范俊海，賈菊芳，賴安迪，周震寰，徐新生

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024)

1 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，設(shè)備和器件向輕型化和微型化發(fā)展，石墨烯和納米結(jié)構(gòu)得到廣泛應(yīng)用[1]。如納米轉(zhuǎn)子、光子晶體懸臂傳感器和掃描探針原子力學(xué)顯微鏡等[2]。納米結(jié)構(gòu)作為納米器件中的關(guān)鍵部件，往往起到不可或缺的作用。石墨烯作為一種納米結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力響應(yīng)直接影響到納米器件的性能，因此對(duì)其進(jìn)行研究是十分必要的。

在小尺度效應(yīng)下，經(jīng)典彈性理論已經(jīng)不能表述納米結(jié)構(gòu)的問(wèn)題,因此提出一些新的理論方法來(lái)分析納米結(jié)構(gòu)。Eringen[3]的非局部理論作為一種連續(xù)彈性理論已經(jīng)應(yīng)用于納米結(jié)構(gòu)靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的分析?；贜avier解法，可以得到鑲嵌在粘彈性介質(zhì)中的單層簡(jiǎn)支石墨烯受迫振動(dòng)問(wèn)題的解析表達(dá)式[4]。Navier解法也可以求解板內(nèi)磁場(chǎng)作用下，簡(jiǎn)支雙層正交各向異性納米板的受迫振動(dòng)問(wèn)題[5]。Navier解法在解決熱環(huán)境下正交各向異性簡(jiǎn)支納米板在移動(dòng)載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題時(shí)也是有效的[6]，但是局限在解決簡(jiǎn)支納米板的動(dòng)力問(wèn)題。由于懸臂納米板振動(dòng)問(wèn)題邊界條件的特殊性，目前還沒(méi)有有效的方法進(jìn)行解析求解。辛方法[7,8]對(duì)于非簡(jiǎn)支板問(wèn)題有一定的優(yōu)勢(shì)[9,10]，可將問(wèn)題歸結(jié)為辛本征解展開(kāi)。在特殊的非簡(jiǎn)支板動(dòng)力問(wèn)題中，采用哈密頓體系的方法可以得到受迫的解析解[11]。本文針對(duì)多層懸臂石墨烯系統(tǒng)，采用非局部彈性理論和哈密頓體系相結(jié)合的方法以及子問(wèn)題分解方法，研究了其受迫振動(dòng)問(wèn)題的動(dòng)力特性，并提出一種有效的方法。

2 基本問(wèn)題

采用非局部理論和正交各向異性板模型，引入線性微分算子L=1-ξ22，式中ξ2為微觀非局部參數(shù)，2為L(zhǎng)aplacian算子。在頻域下每一層板的控制方程可以寫成統(tǒng)一形式：

圖1 基本模型

Fig.1 The model

L(pww+pw′w′+q)=0

(1)

3 邊界條件及分解

根據(jù)基本模型，兩石墨烯板均為懸臂支承，即一邊為固支條件(以字母C表示)，另三邊為自由邊界條件(以字母F表示)，在數(shù)學(xué)上邊界條件[15]表示為

Vx|x = 0=0,Mx|x = 0=0,w|x = a=0

θx|x = a=0,Vy|y = 0,b=0,My|y = 0,b=0

(2)

Vx|x = 0=Vy|y = 0,b=w|x = a=θy|y = 0,b=0

(3)

Vx|x = 0=Vy|y = 0,b=w|x = a=θx|x = 0=Mx|x = a=0

(4)

Vx|x = 0=θx|x = 0=w|x = a=Mx|x = a=Vy|y = 0,b=

θy|y = 0,b=0

(5)

(6)

這樣就可以將一個(gè)邊值問(wèn)題分解為三個(gè)容易求解的邊值問(wèn)題。

4 哈密頓系統(tǒng)表示方法

(7)

(8)

(9)

在式(8，9)中，f={0,0,-Lq,0}T。對(duì)正則方程(8,9)求解，并讓其解滿足邊界條件，即可得到問(wèn)題的解。

5 哈密頓體系正則方程的求解方法

Ψ=[A1a1sinh(λ1y)+A2a1cosh(λ1y)+

A3a2sinh(λ2y)+A4a2cosh(λ2y)]eμ x

(10)

(11)

(12)

式中J為辛單位矩陣[7]，分別存在辛共軛正交關(guān)系：

(13)

