李錦華,黎文武,管海平,李春祥

(1.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013； 2.南昌鐵路天河建設(shè)有限公司，南昌 330026；3.上海大學(xué) 土木工程系，上海 200444)

1 引 言

隨著我國(guó)鐵路的不斷發(fā)展，許多研究者從不同的角度和多種實(shí)際因素來(lái)分析研究復(fù)雜的車(chē)-軌-橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)[8-12]。Lin等[13]提出了一種基于2.5D有限/無(wú)限單元法的地下隧道地震分析方法。余志武等[14]基于車(chē)-橋豎向耦合模型，考慮車(chē)輛荷載及一系、二系豎向彈簧剛度與彈簧阻尼的隨機(jī)性，數(shù)值分析了車(chē)橋豎向隨機(jī)振動(dòng)。張騫等[15]將軌道不平順作為系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)，采用自編程序TYWTB建立車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行了不同風(fēng)速激勵(lì)下,不同速度列車(chē)通過(guò)橋梁時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析。喬宏等[16]基于子結(jié)構(gòu)方法，將完整的列車(chē)-橋梁-樁基礎(chǔ)-地基相互作用模型分解為列車(chē)-橋梁相互作用子系統(tǒng)和樁基礎(chǔ)-地基相互作用子系統(tǒng)，分別建立了兩個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，研究了樁-土動(dòng)力相互作用對(duì)車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響。張鳴祥等[17]在高速鐵路橋梁的振動(dòng)控制方面，通過(guò)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器來(lái)減緩結(jié)構(gòu)承受的巨大沖擊。

目前，對(duì)于車(chē)-軌-橋模型的建立已經(jīng)較為全面，且列車(chē)考慮的角度也更加接近實(shí)際，但鮮有學(xué)者注意到列車(chē)上橋之前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及多線列車(chē)同時(shí)上橋時(shí)對(duì)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。本文依據(jù)高速列車(chē)、板式無(wú)砟軌道和橋梁相互作用的特點(diǎn)，通過(guò)建立該系統(tǒng)的耦合運(yùn)動(dòng)方程，重點(diǎn)分析雙線列車(chē)以不同工況通過(guò)高速鐵路橋梁時(shí)，列車(chē)行駛狀態(tài)(速度和加速度)、列車(chē)的懸掛系數(shù)和鋼軌-軌道-橋梁之間連接參數(shù)分別對(duì)車(chē)-軌-橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能的影響。

2 車(chē)-軌-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)方程

列車(chē)-板式無(wú)砟軌道-橋梁耦合系統(tǒng)可分為車(chē)輛子系統(tǒng)、軌道子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)，分別通過(guò)輪軌接觸關(guān)系和橋軌接觸關(guān)系建立耦合系統(tǒng)的振動(dòng)方程。列車(chē)-板式無(wú)砟軌道-橋梁耦合振動(dòng)模型如圖1所示，列車(chē)運(yùn)行的加速度和速度分別為a和v。

2.1 列車(chē)子系統(tǒng)

列車(chē)子系統(tǒng)模型為10自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼多剛體系。車(chē)廂的車(chē)體自由度為其質(zhì)心處的豎向位移uc和轉(zhuǎn)角θc；一系懸掛結(jié)構(gòu)(車(chē)體和轉(zhuǎn)向架之間)的彈簧剛度和阻尼系數(shù)分別為kc t和cc t；車(chē)廂的兩個(gè)轉(zhuǎn)向架自由度分別為其質(zhì)心處的豎向位移ut 1和轉(zhuǎn)角θt 1及豎向位移ut 2和轉(zhuǎn)角θt 2；二系懸掛結(jié)構(gòu)(轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)之間)的彈簧剛度和阻尼系數(shù)分別為kt w和ct w；四個(gè)輪對(duì)自由度為其質(zhì)心處的豎向位移uw 1，uw 2，uw 3和uw 4。所以每節(jié)車(chē)廂車(chē)體的10自由度分別為

uv=[ucθcut 1θt 1ut 2θt 2uw 1uw 2uw 3uw 4]T

(1)

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可建立列車(chē)運(yùn)動(dòng)方程

(2)

2.2 軌道子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)

