盧 浩，管聲啟，肖 旭，雷 鳴

（西安工程大學 機電工程學院，陜西 西安 710048）

0 引言

在數(shù)控機床加工零件的過程中，由于伺服控制的動態(tài)響應(yīng)滯后于參考命令，機床的每個軸都不可避免的存在跟蹤誤差[1]。累加起來的跟蹤誤差會隨著機床運動鏈傳遞到加工工件和刀尖上，從而引起機床的參考加工軌跡和實際加工軌跡之間的偏差。在數(shù)控機床的軌跡控制研究中，常用到的誤差指標有輪廓誤差和跟蹤誤差。如圖 1所示，Pr，Pa，Pc分別是加工過程中刀尖的參考位置點，實際位置點，以及參考軌跡上距離實際位置點Pa最近的點。跟蹤誤差指的是實際位置點到參考位置點的距離，如圖1中的 e1、e2。而輪廓誤差指的是實際位置點與參考軌跡之間的最近距離，如圖1中的ε1、ε2。

圖1 輪廓誤差和跟蹤誤差Fig.1 Contour error and tracking error

而在數(shù)控機床精度提高的相關(guān)研究里，通過實時補償輪廓誤差來提高數(shù)控機床加工零件的精度已經(jīng)成為研究熱點[2-5]，這是由于零件輪廓誤差值的大小能夠直接決定其加工精度的高低[6-8]，因此往往比跟蹤誤差[9-11]更加受到人們的青睞，而如何準確的估算得到輪廓誤差值便成為了重中之重。

Erkorkmaz 和 Altintas[12]提出通過對單軸跟蹤誤差的在線補償來達到減小輪廓誤差，從而提高加工精度的方法，但是從圖1可看出，單軸跟蹤精度的提高，并不一定能夠帶來高的輪廓精度。如圖 1中Pa1點處的跟蹤誤差e1明顯小于Pa2點處的跟蹤誤差e2，但是Pa1點處的輪廓誤差ε1卻明顯大于Pa2點處的輪廓誤差ε2。楊吉祥[1]提出將如圖1中光滑的參考曲線處理成為若干條微小直線段的方法，這也在一定程度上降低了輪廓誤差的估算精度。

基于這種情況，采用一種將參考曲線近似成為一段規(guī)則的圓弧的方法，來估算輪廓誤差的值。

1 現(xiàn)有的輪廓誤差模型

由于所加工零件的不同，對數(shù)控機床加工路徑的要求也不盡相同，現(xiàn)有的數(shù)控機床加工路徑主要分為以下三種：線性路徑、圓形路徑、自由形式路徑。

1.1 線性路徑

如圖2所示，其顯示了當機床加工軌跡遵循線性軌跡時的輪廓誤差估算方法。根據(jù)圖中定義，Pr為線性軌跡上的參考位置點，Pa為刀具的實際位置點，Pc是在加工軌跡上，距離實際位置點Pa最近的點，e是跟蹤誤差，ex和ey是跟蹤誤差在X和Y軸上的分量，ε是輪廓誤差，θ是線性加工軌跡與X軸之間的夾角。

圖2 線性軌跡的輪廓誤差計算Fig.2 Contour error calculation for linear trajectories

在這種情況下，輪廓誤差的計算公式為：

上式中，（xr, yr）表示加工軌跡上參考位置點的坐標，（xa, ya）表示實際位置點的坐標。

1.2 圓形路徑

如圖3所示，圓形路徑加工軌跡的輪廓誤差計算公式為：

也可以表示為與跟蹤誤差e有關(guān)的形式：

圖3 圓形加工軌跡的輪廓誤差計算Fig.3 Calculation of contour error of circular machining path

1.3 自由形式路徑

線性路徑和圓形路徑由于加工軌跡是規(guī)則的形狀，所以其輪廓誤差值可以直接通過幾何運算得出。而自由形式路徑的加工軌跡并不規(guī)則，不能直接進行計算。值得一提的是，在實際的數(shù)控加工當中，會用到自由形式加工路徑的情況也遠遠多于其他兩種，所以對它的研究很有必要。

圖4 自由形式路徑的加工軌跡輪廓誤差計算Fig.4 Calculation of machining path contour error of free-form path

2 輪廓誤差的估算

針對于不規(guī)則的自由形式加工路徑，不同于楊吉祥[1]提出的將光滑的曲線近似為若干微小線段的方法，本文在估算輪廓誤差值時，在任意時刻都能將刀尖點近似為一段圓弧，在圓弧上進行輪廓誤差的估算。如圖5所示，是一段不規(guī)則的自由形式加工路徑，即期望軌跡，或者稱之為參考軌跡，參考點 P1,P2,…,Pn,Pn+1…是參考軌跡在任意時刻的位置點。Pa點是某時刻刀具的實際位置點。而輪廓誤差的具體計算如下：

