葉立軍 (杭州師范大學經(jīng)亨頤教師教育學院 311121)

鄭淑雪 (杭州師范大學理學院 311121)

1 問題提出

教材是教學活動的主要載體，反應(yīng)課程理念與目標．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)指出“函數(shù)”是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用，是貫穿高中數(shù)學課程的主線．[1]本文選取高中函數(shù)的核心內(nèi)容之一“基本初等函數(shù)”，從宏觀和微觀的角度對中美兩版教材進行定性、定量的比較分析，為我國的教材修訂和教師教學提供一些參考．

2 研究對象

“基本初等函數(shù)”內(nèi)容分別選自我國2019年人民教育出版社出版的普通高中課程標準教科書A版(下稱“人教社2019版”)和美國Franklin D. Demana版的Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic(8th edition)(下稱“美國Franklin D. Demana版”)．

3 宏觀比較

3.1 背景信息比較

將兩版教材中基本初等函數(shù)內(nèi)容按背景信息進行比較[1]，得到表1．

由表1，兩版教材均把基本初等函數(shù)內(nèi)容放在第一冊的兩章中，認為基本初等函數(shù)是高中數(shù)學學習的基礎(chǔ)內(nèi)容．美國Franklin D. Demana版篇幅約為人教社2019版篇幅的2倍,且我國課程標準重視該部分數(shù)學運算與數(shù)學建模等素養(yǎng)的發(fā)展．

表1 基本初等函數(shù)背景信息比較

3.2 知識編排比較

選取兩版教材中基本初等函數(shù)的內(nèi)容進行整體比較，得到表2．

表2 兩國教材編排方式比較表

續(xù)表

由表1，在編排順序上，兩版教材均為冪函數(shù)→指數(shù)函數(shù)→對數(shù)函數(shù)的編寫順序，思路清晰，層層遞進．人教社2019版在冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)兩小節(jié)之后均設(shè)計了函數(shù)應(yīng)用部分．美國Franklin D. Demana版教材將應(yīng)用內(nèi)容放在最后方程與建模小節(jié)．在知識內(nèi)容上，美國Franklin D. Demana版教材在冪函數(shù)前加入了十二種基礎(chǔ)函數(shù)、復合函數(shù)等內(nèi)容，涉及知識內(nèi)容較多．

3.3 欄目分布比較

對兩版教材中欄目分布概括，得到圖1和圖2所示的框架．

圖1 人教社2019版

圖2 美國Franklin D.Demana版

由圖1、2，章頭內(nèi)容設(shè)計不同．人教社為生活背景，而美國Franklin D.Demana版設(shè)置What you will learn about…and why的環(huán)節(jié)(圖3)，明確地給出本章節(jié)的學習目標與學習必要性．

圖3 美國Franklin D. 圖4 美國Franklin D. Demana版學習目標 Demana版資料卡

在旁白設(shè)置上，人教社2019版教材的思考環(huán)節(jié)設(shè)置在正文下，是內(nèi)容的補充．而美國Franklin D.Demana版的思考環(huán)節(jié)設(shè)置在探究活動之后，用于對探究活動和知識點整體掌握情況的反思．

4 微觀比較

4.1 知識呈現(xiàn)方式比較

高中的基本初等函數(shù)部分中指數(shù)函數(shù)是較為重要的內(nèi)容，故將“指數(shù)概念的引入”和“指數(shù)性質(zhì)的導出”兩部分從知識呈現(xiàn)方式、知識背景、例習題難度[3]的維度進行比較分析．

表3 兩版教材“指數(shù)概念引入”知識呈現(xiàn)方式比較表

注：括號中為習題數(shù)．

由表3，在知識導入與體驗上，人教社2019版回顧舊知導入，構(gòu)建生活與科學情境間接得到指數(shù)的定義．美國FranklinD.Demana版則通過比較自變量的不同位置直接得出定義，區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)．

在知識講解與應(yīng)用上，人教社2019版由淺入深，從兩個案例抽象出指數(shù)函數(shù)概念，通過數(shù)學運算與抽象的練習進行鞏固．美國FranklinD.Demana版只進行數(shù)學運算訓練．

在知識拓展上，美國FranklinD.Demana版運用信息技術(shù)中的算法編程，估算自然對數(shù)的底數(shù)e的大?。?/p>

表4 兩版教材“指數(shù)性質(zhì)導出”知識呈現(xiàn)方式比較表

由表4，在知識導入與體驗上，人教社2019版通過圖象表征導入、體驗性質(zhì)．美國FranklinD.Demana版計算函數(shù)值，歸納數(shù)值特點體驗性質(zhì)，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)字敏感度和數(shù)據(jù)分析能力．在知識拓展上，人教社2019版用幾何畫板驗證指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助信息技術(shù)使函數(shù)性質(zhì)更加直觀．美國FranklinD.Demana版給出人口數(shù)據(jù)說明，拓寬學生視野．

此外，兩版教材在問題情境構(gòu)建上有較大差異．

表5 兩版教材“指數(shù)概念引入”“指數(shù)性質(zhì)導出”問題情境比較表

人教社2019版設(shè)置情境如游客數(shù)預測等，已將其抽象成數(shù)學問題且數(shù)據(jù)較理想化．而美國FranklinD.Demana版情境數(shù)較多，運用大量的現(xiàn)實素材，注重情境的真實性、可信性與趣味性，同時運用信息技術(shù)進行數(shù)據(jù)分析與預測．美國FranklinD.Demana版設(shè)置了校園謠言的數(shù)學實驗，使學生體會數(shù)學的趣味性與生活中的數(shù)學現(xiàn)象．真實的數(shù)學情境會使問題更具有復雜性，考查綜合能力，實現(xiàn)數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的全面發(fā)展．