鋼軌、軌道板和橋梁的節(jié)點(diǎn)有豎向位移和轉(zhuǎn)角兩個(gè)自由度。鋼軌與軌道板間離散彈性系數(shù)和粘滯阻尼系數(shù)分別為kd和cd,軌道板與橋梁間連續(xù)彈性系數(shù)和粘滯阻尼系數(shù)分別為kc和cc。

以鋼軌歐拉伯努利梁?jiǎn)卧獮槔?軌道板與橋梁歐拉伯努利梁?jiǎn)卧?lèi)似)，得到鋼軌歐拉伯努利梁?jiǎn)卧恼駝?dòng)方程為

(3)

圖1 列車(chē)-板式無(wú)砟軌道-橋梁耦合系統(tǒng)計(jì)算模型

Fig.1 Calculation model of train-slab ballastless track-bridge coupling system

ur(x,t)=[N]{ur}e

(4)

[N]=[N1N2N3N4]

(5)

式中 {ur}e表示梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移列向量，{ur}e={yn，θn，yn + 1，θn +1}T,其中yn表示n節(jié)點(diǎn)豎向位移，θn表示n節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角；N表示梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)，N1=1-3(x/l)2+2(x/l)2,N2=x-2x2/l+x3/l2,N3=3(x/l)2-2(x/l)3,N4=-x2/l+x3/l2,其中x表示從梁?jiǎn)卧蠊?jié)點(diǎn)處開(kāi)始測(cè)量的局部坐標(biāo)，l表示梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度。

同理，可分別建立軌道板與橋梁的歐拉伯努利梁的振動(dòng)方程，離散化后，可建立軌道子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

2.3 列車(chē)車(chē)輪與鋼軌接觸關(guān)系

假定列車(chē)車(chē)廂每個(gè)車(chē)輪都與鋼軌始終接觸，則列車(chē)與鋼軌之間兩點(diǎn)接觸的約束方程可寫(xiě)成

uw n(t)=[ur(x,t)]|x = xn=[N]x = xn{ur}e

(7)

(8)

(9)

綜上所述，列車(chē)-軌道-橋梁系統(tǒng)的耦合振動(dòng)方程可建立為

(10)

3 耦合系統(tǒng)的影響參數(shù)分析

首先，需要驗(yàn)證本文耦合系統(tǒng)計(jì)算程序的有效性，為此對(duì)文獻(xiàn)[12]的車(chē)橋耦合系統(tǒng)算例進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。橋梁的單位質(zhì)量為2303 kg/m,彈性模量為2.87×109N·m2,慣性矩為2.90 m4,跨徑為 25 m；車(chē)輛采用彈簧-質(zhì)量模型，質(zhì)量塊的質(zhì)量為5750 kg,彈簧剛度系數(shù)為1595 kN/m,移動(dòng)速度為100 km/h。對(duì)本文運(yùn)用的有限元方法進(jìn)行編程，計(jì)算了移動(dòng)車(chē)輛作用下車(chē)橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如圖2所示?？梢钥闯觯疚臄?shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]計(jì)算結(jié)果吻合，從而驗(yàn)證了本文計(jì)算方法與程序的正確性。

圖2 橋梁跨中和彈簧-質(zhì)量動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比

Fig.2 Comparisons of dynamic response of bridge mid-span and spring -mass

然后，針對(duì)耦合系統(tǒng)的影響參數(shù)，重點(diǎn)分析列車(chē)行駛狀態(tài)(速度與加速度)、列車(chē)的懸掛系統(tǒng)(剛度與阻尼)以及鋼軌-軌道板-橋梁的連接剛度和阻尼等分別對(duì)列車(chē)、軌道和橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響。

考慮高速列車(chē)為10自由度車(chē)輛模型，列車(chē)定距之半為8.5 m，轉(zhuǎn)向架軸距之半為1.5 m，雙線列車(chē)的第一節(jié)車(chē)廂距離梁橋左端距離均為 10 m，每節(jié)車(chē)廂之間的間距均為1 m。高速列車(chē)車(chē)體質(zhì)量和點(diǎn)頭慣量分別為4.2×104kg和2×106kg·m2,高速列車(chē)構(gòu)架質(zhì)量和點(diǎn)頭慣量分別為3×103kg和 4×103kg·m2,高速列車(chē)輪對(duì)質(zhì)量均為2×103kg。列車(chē)行駛狀態(tài)(速度與加速度)和列車(chē)的懸掛系統(tǒng)(剛度與阻尼)的分析參數(shù)列入表1。

