張 宇，汪 權(quán)，王建國

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009)

1 引 言

壓電俘能器可以將環(huán)境振動轉(zhuǎn)化成電能，為微電子器件自供電提供了一種可行的途徑。線性壓電俘能器LPH只能在固有頻率附近非常有限的帶寬內(nèi)有效，能量轉(zhuǎn)化效率低[1-3]。

為了提高能量俘獲的效率，雙穩(wěn)態(tài)非線性俘能器越來越受到學(xué)者重視[4]。相對于LPH而言，雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器BPH的輸出電壓和工作頻帶都有大幅度改善[5-10]。然而，當(dāng)外界激勵(lì)強(qiáng)度較低時(shí)，BPH無法產(chǎn)生大幅度阱間運(yùn)動，僅在單一勢阱內(nèi)產(chǎn)生小幅度阱內(nèi)運(yùn)動，因而不能充分發(fā)揮BPH的優(yōu)勢，降低了俘能效率。

為了使俘能器在較低的外部激勵(lì)下獲取電能，Aldraihem等[11]提出了帶有彈性放大器EM的俘能器，并建立了相應(yīng)的分析模型。唐禮平等[12]提出了新型彈性放大器，建立了分布參數(shù)型運(yùn)動微分方程，獲得了相應(yīng)的解析解。Wang等[13]研究了具有彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)俘能器BPH+EM的非線性動力學(xué)特性。彈性放大器的主要功能是放大基底激勵(lì)的振幅或加速度，使雙穩(wěn)態(tài)俘能器在較低基底激勵(lì)下產(chǎn)生大幅度阱間運(yùn)動，提高俘能器的工作效率。

本文采用機(jī)電耦合的廣義Hamilton原理，建立了具有彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能系統(tǒng)的力學(xué)模型，并利用調(diào)和平衡法獲得了該系統(tǒng)的解析解。研究了彈性放大器剛度質(zhì)量比對BPH+EM性能的影響，將BPH+EM與BPH的性能進(jìn)行了分析對比。

2 俘能器的結(jié)構(gòu)模型

圖1為BPH+EM結(jié)構(gòu)模型。BPH由懸臂式壓電雙晶片復(fù)合梁和三個(gè)永久磁鐵組成，梁的左端固定在U型框架的左側(cè)壁，一塊磁鐵固定在懸臂梁的右端(尖端磁鐵)，另兩塊磁鐵固定在U型框架的右側(cè)壁(外部磁鐵)，尖端磁鐵與外部磁鐵間的水平距離為d，兩塊外部磁鐵間的豎向距離為2h，調(diào)整磁鐵間的距離，可以改變磁力勢能的大小。懸臂梁由基層和上下兩層厚度相等的壓電層組成，每個(gè)壓電層上下兩個(gè)表面由薄電極完全覆蓋。兩個(gè)壓電層在厚度方向上極化相反，并與外部負(fù)載電阻串聯(lián)電連接。EM包括U框架和彈簧元件，EM位于BPH和基底之間。

力電耦合的廣義Hamilton原理為

(1)

式中δ是變分符號，T為系統(tǒng)動能，UB為壓電雙晶片復(fù)合梁的勢能，UM為磁鐵相互作用產(chǎn)生的磁力勢能，Um為放大器的勢能，We為壓電片中的電能，W為外力功，分別表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

圖1 BPH+EM結(jié)構(gòu)模型

Fig.1 Model of bistable piezoelectric energy harvester with elastic magnifier

磁力勢能是由A,B和C三塊磁鐵相互作用產(chǎn)生。利用磁偶極子模型[14]，磁力勢能表示為

(7)

式中 真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H·m-1，mA=[MAVAcosθ，MAVAsinθ]，mB=[MBVB，0]，mC=[MCVC， 0]，MA=MB=MC=M0為磁鐵的磁化強(qiáng)度，VA=VB=VC=2bm×hm×hm為磁鐵體積。

因bm?l,θ≈0，則bmsinθ?w(l,t)，Δx≈0，rB A=[-d，w(l,t)-h]，rC A=[-d，w(l,t)+h]。

(8)