4.2 知識背景比較

將“指數(shù)概念的引入”和“指數(shù)性質(zhì)的導出”兩部分涉及背景分成生活背景、文化背景、科學背景、數(shù)學背景四個方面進行比較，得到圖5．

圖5 知識背景比較

由圖5，兩版教材的知識背景分布總體差異不大，數(shù)學背景占比最高，科學占比均為4%，且兩版教材知識點中較少涉及到文化背景．人教社2019版教材生活背景占比較少，更多的是數(shù)學背景，人教社2019版傾向于在數(shù)學抽象中的運用，把基本初等函數(shù)作為工具解決其他數(shù)學問題．而美國FranklinD.Demana版生活背景占比近四分之一，傾向于基本初等函數(shù)在生活中的運用．

4.3 例習題綜合難度比較

人教社2019版將習題分為復習鞏固、綜合應(yīng)用、拓廣探索三部分．美國FranklinD.Demana版習題分為兩大部分：復習鞏固與拓展提高．其中在每個知識點后均有對應(yīng)復習鞏固部分習題的索引，以達到及時鞏固的目的(圖6)．

圖6 復習鞏固習題的索引

根據(jù)鮑建生教授建立的綜合難度模型[4]，對兩版教材中“指數(shù)概念的引入”和“指數(shù)性質(zhì)的導出”兩部分的例題與課后習題進行綜合難度分析．其中，美國FranklinD.Demana版練習量為95題,遠大于人教社2019版的40題(圖7)．

圖7 兩版教材例習題綜合難度比較圖

在數(shù)學認知、知識綜合、運算方面，人教社2019版領(lǐng)會和探究兩個層次數(shù)值較高，“多個知識點”層面與簡單符號運算占比較多．而美國FranklinD.Demana版操作題與“兩個知識點”層面占比較多，且多為數(shù)值運算，注重基礎(chǔ)鞏固，對綜合應(yīng)用的要求較低．在推理因素上，人教社2019版復雜推理稍多，美國FranklinD.Demana版多為簡單推理．在背景方面，人教社2019版無背景占比較高，美國FranklinD.Demana版生活背景較多，重視數(shù)學與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學應(yīng)用于生活的能力．

在綜合難度上，人教社2019版數(shù)學認知層面難度較高，美國FranklinD.Demana版更強調(diào)數(shù)學運算．為進一步分析數(shù)學運算的例習題，對數(shù)學運算習題類型的個數(shù)進行統(tǒng)計．

表6 兩版教材運算題類型個數(shù)統(tǒng)計

由表6，美國FranklinD.Demana版在運算題類型上較多，旨在培養(yǎng)學生在面對不同運算題時，能夠高效地、有效地選擇合適算法的能力．同時，美國FranklinD.Demana版在運算例題旁附有代碼運算結(jié)果，把算法訓練與信息技術(shù)結(jié)合起來．

5 幾點啟示

5.1 合理設(shè)置反思欄目，有效促進深度學習

美國FranklinD.Demana版在探究活動之后設(shè)置反思欄目，強調(diào)在基本活動后對探究內(nèi)容、行為、運用的數(shù)學思想等進行自我反思．反思是深度學習中重要的一環(huán)，是對知識內(nèi)容理解程度的自我評價．因此，適當設(shè)置反思欄目，構(gòu)建數(shù)學核心素養(yǎng)的反思支架，引導學生積極思考已學知識，梳理學習策略，自我評估掌握知識情況，有效促進學生深度學習．

5.2 合理運用信息技術(shù)，有效發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)

數(shù)學運算不是機械的程序化操作，應(yīng)當對運算的正確性、敏捷性以及算法的有效性和高效性都要有所要求[5]．美國FranklinD.Demana版教材習題中數(shù)學運算題類型多，并將數(shù)學運算與信息技術(shù)相結(jié)合．《課標》提出在基本初等函數(shù)部分發(fā)展數(shù)學運算．適當增加運算題的類型，將數(shù)學算法與信息技術(shù)結(jié)合，合理運用信息技術(shù)加深數(shù)學算法的理解．注重培養(yǎng)在面對不同題型時，快速選擇合適算法的能力，拓寬解題思路，有效發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)．

5.3 注重知識多元化表征，滿足個性化發(fā)展需要

人教社2019版由圖象與符號表征直觀地理解、體驗核心知識，建立函數(shù)與圖象之間的聯(lián)系．美國FranklinD.Demana版由圖象表征和數(shù)值特點理解知識，并利用索引聯(lián)結(jié)習題．知識的表征是信息在大腦中的構(gòu)建與再認的過程．對同一核心內(nèi)容給出多元化的知識表征，滿足學生思維多樣性需求，促進個性化發(fā)展，提高學生的主動性與創(chuàng)造力．[6]且通過核心內(nèi)容不同外在表征之間的轉(zhuǎn)換，幫助學生優(yōu)化函數(shù)內(nèi)容的理解．