趙 哲，柳翠明

(廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣東 廣州 510000)

Bayes估計(jì)在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中充分利用了未知參數(shù)的先驗(yàn)信息[1-2]，但仍有以下局限：其一，需要獲知參數(shù)的驗(yàn)前分布，但測(cè)量學(xué)中的先驗(yàn)信息來(lái)源多樣且復(fù)雜，導(dǎo)致先驗(yàn)信息大多充斥著不確定性。這種不確定性既包含數(shù)值誤差，也包含概念誤差，既包含可度量誤差，也包含不可度量誤差[3-5]。導(dǎo)致許多先驗(yàn)信息沒(méi)有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也不是一個(gè)具體數(shù)值，只能用參數(shù)的可行空間，噪聲范圍等來(lái)描述[6-7]；其二，先驗(yàn)信息的可靠性直接影響著估計(jì)結(jié)果，可靠的先驗(yàn)信息可以提高估計(jì)效率，不可靠的先驗(yàn)信息反而會(huì)降低估計(jì)精度[8-10]。目前常采用相容性檢驗(yàn)方法對(duì)先驗(yàn)信息進(jìn)行取舍[11]，認(rèn)為先驗(yàn)信息完全可信或完全不可信，這一作法一定程度上提高了先驗(yàn)信息利用的科學(xué)性。但在測(cè)量學(xué)中，先驗(yàn)信息是指提前獲取的信息，具有一定可信度，其可信度必不會(huì)單純?yōu)?或1，而是分布于該閉區(qū)間[0,1]內(nèi)。為此，許多專家提出了先驗(yàn)信息可靠性的度量方法并給出了可信度的計(jì)算公式[12-16]。但這些方法都是建立在概率論的基礎(chǔ)上，對(duì)于大地測(cè)量學(xué)中廣泛存在的充滿不確定性的先驗(yàn)信息無(wú)能為力。針對(duì)以上問(wèn)題，本文引入模糊理論，用模糊數(shù)集來(lái)描述測(cè)量學(xué)中的先驗(yàn)信息，依據(jù)小概率事件原理[17]構(gòu)造參考信息，用先驗(yàn)信息與參考信息的模糊貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性，將其以權(quán)陣的形式納入估計(jì)過(guò)程以平衡不同可靠度的先驗(yàn)信息在參數(shù)估計(jì)中的作用。適用于測(cè)量學(xué)中不確定性信息的數(shù)值化及其可靠性評(píng)估等問(wèn)題。

1 模糊數(shù)與貼近度

文獻(xiàn)[18]給出了對(duì)稱模糊數(shù)的貼近度公式：

(1)

2 可靠性的度量

本文通過(guò)構(gòu)造一種近似完全可靠信息作為參考信息，用先驗(yàn)信息與參考信息的模糊貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性。

2.1 構(gòu)造參考信息

由于完全可靠信息難以獲取，文獻(xiàn)[19]基于小概率事件原理構(gòu)造了近似完全可靠信息，即以參數(shù)的最小二乘解XLS作為對(duì)稱中心，以3倍中誤差作為模糊幅度。如圖1所示，在誤差理論中，X?[XLS-3δXLS,XLS+3δXLS]的概率為0.3%，屬于小概率事件[17]。因此將參數(shù)X的參考信息構(gòu)造為[XLS-3δXLS,XLS+3δXLS]，模糊數(shù)形式寫為[XLS,3δXLS]。

圖1 可靠信息分布

2.2 可信度的計(jì)算

可信度R是衡量先驗(yàn)信息可靠性的指標(biāo)，將其引入?yún)?shù)估計(jì)時(shí)，應(yīng)滿足以下條件：

(1)0≤R≤1；

(2)當(dāng)R越大，先驗(yàn)信息越可靠，在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中起的作用越大；反之，R越小，先驗(yàn)信息越不可靠，在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中起的作用越小；

(3)當(dāng)R=0時(shí)，先驗(yàn)信息完全不可靠；R=1時(shí)，先驗(yàn)信息完全可靠。

模糊理論中貼近度q表示兩模糊集的接近程度，引申到測(cè)量學(xué)中，若先驗(yàn)信息與參考信息越接近，則可認(rèn)為先驗(yàn)信息的可信度越高，且貼近度q完全符合以上條件，因此采用貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性是合理的，即令

R=q

(2)

上文中構(gòu)造參數(shù)的參考信息為[XLS,3δXLS]，將參數(shù)X的先驗(yàn)信息記為[X0,δx]結(jié)合式(1)與式(2)，若XLS>X0，可得出先驗(yàn)信息可信度的計(jì)算公式為：

(3)

若XLS

(4)

式中,X0為先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值，δx為模糊幅度，表示其變動(dòng)范圍。XLS和δXLS為參數(shù)最小二乘解及其中誤差。

3 模型解算

建立附有模糊先驗(yàn)信息的平差模型為：

L=AX,X∈[X0,δx]

(5)

