)科素養(yǎng)，思考怎樣描繪基于一定目標(biāo)與主題而展開探究活動(dòng)敘事的活動(dòng)，目的是為了創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的教學(xué)[5]，是整體的．例如，對(duì)立足于知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)來(lái)說(shuō)，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)都是發(fā)現(xiàn)并使用“倒序相加”的方法推導(dǎo)“公式”，然后利用圖形理解公式的兩種形態(tài)，繼而選擇合適的公式加以應(yīng)用．而在主題教學(xué)設(shè)計(jì)引領(lǐng)下，本節(jié)課就應(yīng)該側(cè)重于如何發(fā)現(xiàn)并提出問題，即提煉前n項(xiàng)和的概念；如何分析問題，即如何得到公式；如何解決問題，即如何推導(dǎo)該公式．事實(shí)上，“倒序相加”是屬于等差數(shù)列的獨(dú)門秘籍，不具推廣性，而“歸納猜想”“裂項(xiàng)相消”屬于數(shù)列的基本心法，具有普適性，因此數(shù)列的主題教學(xué)要側(cè)重于通性通法的探究與使用，以期平移或借鑒到其他問題的研究中，這才能真正做到“教是為了不教”．

3.2 從計(jì)數(shù)視角到函數(shù)視角

計(jì)數(shù)是基本的活動(dòng)，函數(shù)是抽象的模型，計(jì)數(shù)形成的數(shù)列可以看成函數(shù)中一類特殊的分支，這是在課程標(biāo)準(zhǔn)中特別強(qiáng)調(diào)的．筆者認(rèn)為，以函數(shù)為主線的單元主題教學(xué)讓數(shù)列的研究得以拓展，不再囿于數(shù)列本身的研究方法，而是參考函數(shù)主題的研究技術(shù)真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與體系的融通．例如傳統(tǒng)意義上，觀察與歸納數(shù)列通項(xiàng)是對(duì)于數(shù)據(jù)形式上的考察與試探的過程，而在函數(shù)觀念下就可以用數(shù)據(jù)擬合的思想給離散的數(shù)據(jù)提供一個(gè)參考模型，因此可作出更為理性與科學(xué)的猜測(cè)；在傳統(tǒng)意義上對(duì)兩個(gè)公式的理解是借助梯形面積公式，而在函數(shù)觀念下就可以用通項(xiàng)作為“一次函數(shù)”的對(duì)稱性來(lái)理解求和，也可以把求和理解為“勻加速運(yùn)動(dòng)”的位移，從而為將來(lái)學(xué)習(xí)積分與級(jí)數(shù)提供鋪墊．如此，讓學(xué)生理解到“問題研究”要做到“為目標(biāo)所用”，即所用方法服務(wù)于問題解決；讓學(xué)生體會(huì)到“知識(shí)學(xué)習(xí)”要做到“為未來(lái)所用”，即所取形態(tài)服務(wù)于知識(shí)發(fā)展．

從知識(shí)教學(xué)到主題教學(xué)是理念層面的，從計(jì)數(shù)視角到函數(shù)視角是實(shí)踐層面的，兩者相互聯(lián)系，即理念指導(dǎo)實(shí)踐、實(shí)踐促進(jìn)理念．因此筆者認(rèn)為，在教學(xué)過程中，首先要有主題教學(xué)理念的引領(lǐng)，思考知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)體系中的位置，然后采用合適的研究方法和呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)體系中的作用，如此才能實(shí)現(xiàn)主題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)．