其他情況全為0。其中α類指本征值實(shí)部大于0，或?qū)嵅康扔?且虛部大于0；β類為負(fù)的α類本征值。

(14)

《著作權(quán)法》規(guī)定對(duì)著作權(quán)構(gòu)成侵犯的以及侵犯著作權(quán)的相關(guān)權(quán)利的，按照實(shí)際情況進(jìn)行賠償。對(duì)于難以計(jì)算損失數(shù)據(jù)的，根據(jù)侵權(quán)人的違法所得進(jìn)行賠償。賠償數(shù)額包括為阻止侵權(quán)行為的一切合理合法支出。對(duì)損失難以計(jì)算或者違法所得不確定的情況，應(yīng)當(dāng)按照實(shí)際情況，處50萬(wàn)元以下的罰款?？傊謾?quán)數(shù)額的賠償要根據(jù)實(shí)際損失情況、違法所得的金額進(jìn)行確定，具體情況具體分析。

(15)

(16)

(17)

注意第三種邊界條件(5)和非齊次方程(8,9)，滿足部分邊界條件的(8,9)齊次方程通解(14,16)仍成立。非齊次方程(8,9)的特解可通過(guò)辛共軛正交關(guān)系[7]分別得到。該問(wèn)題的解由齊次方程通解和非齊次方程特解疊加而成，即

(18)

(19)

(20)

6 雙石墨烯板受迫振動(dòng)問(wèn)題

表1 固有頻率對(duì)比

Tab.1 Comparisons of natural frequencies

ξ=0ξ=0.1ξ=0.21階固有頻率文獻(xiàn)[16]1.04261.04591.05611階共振頻率辛方法1.04701.05041.06122階固有頻率文獻(xiàn)[16]2.81612.79422.73132階共振頻率辛方法2.56932.55202.50193階固有頻率文獻(xiàn)[16]6.42426.12825.40813階共振頻率辛方法6.42116.11335.35854階固有頻率文獻(xiàn)[16]8.05247.45656.22494階共振頻率辛方法7.93127.38666.2360

圖2 懸臂雙層正交各向異性矩形板頻響曲線

Fig.2 Frequency-response curve of double -layered cantilever orthotropic rectangular plates

圖3 單層與雙層石墨烯板頻響曲線

Fig.3 Frequency-response of single -layered and double -layered

圖5給出了彈性模量比E2/E1和剪切模量比G12/E1對(duì)受迫振動(dòng)的影響，仍選取算例1的參數(shù)和外載，計(jì)算了在E2/E1=0.5,1.0,1.5,2.0和G12/E1=0.2,0.3,0.4,0.5時(shí)板1載荷點(diǎn)的頻響曲線?？梢钥闯?E2/E1和G12/E1對(duì)第1階和第2階共振頻率幾乎無(wú)影響，主要是因?yàn)橹黧w彎曲變形是沿x方向所致；但其對(duì)高階共振頻率的影響隨E2/E1和G12/E1的增加，變化越來(lái)越大。事實(shí)上，由于兩個(gè)方向上強(qiáng)度的變化會(huì)直接影響固有頻率的大小，從而也會(huì)改變振動(dòng)模態(tài)所對(duì)應(yīng)固有頻率的順序。

圖4 單層和雙層石墨烯板系統(tǒng)共振模式響應(yīng)

Fig.4 Response modes of single -layered nanoplate and double -layered graphene plates

圖5 彈性模量比和剪切模量對(duì)頻響曲線的影響

Fig.5 Frequency-response with different elastic modulus ratio and shear modulus

7 結(jié) 論

Eringen非局部理論與哈密頓體系相結(jié)合可以表述多層石墨烯受迫振動(dòng)問(wèn)題。通過(guò)邊界條件分解技術(shù)和變量組合方法，可以得到由辛本征值和辛本征解表示的雙層石墨烯層板受迫振動(dòng)問(wèn)題的解析解表達(dá)式，對(duì)懸臂石墨烯系統(tǒng)特別有效，且辛本征解級(jí)數(shù)方法具有很好的收斂性和精度。結(jié)果表明，彈性模量和剪切模量對(duì)高階共振頻率影響較大；雙層石墨烯受迫振動(dòng)的特點(diǎn)在于可發(fā)生同向振動(dòng)模式和反向振動(dòng)模式。