杜彥君

(西安科技大學 測繪科學與技術學院，陜西 西安 710054)

隨著高精度全站儀、特別是高精度智能全站儀的廣泛使用，三角高程測量的優(yōu)越性正逐步體現(xiàn)[1-2]。相較于傳統(tǒng)水準測量，三角高程測量具有操作簡便、作業(yè)效率高等特點，特別在高海拔、地形起伏較大、跨河等條件復雜情況下，三角高程測量優(yōu)點更為明顯[3-4]，已大量應用于工程測量和大地測量中[5-7]。

現(xiàn)階段，對三角高程測量成果的評價，仍以水準測量為標準，以保障三角高程測量觀測精度達到相應等級水準測量要求的研究成果居多，主要集中在完善三角高差計算式[8]、改裝儀器設備[2,5-7]、改進觀測方法[9-11]等幾個方面；而三角高程網(wǎng)平差計算方面的研究相對較少，有：以三角高差為觀測值，以水平距離的倒數(shù)定權進行條件(或間接)平差的傳統(tǒng)方法[12]；以斜距和天頂距為觀測值，采用驗前估計法定權進行間接平差[13]；以水準高差、三角高差為觀測值的高程混合網(wǎng)間接平差[14]。

閉(附)合三角高程路線為三角高程路線最常用的布設形式，傳統(tǒng)的平差計算[12]采用仿水準路線形式，按高差閉合差反符號與距離成正比例的關系進行分配，求高差改正數(shù)[1]，這種平差方法簡單易于理解，但定權不合理[15]，在理論上有缺陷；采用文獻[13]方法進行平差計算，理論嚴謹，結果正確、可靠，但計算繁瑣、且閉(附)合三角高程路線采用條件平差更為簡單、快捷。因此，本文根據(jù)條件平差原理，在合理確定觀測高差權的基礎上，推導出嚴密的高差改正數(shù)計算式與高程中誤差計算式。

1 改正數(shù)條件方程

如圖1所示一附合三角高程路線，A、B為已知高程點(已知高程分別為HA、HB)，點1，2，3，…，n-1為待定高程點，各測段觀測高差為hi(i=1，2，3，…，n)。

圖1 附合三角高程路線

按條件平差[12]，附合三角高程路線有1個附合條件方程：

AV+W=0

(1)

2 觀測值權陣的確定

2.1 對向法測站觀測高差的權

如圖2所示，采用對向法觀測Z1、Z2兩點之間的高差。在Z1點安置儀器，測出Z1至Z2的高差h12；將儀器安置Z2點，測出Z2至Z1的高差h21。忽略球氣差與垂線偏差的影響[7]，則Z1、Z2兩點間對向法測站觀測高差為：

圖2 對向法觀測三角高程測量

(2)

式中，S為斜距；α為垂直角；i為儀器高；v為棱鏡高。運用誤差傳播定律，忽略mi和mv[1]，并顧及到S1≈S2=S、α1≈-α2=α、mS1=mS2=mS、mα1=mα2=mα，得：

(3)

式中，mS為測距中誤差；mi為垂直角中誤差；ρ=206 265″。據(jù)文獻[15]，全站儀在設計時，測距和測角的精度一般遵循等影響的原則，有：

(4)

(5)

式中，c為任意常數(shù)；D為Z1、Z2兩點間水平距離。

2.2 中間法測站觀測高差的權

如圖3所示，采用中間法觀測Z1、Z2兩點之間的高差。在Z1、Z2兩點的中間位置M處安置儀器，測出M至Z1的高差hMZ1，測出M至Z2的高差hMZ2。忽略球氣差與垂線偏差的影響[7]，則Z1、Z2兩點間中間法測站觀測高差為：

圖3 中間法觀測三角高程測量

(6)

運用誤差傳播定律，忽略mv[15]，并顧及到mS1=mS2=mS、mα1=mα2=mα，得：

(7)

(8)

式中，c為任意常數(shù)；D為Z1—M—Z2的水平距離，D=D1+D2。

2.3 測段高差觀測值的權

如圖1所示，設第i測段共觀測了mi個測站，則該測段的高差觀測值為：

運用權倒數(shù)傳播定律[12]，考慮到各測站觀測高差之間相互獨立，并顧及式(5)或式(8)，可得測段高差觀測值的權為：

(9)

(10)

2.4 三角高程路線的觀測值權陣

由式(9)并顧及各測段高差觀測值之間相互獨立，可得圖1所示三角高程路線的觀測值權陣為：

(11)

3 平差及精度評定

3.1 平差值計算

(1)高差改正數(shù)

按條件平差[12]，有N=AP-1AT、K=N-1W、V=P-1ATK，顧及式(1)、式(11)，則得圖1所示第i測段高差觀測值的改正數(shù)為：

(12)

(2)高程平差值

如圖1所示，i點高程平差值為：

(13)

3.2 精度評定

(1)單位權中誤差

按條件平差[12]，單位權中誤差計算式為：

(14)

式中，n為觀測值個數(shù)；t為必要觀測值個數(shù)，即待定高程點個數(shù)。

(2)高程平差值的權

如圖1，由式(13)，可得i點高程平差值的權函數(shù)式為：

(15)

式中，fT=[1 … 1 0 … 0]；

按條件平差[12]，有：

(16)

(3)高程平差值的中誤差

按條件平差[12]，圖1所示i點高程平差值的中誤差如下。

(17)

4 結 論

(1)依據(jù)權的定義，運用誤差理論，得出三角高程路線高差觀測值的權與測段各測站距離的平方和成反比的結論，定權公式嚴密。

(3)無需列立條件(或誤差)方程、權函數(shù)式以及法方程、協(xié)因數(shù)陣的解算等，避免了復雜、繁瑣的計算，計算效率高。