表1 列車(chē)行駛狀態(tài)(速度與加速度)和列車(chē)的懸掛系統(tǒng)(剛度與阻尼)的分析參數(shù)

Tab.1 Analysis parameters of train running state (speed and acceleration) and suspension system (stiffness and damping)

速度/m·s-1加速度/m·s-2剛度/N·m-1阻尼/N·s·m-1一系二系一系二系5025×1051×1069×1044×1046056×1052×1061055×10470107×1053×1061.1×1056×104

鋼軌-軌道板-橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)如下。簡(jiǎn)支梁橋跨度為32 m，各階阻尼比為0.05；鋼軌、軌道板和橋梁的彈性模量分別為2×1011N/m2，2×1010N/m2和3×1011N/m2,單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為102kg/m,103kg/m 和9×103kg/m,截面慣性矩分別為4×10-5m4,10-10m4和2.88 m4。不考慮軌道不平順，鋼軌與軌道板的離散連接點(diǎn)間距為0.6 m，軌道板與橋梁的連接為連續(xù)支承，鋼軌-軌道板-橋梁的連接剛度和阻尼列入表2。

表2 鋼軌-軌道板-橋梁的連接剛度和阻尼

Tab.2 Stiffness and damping of rail-slab -bridge connection

鋼軌與軌道板的離散連接軌道板與橋梁的連續(xù)連接剛度/N·m-1阻尼/N·s·m-1剛度/N·m-1阻尼/N·s·m-110133×1041.5×1096.5×1042×10134×1042.5×1097.5×1043×10135×1043.5×1098.5×104

橋跨位置處的鋼軌和軌道板都劃分為16個(gè)有限元單元，簡(jiǎn)支梁橋也劃分為16個(gè)有限元單元，所有單元長(zhǎng)度均為2 m。對(duì)于建立的列車(chē)-軌道-橋梁系統(tǒng)的耦合振動(dòng)方程，采用Newmark-β平均常加速度積分法對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解，耦合系統(tǒng)的影響參數(shù)分析如下。

3.1 列車(chē)運(yùn)行狀態(tài)(速度與加速度)的影響

列車(chē)單線三節(jié)車(chē)廂運(yùn)行時(shí)，分別改變其行駛速度與加速度參數(shù)，整個(gè)耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果列入表3。

表3 單線三車(chē)廂列車(chē)行駛參數(shù)改變對(duì)耦合系統(tǒng)位移響應(yīng)的影響(第一節(jié)車(chē)廂)Tab.3 Influence of the change of train driving parameters on the displacement response of the coupled system in the single -line three -car compartment (the first car)

當(dāng)列車(chē)加速度分別以2 m/s2，5 m/s2和10 m/s2運(yùn)行時(shí)，第一節(jié)車(chē)廂的車(chē)體垂向位移振幅最大百分比為25%，而車(chē)體繞質(zhì)心點(diǎn)頭位移振幅的變化在12.71%～16.69%范圍內(nèi)；對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，跨中位置處橋梁與鋼軌垂向位移振幅變化百分比最大分別達(dá)24%和19.23%。

當(dāng)列車(chē)分別以速度50 m/s,60 m/s和70 m/s前行時(shí)，第一節(jié)車(chē)廂的車(chē)體垂向位移振幅變化范圍為4.08%～10.20%，而車(chē)體繞質(zhì)心點(diǎn)頭位移振幅的變化最大達(dá)23.18%，跨中位置處橋梁與鋼軌垂向位移振幅的變化范圍分別為7.69%～15.38% 和7.58%～15.15%。通過(guò)表中百分比的正負(fù)號(hào)代表的意義可知，隨著列車(chē)速度與加速度在一定范圍內(nèi)的增加，車(chē)體自身結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)在逐漸減小，而鋼軌和橋梁結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)則在不斷增加。