式中,L為n維觀測(cè)向量，A為n×m維系數(shù)矩陣，X為m維參數(shù)向量，X0和δx表示先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值以及模糊幅度。建立估計(jì)準(zhǔn)則：

min:f(X)=(AX-L)TP(AX-L)TP(AX-L)+(X-X0)TPX(X-X0)

(6)

式中,P為觀測(cè)信息權(quán)陣，PX表示參數(shù)的先驗(yàn)權(quán)陣，X0為先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值。本文將可信度R以先驗(yàn)權(quán)陣PX的形式納入到參數(shù)估計(jì)過(guò)程中，以平衡不同可信度先驗(yàn)信息在參數(shù)估計(jì)中的作用，具體步驟如下：

第一步：求得參數(shù)X的最小二乘解：

XLS=(ATPA)-1ATPL

(7)

及其相應(yīng)的中誤差陣[20]為：

(8)

式中,δ0為單位權(quán)中誤差，δXLS為參數(shù)X的中誤差；

第二步：根據(jù)上文所述，構(gòu)造參考信息，記為模糊數(shù)形式為[XLS,3δXLS]；

第三步：將先驗(yàn)信息記為模糊數(shù)形式并根據(jù)式(3)或式(4)求解先驗(yàn)信息與參考信息的貼近度R1,2,…m；

第四步：將第三步計(jì)算得到的貼近度R1,2,…m，構(gòu)成為先驗(yàn)權(quán)陣PX，即令PX=diag(R1,R2,…,Rm)，將式(6)對(duì)參數(shù)X求偏導(dǎo)并令其等于零得：

2(AX-L)TPA+2(X-X0)TPX=0

(9)

令N=ATPA+PX，由上式推導(dǎo)得參數(shù)X的計(jì)算公式為：

X=N-1(ATPL+PXX0)

(10)

其協(xié)因數(shù)陣為：

Qxx=N-1

(11)

式中,X0為先驗(yàn)信息提供的參數(shù)中心值，PX為先驗(yàn)信息權(quán)陣。該算法的實(shí)質(zhì)是充分利用最小二乘估計(jì)的結(jié)果對(duì)先驗(yàn)信息的可靠性進(jìn)行評(píng)估與度量，選取更加合理的先驗(yàn)權(quán)陣來(lái)合理利用先驗(yàn)信息中的可靠成分并抑制不可靠成分的影響。

4 算例分析

4.1 模擬算例

為了驗(yàn)證算法的有效性，本文通過(guò)直線方程y=1.6x生成一個(gè)不含誤差的數(shù)據(jù)列，然后在這些數(shù)據(jù)列中加入隨機(jī)誤差，得到一組模擬觀測(cè)值列于表1內(nèi)。

表1 模擬數(shù)據(jù)

由表1產(chǎn)生的數(shù)據(jù)構(gòu)造觀測(cè)向量L=[y1y2y3y4y5]T和設(shè)計(jì)矩陣A=[x1x2x3x4x5]T并建立平差模型為：

L=AX

(12)

(1)求得最小二乘解及其偏差為:

(2)利用本文所提加權(quán)算法進(jìn)行解算，過(guò)程如下：

σXLS=0.266 7

第二步：構(gòu)造參考信息為[1.706 8,0.800 1]；

第三步：確定先驗(yàn)信息可信度R=0.607 4；

第四步：取觀測(cè)權(quán)陣P=I，令PX=diag(R)，代入式(10)得參數(shù)解及其偏差:

(3)取PX=I，認(rèn)為先驗(yàn)信息完全可靠。代入式(10)得到參數(shù)解及其偏差:

圖2 擬合直線

圖3 數(shù)據(jù)點(diǎn)殘差分布

由上面計(jì)算結(jié)果可得如下結(jié)論：

(1)由圖2、圖3可知，本文所提顧及先驗(yàn)信息可靠性的加權(quán)算法擬合直線效果明顯優(yōu)于最小二乘擬合以及不考慮先驗(yàn)信息可靠性擬合；

4.2 先驗(yàn)信息的不確定度約束

先驗(yàn)信息的可信度用來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠程度，不確定度用來(lái)衡量先驗(yàn)信息的精度。先驗(yàn)信息的可靠性對(duì)參數(shù)估計(jì)有著重要影響，而先驗(yàn)信息的精度約束同樣是參數(shù)估計(jì)中的關(guān)鍵問(wèn)題，隨著先驗(yàn)信息模糊幅度的增大，由式(3)及式(4)可知，先驗(yàn)信息的可靠性會(huì)逐步增大，但同時(shí)先驗(yàn)信息約束效力也會(huì)隨之減弱。因此為了探究先驗(yàn)信息不確定度與先驗(yàn)信息可信度及參數(shù)估計(jì)精度之間的關(guān)系，本文通過(guò)多次改變先驗(yàn)信息的模糊幅度進(jìn)行參數(shù)平差，得到先驗(yàn)信息模糊幅度與先驗(yàn)信息可信度及參數(shù)估計(jì)解殘差的關(guān)系如圖4所示。

