一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程三者之間存在著密切的聯(lián)系。同學(xué)們?cè)诮鉀Q相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要充分注意三個(gè)“二次”之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換與應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想是解決二次方程、二次函數(shù)和二次不等式問(wèn)題中的重要數(shù)學(xué)思想之一,具體解題時(shí),要充分利用圖像的直觀(guān)性反映相應(yīng)問(wèn)題的本質(zhì),重視用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)處理相應(yīng)的方程或不等式問(wèn)題。

1.二次方程的轉(zhuǎn)化

在解決二次方程的根的存在、根所在的區(qū)間等問(wèn)題時(shí),利用二次方程所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化,綜合相應(yīng)不等式(組)的求解來(lái)達(dá)到分析與求解的目的。

例1已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0有兩個(gè)根x1,x2,其中x1∈(-1,0),x2∈(1,2),求m的取值范圍。

解析：設(shè)f(x)=x2+2mx+2m+1,根據(jù)題意,畫(huà)出示意圖如圖1 所示,由圖可得,m滿(mǎn)足不等式組解得

圖1

2.二次函數(shù)的轉(zhuǎn)化

同學(xué)們?cè)诮鉀Q二次函數(shù)的解析式、確定二次函數(shù)的圖像等問(wèn)題時(shí),可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的方程根的分布問(wèn)題、不等式的求解問(wèn)題,結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想,通過(guò)函數(shù)、方程與不等式之間的相互關(guān)系,巧妙轉(zhuǎn)化,達(dá)到求解的目的。

例2已知二次函數(shù)f(x)=mx2-2mx-1(m≠0),若 對(duì) 于x∈[1,3],函 數(shù)f(x)的圖像恒在y=-2m+4的下方,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：由題意可知f(x)＜-2m+4 在[1,3]上恒成立,則mx2-2mx+2m-5＜0,即m(x-1)2+m-5＜0 在x∈[1,3]上恒成立。令g(x)=m(x-1)2+m-5,x∈[1,3]。

當(dāng)m＞0 時(shí),g(x)在[1,3]上是增函數(shù),所以g(x)max=g(3)=5m-5＜0,解得m＜1,則0＜m＜1;

當(dāng)m＜0 時(shí),g(x)在[1,3]上是減函數(shù),所以g(x)max=g(1)=m-5＜0,解得m＜5,結(jié)合條件可得m＜0。

綜上可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＜0 或0＜m＜1}。

3.二次不等式的轉(zhuǎn)化

對(duì)于一元二次不等式的恒成立問(wèn)題,往往根據(jù)相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況來(lái)確定對(duì)應(yīng)的判別式的符號(hào),以及結(jié)合一元二次方程的根、判別式公式等來(lái)轉(zhuǎn)化,進(jìn)而解決相應(yīng)的恒成立問(wèn)題。

例3試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,對(duì)x∈R,不等式mx2-2x-m+2＜0 恒成立? 若存在,則求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：若不等式mx2-2x-m+2＜0恒成立,則知函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+2的圖像全部在x軸的下方。當(dāng)m=0時(shí),原不等式可化為2-2x＜0,解得x＞1,不滿(mǎn)足題意x∈R;當(dāng)m≠0時(shí),此時(shí)函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+2為二次函數(shù),則需滿(mǎn)足二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下且相應(yīng)的二次方程mx2-2x-m+2=0無(wú)解,則有此不等式組的解集為空集,即m無(wú)解。綜上可知,不存在這樣的實(shí)數(shù)m使得不等式mx2-2x-m+2＜0恒成立。