(9)

(10)

(4d4-27d2h2+4h4)+

(11)

將方程(2～6,8)代入方程(1)，進(jìn)行變分運(yùn)算可得

(12)

(13)

式中 (·)和(··)分別代表對時(shí)間τ的一次和兩次導(dǎo)數(shù)，其他符號定義如下。

3 調(diào)和平衡法

采用調(diào)和平衡法，求出BPH+EM系統(tǒng)動力響應(yīng)的解析解。利用方程(13)第一式與第二式消去變量b，方程(13)簡化為

(14)

式中F=-M2Fe/Kl。

假設(shè)方程(14)的解可表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

在方程(16～18)中，

(21)

在穩(wěn)態(tài)情況下，所有對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)均等于0。利用方程(16)可以得到，阱間運(yùn)動時(shí)A=0，阱內(nèi)運(yùn)動時(shí)A2=-(k1/k2+1.5Z2)。利用方程(17～20)能夠求得梁端位移以及電壓幅值的解析表達(dá) 式為

(22)

(23)

方程(22)是變量Z的6次非線性代數(shù)方程。由方程(22)求出Z，然后代入方程(23),即可求出V。根據(jù)功率與電壓的關(guān)系，得到功率的表達(dá)式為

(24)

4 結(jié)果與討論

利用第3節(jié)獲得的解析表達(dá)式，研究具有彈性放大器的雙穩(wěn)態(tài)俘能器BPH+EM的動力性能，討論彈性放大器的質(zhì)量剛度比對能量俘獲的頻帶寬度和俘能效率的影響。

當(dāng)彈性放大器的無量綱剛度km→∞時(shí)，方程(14)退化為普通雙穩(wěn)態(tài)俘能器BPH的運(yùn)動方程：

(25)

(26)

方程(26)的外部激勵(lì)為0，故而動力響應(yīng)為0。因此,可以得到如下推論，當(dāng)km→0但不等于0時(shí)，BPH+EM的俘能效果低于BPH。

分析中采用的物理和幾何參數(shù)如下[14,15]。

l=71.68 mm,bs p=12.62 mm,hs=0.76 mm

ζ=0.01,e31=-11.6 C/m2,YI=0.2079 N·m2

d=9.5 mm,h=8.5 mm,mm=0.12 kg

k=30 kN/m

取激勵(lì)強(qiáng)度F=0.001和激勵(lì)頻率ω=1.0，分析BPH+EM與BPH俘能效果的差異。

圖2表明BPH的頻率響應(yīng)曲線僅有一個(gè)共振峰值，功率峰值P=0.01462 W(ω=1.31);而BPH+EM的頻率響應(yīng)曲線則有兩個(gè)共振峰值，P1=0.25501 W(ω=1.55)，P2=0.02621 W(ω=1.96)，兩個(gè)共振峰值之間存在有限的頻帶寬度。BPH+EM的俘能效率和頻帶寬度都優(yōu)于BPH。

圖2 功率-頻率響應(yīng)曲線

Fig.2 Power-frequency response curve

圖3表明BPH只有一個(gè)功率峰值P= 0.01462 W(ω=1.31)，BPH+EM的第一功率峰值為P1=0.00767 W(ω=0.56)，第二功率峰值為P2=0.00529 W(ω=0.96)。說明在剛度質(zhì)量比較小時(shí)，BPH+EM的功率峰值低于BPH的功率峰值，驗(yàn)證了方程(26)推論的正確性。

圖3 功率-頻率響應(yīng)曲線

Fig.3 Power-frequency response curve

從圖4可以看出，BPH+EM在F=0.000378處發(fā)生大幅阱間運(yùn)動，并產(chǎn)生V=0.03223的輸出電壓，而BPH在F=0.000624時(shí)才能產(chǎn)生大幅阱間運(yùn)動，且輸出電壓V=0.03106。因此，BPH+EM由阱內(nèi)運(yùn)動轉(zhuǎn)換為阱間運(yùn)動所需要的起始激勵(lì)閾值低于BPH所需要的起始激勵(lì)閾值。