圖4 模糊幅度與可信度及參數(shù)殘差之間的關(guān)系

當(dāng)不考慮先驗(yàn)信息進(jìn)行最小二乘平差時(shí)，最小二乘解的殘差為0.106 8。由圖4分析可知：

(1)先驗(yàn)信息的可信度與不確定度正相關(guān)，當(dāng)模糊幅度趨于無(wú)窮大時(shí)，先驗(yàn)信息可信度雖然趨近于1，但此時(shí)先驗(yàn)信息已沒(méi)有約束效力，因此在顧及先驗(yàn)信息的可靠性進(jìn)行加權(quán)平差時(shí)，還需考量先驗(yàn)信息的精度；

(2)隨著先驗(yàn)信息的模糊幅度增大，雖然先驗(yàn)信息可信度增高，但此時(shí)參數(shù)估計(jì)殘差也隨之緩慢增漲，說(shuō)明先驗(yàn)信息的精度與可靠同時(shí)對(duì)參數(shù)估計(jì)精度有著影響；

(3)當(dāng)先驗(yàn)信息模糊幅度小于2.5時(shí)，先驗(yàn)信息可信度位于0.7左右，本文所提加權(quán)算法可顯著提高參數(shù)估計(jì)精度；當(dāng)模糊幅度大于10以后，可信度對(duì)于參數(shù)估計(jì)精度提高效果均不明顯；當(dāng)模糊幅度大于20以后，考慮先驗(yàn)信息進(jìn)行平差計(jì)算已沒(méi)有意義，說(shuō)明此時(shí)先驗(yàn)信息的不確定度對(duì)參數(shù)估計(jì)精度的影響已遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于先驗(yàn)信息可靠性的影響。

因此可知，先驗(yàn)信息的精度對(duì)參數(shù)估計(jì)精度也有著重要影響，在先驗(yàn)信息精度不足的情況下考慮先驗(yàn)信息可靠性是沒(méi)有意義的。本文分析討論了先驗(yàn)信息可靠性對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，但未考慮先驗(yàn)信息不確定度的作用，如何進(jìn)一步將先驗(yàn)信息不確定度與可靠性同時(shí)納入?yún)?shù)估計(jì)過(guò)程以提高參數(shù)估計(jì)效率，有待進(jìn)一步研究。

4.3 工程實(shí)例

本文選取某工程2013年變形監(jiān)測(cè)所布設(shè)的監(jiān)測(cè)網(wǎng)如圖5所示。其中,M1，M2為兩個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(27.288,92.588)/m和(132.072,57.400)/m，JC1，JC2，JC3為三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)。該工程在監(jiān)測(cè)期間，采用徠卡TC402型全站儀(測(cè)角精度為2 S，測(cè)距誤差為2 mm+2 ppm)進(jìn)行周期性重復(fù)測(cè)量，觀測(cè)邊長(zhǎng)列于表2。要求根據(jù)觀測(cè)距離確定各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖5 測(cè)邊網(wǎng)

邊號(hào)觀測(cè)距離/m129.145 32105.051 63115.993 9496.812 0562.457 1636.166 9731.509 7878.636 6994.238 6

依照上文所述步驟進(jìn)行網(wǎng)平差。

第一步：進(jìn)行最小二乘估計(jì)，結(jié)果及點(diǎn)位如表3所示。

第二步：構(gòu)造參考信息，寫為模糊數(shù)形式為：

圖6 點(diǎn)JC1分布圖

圖7 點(diǎn)JC2分布

圖8 點(diǎn)JC3分布

則可將先驗(yàn)信息表示為：

由式(3)和式(4)計(jì)算得到先驗(yàn)信息XZ與第三步構(gòu)造的參考信息XK的貼近度為：

R=[0.692 2 0.715 4 0.937 5 0.627 1

0.819 9 0.869 2]T；

表3 最小二乘平差結(jié)果/m

表4 加權(quán)算法平差結(jié)果/m

通過(guò)表3、表4分析比較，顧及先驗(yàn)信息可靠性的加權(quán)算法平差結(jié)果較之經(jīng)典最小二乘，監(jiān)測(cè)點(diǎn)JC1、JC2、JC3的坐標(biāo)中誤差及點(diǎn)位誤差均有大幅度減小，顧及先驗(yàn)信息可靠性的加權(quán)算法可以有效提高參數(shù)估計(jì)精度。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)大地測(cè)量學(xué)中先驗(yàn)信息存在的不確定性以及可靠性問(wèn)題，嘗試采用模糊數(shù)集來(lái)描述先驗(yàn)信息，用模糊幅度表征其不確定性，并基于小概率事件原理構(gòu)造參考信息，運(yùn)用先驗(yàn)信息與參考信息的模糊貼近度來(lái)衡量先驗(yàn)信息的可靠性并論證了其合理性，給出了可信度的計(jì)算公式，將其以權(quán)陣的形式納入估計(jì)過(guò)程以平衡不同可信度的先驗(yàn)信息在參數(shù)估計(jì)中的作用，實(shí)例驗(yàn)證了本文所提算法不僅能夠合理的利用先驗(yàn)信息，提高參數(shù)估計(jì)精度，且一定程度上抑制了不可靠成分對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。