列車(chē)行駛加速度和速度對(duì)列車(chē)車(chē)體振動(dòng)的影響如圖3所示。圖3(a～c)為列車(chē)行駛加速度的影響，當(dāng)列車(chē)分別以2 m/s2,5 m/s2和10 m/s2的加速度行駛過(guò)橋時(shí)，車(chē)體的振動(dòng)加速度幅值會(huì)有所不同，但幅值并無(wú)較大改變；前后兩節(jié)車(chē)廂振動(dòng)加速度明顯不同，后一節(jié)車(chē)體的振動(dòng)加速度明顯小于前一節(jié)車(chē)體。圖3(d～f)為列車(chē)行駛速度的影響，當(dāng)列車(chē)分別以50 m/s，60 m/s和70 m/s恒定低速行駛過(guò)橋時(shí)，車(chē)體振動(dòng)加速度具有類(lèi)似的變化情況，這說(shuō)明在一定范圍內(nèi)改變列車(chē)行駛速度與加速度對(duì)于車(chē)體振動(dòng)加速度的影響是有限的。

圖3 加速度和速度改變時(shí)列車(chē)車(chē)體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)

Fig.3 Vibration response of train body structure when acceleration and speed change

3.2 列車(chē)懸掛系統(tǒng)(剛度和阻尼)的影響

列車(chē)單線三節(jié)車(chē)廂運(yùn)行時(shí)，改變車(chē)體一系和二系剛度系數(shù)，整個(gè)耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果列入表4。

當(dāng)車(chē)體一系剛度系數(shù)分別為5×105N/m,6×105N/m和7×105N/m時(shí)，第一節(jié)車(chē)廂的車(chē)體垂向位移振幅變化在3.85%～7.69%范圍內(nèi)，而車(chē)體繞質(zhì)心點(diǎn)頭位移振幅的變化范圍為7.48%～14.19%，對(duì)于軌橋結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，跨中橋梁與鋼軌垂向位移均無(wú)影響。

當(dāng)車(chē)體二系剛度系數(shù)分別為1×106N/m,2×106N/m和3×106N/m時(shí)，第一節(jié)車(chē)廂的車(chē)體垂向位移振幅變化范圍為18.48%～25.04%，而車(chē)體繞質(zhì)心點(diǎn)頭位移振幅的變化最大僅為 8.68%，跨中橋梁與鋼軌垂向位移振幅的變化最大也僅為 2.78%。由百分比的正負(fù)號(hào)代表的意義可知，隨著車(chē)體一系剛度系數(shù)的增加，車(chē)體自身結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)也在不斷增加，但車(chē)體二系剛度系數(shù)的增加卻抑制了車(chē)體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

改變車(chē)體一系和二系阻尼系數(shù)，整個(gè)耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果列入表5。當(dāng)車(chē)體一系阻尼系數(shù)分別為9×104N·s/m,1×105N·s/m和1.1×105N·s/m時(shí)，第一節(jié)車(chē)廂的車(chē)體垂向位移振幅變化在10.61%～17.35%范圍內(nèi)，而車(chē)體繞質(zhì)心點(diǎn)頭位移振幅的變化范圍為11.09%～ 20.95%，對(duì)于軌橋結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，跨中橋梁與鋼軌垂向位移均無(wú)影響。

當(dāng)車(chē)體二系阻尼系數(shù)分別為4×104N·s/m,5×104N·s/m和6×104N·s/m時(shí)，第一節(jié)車(chē)廂的車(chē)體垂向位移變化百分比最大僅為3.85%，而車(chē)體繞質(zhì)心點(diǎn)頭位移振幅的變化最大僅為 2.70%，跨中橋梁與鋼軌垂向位移振幅的變化最大也僅為 2.78%。分析表明，列車(chē)一系阻尼系數(shù)的改變能夠影響車(chē)體自身位移振動(dòng)響應(yīng)，而列車(chē)二系的阻尼系數(shù)的改變則會(huì)影響軌橋結(jié)構(gòu)位移振動(dòng)響應(yīng)。

在列車(chē)以單線三車(chē)廂的布置通過(guò)橋梁時(shí)，僅改變列車(chē)一系懸掛剛度系數(shù)而其他參數(shù)不變時(shí)，車(chē)-軌-橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)如圖4所示。對(duì)于車(chē)體振動(dòng)加速度響應(yīng)，從圖4(a～c)可以看出，當(dāng)列車(chē)一系懸掛剛度系數(shù)分別為5×105N/m,6×105N/m和7×105N/m時(shí)，車(chē)體振動(dòng)加速度在峰值處有微小增加，車(chē)體振動(dòng)加速度幅值無(wú)較大改變；通過(guò)圖4(d～e)鋼軌和橋梁振動(dòng)位移響應(yīng)可知，車(chē)體的一系剛度系數(shù)改變對(duì)鋼軌和橋梁幾乎無(wú)影響。