圖4 電壓-激勵(lì)強(qiáng)度響應(yīng)曲線

Fig.4 Voltage -excitation response curves

圖5表示彈性放大器的剛度質(zhì)量比rk m=k/mm對BPH+EM系統(tǒng)產(chǎn)生阱間運(yùn)動所需要的起始激勵(lì)閾值的影響。隨著rk m增加，起始激勵(lì)閾值快速減小并達(dá)到最小值；隨著rk m的增加，起始激勵(lì)閾值緩慢增大并逼近BPH的起始激勵(lì)閾值。當(dāng)激勵(lì)頻率ω分別為1.0,1.5和2.0時(shí)，最優(yōu)rk m分別為83.3，250.0和416.7，對應(yīng)的起始激勵(lì)閾值分別為0.00011，0.00014和0.00018，因而不同的激勵(lì)頻率所對應(yīng)的最優(yōu)rk m是不同的。

圖5rk m對起始閾值的影響

Fig.5 Effect ofrk mon starting threshold

圖6表示彈性放大器剛度質(zhì)量比rk m對功率-頻率響應(yīng)曲線的影響。rk m分別為105.0，235.0，416.7和713.3時(shí),對應(yīng)的第一功率峰值和頻率為P1=0.07146 W(ω=1.00)，P1=0.17989 W(ω=1.50)，P1=0.56204 W(ω=2.00)和P1=0.05412 W(ω=2.00)。

圖6 不同rk m時(shí)的功率-頻率響應(yīng)曲線

Fig.6 Power-frequency response curve of differentrk m

圖7表示隨著rk m增大，BPH+EM功率峰值的變化曲線。當(dāng)激勵(lì)強(qiáng)度F分別為0.001,0.002和0.003時(shí)，功率峰值P的最大值分別為1.20683 W，1.96131 W和3.28103 W，對應(yīng)的最優(yōu)rk m分別為625.0，125.0和1875.0。

圖7rk m對電壓峰值的影響

Fig.7 Effect ofrk mon maximum voltage

圖6和圖7的結(jié)果均表明，隨著rk m的增大，BPH+EM的功率峰值增大，rk m達(dá)到某一量值時(shí)，功率峰值達(dá)到最大值；然后，隨著rk m的增大，功率峰值逐漸減小，因而彈性放大器存在最優(yōu)的剛度質(zhì)量比rk m；隨著rk m趨于無限大，BPH+EM功率峰值與BPH功率峰值相同。

圖8表示rk m對BPH+EM的頻帶寬度的影響。激勵(lì)強(qiáng)度F分別為0.001，0.002和0.003時(shí)，最優(yōu)的rk m分別為625.0，1450.0和2000.0，對應(yīng)的頻帶寬度分別為2.62，3.92和4.68。 圖8表明，在rk m較小時(shí)，BPH+EM的頻帶寬度小于BPH的頻帶寬度；隨著rk m增大，BPH+EM的頻帶寬度逐步增加并超過BPH的頻帶寬度，達(dá)到極值；然后，隨著rk m增大，BPH+EM的頻帶寬度逐步減小，最終逼近BPH的頻帶寬度。

圖8rk m對頻帶寬度的影響

Fig.8 Effect ofrk mon frequency bandwidth

5 結(jié) 論

本文研究了彈性放大器的剛度質(zhì)量比rk m對BPH+EM俘能性能的影響規(guī)律，將BPH+EM與BPH的性能進(jìn)行了分析對比。主要結(jié)論如下。

(1) 當(dāng)彈性放大器的無量綱剛度km→∞時(shí)，BPH+EM俘能器退化為BPH俘能器。當(dāng)彈性放大器的無量綱剛度km→0但不等于0時(shí)，BPH+EM的俘能效果低于BPH。

(2) 對于BPH+EM俘能系統(tǒng)，彈性放大器的剛度質(zhì)量比rk m存在最優(yōu)值，合理選擇BPH+EM俘能器的rk m可以提升俘能器的能量轉(zhuǎn)換效率，拓寬工作頻帶，降低產(chǎn)生大幅度阱間運(yùn)動的起始激勵(lì)閾值。