圖5 圓弧近似法估算輪廓誤差圖Fig.5 Contour error estimation by arc approximation

2.1 搜索最近點

首先，對參考軌跡上的各參考點進行搜索，找到離實際位置點Pa最近的參考點，而搜索范圍可以根據(jù)實際情況來定，沒有必要將參考軌跡上的每個參考點都訪問一次。

通過這種方法可以找到在參考軌跡上距離實際位置點Pa最近的參考點，假設(shè)此參考點為Pn。得到Pn的坐標后，自然也可以得到Pn的上一個參考點Pn-1和Pn+1的坐標。將參考點 1Pn-，Pn， 1Pn+連接成為一段圓弧，進而形成一個完整的圓，圓心為Oo。

2.2 確定圓心坐標

（1）將參考點 1Pn-，Pn， 1Pn+連接成一個三角形，以 1Pn-與Pn的連線為x軸， 以與之垂直且經(jīng)過 1Pn-的直線為 y軸，建立一個新的坐標系xoy。

（3）由于已知a ,b ,c的值，即可得到在新的坐標系xoy下三個參考點 1Pn-,Pn， 1Pn+的坐標。

（4）穿過三點連接成為一個圓，圓心為Oo，由于已知圓上三點的坐標，所以圓心在xoy坐標系上的坐標和半徑r可由圓的標準式求出。

其中，（a , b）為圓的圓心坐標，r為圓的半徑。

（5）在新坐標系xoy上面再加一個 z軸，計算出Pa點在xyz坐標系中的表示，假設(shè)Pa在新坐標系中的表示為（xa，ya，za）,則：

根據(jù)上式，可以計算出圓心Oo和實際坐標Pa在新坐標系xyz中的坐標,進而計算出Oo到Pa的距離L。

2.3 輪廓誤差的估算

（1）由于在三維空間坐標中，實際位置點 Pa與參考點所形成的圓Oo不在同一平面，所以將Pa點投影到圓平面上來，Pa'為投影點。圓平面的單位法向量n可由下式求得：

（2）則實際位置點Pa在圓平面Oo上的投影點Pa′坐標為：

（3）得到Pa′坐標后，可由此計算得出h的值，則刀尖輪廓誤差是：

上式中，r為圓Oo的半徑，L為圓心Oo到實際位置點Pa的距離，h為Pa到投影點Pa′的距離。

3 仿真

為了驗證該估算方法的可行性，在Matlab自帶的可視化仿真工具Simulink下對該算法進行建模并仿真，搭建的Simulink仿真系統(tǒng)[13-15]可對數(shù)控機床加工過程中所產(chǎn)生的輪廓誤差運用此算法進行實時估算和實時補償。該仿真系統(tǒng)的數(shù)控機床仿真部分采用PID控制器[16-17]，位置環(huán)采用P控制，速度環(huán)和加速度環(huán)采用PI控制。此次仿真所選刀具路徑為如圖6所示，包括指令輪廓和實際輪廓，從圖上可以看出未經(jīng)補償?shù)钠谕壽E和實際軌跡之間的誤差較大，從放大后的圖7中可以更直觀的看出，輪廓誤差大致在10–1mm數(shù)量級。而經(jīng)過補償之后的期望軌跡和實際軌跡如圖8所示，可以看出期望軌跡和實際軌跡的重合度大大增加，放大其中一段后如圖9所示，輪廓誤差的數(shù)量級能達到10–6mm，零件的加工精度得到大大提高。

圖6 實際與參考軌跡Fig.6 Actual and reference trajectories

圖7 軌跡放大圖Fig.7 The enlarged image

圖8 補償后的實際與參考軌跡Fig.8 Actual and reference trajectories after compensation

圖9 補償后的軌跡放大圖Fig.9 Enlarged view of the trajectory after compensation

4 結(jié)論

通過對國內(nèi)外數(shù)控機床輪廓誤差估算方法的研究，總結(jié)了現(xiàn)有的估算方法的優(yōu)缺點，采用了一種可以將任意時刻刀具路徑近似為一段規(guī)則的圓弧，并且在圓弧上對輪廓誤差進行估算的方法。算法的計算過程簡單，能夠滿足實時補償要求，而且估算精度高，能夠有效的提高數(shù)控機床加工零件的精度。