3.3 鋼軌-軌道板-橋梁的連接(剛度和阻尼)影響

圖5為在改變鋼軌與軌道板和軌道板與橋梁間的連接參數(shù)時(shí)，列車(chē)、鋼軌和橋梁的最大振動(dòng)響應(yīng)變化關(guān)系。從圖5(a～d)可以看出，改變鋼軌和軌道板間的離散剛度系數(shù)與粘滯阻尼系數(shù)和軌道板與橋梁間的連續(xù)剛度系數(shù)與粘滯阻尼系數(shù)時(shí)，列車(chē)、鋼軌和橋梁的最大位移幾乎無(wú)變化，而且鋼軌與橋梁的最大位移保持一致，但鋼軌與橋梁的加速度卻有所不同，如圖5(e～h)所示。隨著鋼軌與橋梁間連接系數(shù)值的增加，鋼軌結(jié)構(gòu)最大加速度受其影響程度要大于列車(chē)和橋梁結(jié)構(gòu)，列車(chē)和橋梁結(jié)構(gòu)的最大加速度幾乎無(wú)影響。因此，除了鋼軌的最大加速度隨著連續(xù)剛度系數(shù)增加呈線性遞減外，列車(chē)、鋼軌和橋梁的振動(dòng)響應(yīng)并不易受鋼軌與橋梁間連接參數(shù)的影響。

表4 單線三車(chē)廂耦合系統(tǒng)參數(shù)改變對(duì)結(jié)構(gòu)的影響(第一節(jié)車(chē)廂)Tab.4 Influence of the parameter change of the coupling system on the structure of the single -line three -car compartment (the first car)

表5 單線三車(chē)廂耦合系統(tǒng)參數(shù)改變對(duì)結(jié)構(gòu)的影響(第一節(jié)車(chē)廂)Tab.5 Influence of the parameter change of the coupling system on the structure of the single -line three -car compartment (the first car)

圖4 車(chē)體一系剛度系數(shù)改變時(shí)各耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)

Fig.4 Vibration response of each coupling system structure when the primary stiffness coefficient of the car body is changed

圖5 鋼軌和橋梁連接系數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)最大振動(dòng)響應(yīng)的影響

Fig.5 Influence of rail and bridge connection coefficient on maximum vibration response of coupling system

4 結(jié) 論

本文依據(jù)列車(chē)、軌道和橋梁間的相互作用關(guān)系，建立了列車(chē)-鋼軌和板式無(wú)砟軌道-橋梁耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。重點(diǎn)分析了雙線列車(chē)以不同工況通過(guò)高速鐵路橋梁時(shí)，列車(chē)行駛狀態(tài)(速度和加速度)、列車(chē)懸掛系數(shù)以及鋼軌與橋梁連接參數(shù)對(duì)列車(chē)、軌道和橋梁動(dòng)力學(xué)性能的影響，得出以下結(jié)論。

(1) 列車(chē)懸掛參數(shù)的改變對(duì)列車(chē)自身結(jié)構(gòu)影響較大，而對(duì)鋼軌和橋梁結(jié)構(gòu)幾乎無(wú)影響。

(2) 隨著列車(chē)速度與加速度在一定范圍內(nèi)的增加，車(chē)體自身結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)在逐漸減小，而鋼軌和橋梁結(jié)構(gòu)的位移振動(dòng)響應(yīng)則在不斷增加。

(3) 車(chē)體一系剛度系數(shù)增大會(huì)引起列車(chē)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)變大，但車(chē)體二系剛度系數(shù)的增加卻抑制了車(chē)體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

(4) 除了鋼軌的最大加速度隨著連續(xù)剛度系數(shù)增加呈線性遞減外，列車(chē)、鋼軌和橋梁的振動(dòng)響應(yīng)并不易受鋼軌與橋梁間連接參數(shù)的影響。