鄭中團(tuán) 王國(guó)強(qiáng) 李路 劉文博

摘 ?要：極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，通過(guò)極限概念的教與學(xué)，以期激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。首先，通過(guò)定性描述，語(yǔ)義表達(dá)轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合及問(wèn)題轉(zhuǎn)化等，引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納，從特殊到一般，“探索式”得到數(shù)列極限的精確定義;其次，給出改進(jìn)的描述性定義——“任意方式”和“唯一確定”的表述形式，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比，從而更直觀、更快地理解極限定義和相關(guān)定理。

關(guān)鍵詞：極限 ?高等數(shù)學(xué) ?合情推理 ?創(chuàng)新思維

中圖分類號(hào)：O171 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）03（b）-0217-02

極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，無(wú)論導(dǎo)數(shù)，還是各類積分的定義，都離不開(kāi)極限的概念[1，2]。極限既是一個(gè)過(guò)程，又是一個(gè)狀態(tài)。它反映了一個(gè)函數(shù)在無(wú)窮變化過(guò)程中的發(fā)展趨勢(shì)和最終狀態(tài)。如何深入淺出，使學(xué)生準(zhǔn)確地理解掌握這一概念，筆者在教學(xué)過(guò)程中有一些體會(huì)，進(jìn)行了一點(diǎn)探索，以期激發(fā)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新思維，從而激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

從極限的定性描述出發(fā)，通過(guò)轉(zhuǎn)換說(shuō)法，數(shù)形結(jié)合，由有限到無(wú)限，問(wèn)題轉(zhuǎn)化，最終探索式的“翻譯”成精確量化的ε-N表述，使定性和定量在講解時(shí)“快速”成為一體，從而借助極限一般性描述的易懂性，使學(xué)生在短時(shí)期內(nèi)較準(zhǔn)確理解抽象的極限的精確定義。

這個(gè)探索過(guò)程中蘊(yùn)含了觀察歸納，特殊化和普遍化等合情推理策略[3-5]。合情推理，不同于論證推理，它是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與猜測(cè)探索的一種手段。重視猜想、學(xué)會(huì)猜想、運(yùn)用猜想來(lái)進(jìn)行探索思考，將此策略貫穿在高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過(guò)程中，必然會(huì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)思維，從而激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2 ?極限定義的“任意方式”和“唯一確定”表述形式

類比也是合情推理的一種策略。所謂類比，就是某種類型的相似。相似的系統(tǒng)在某個(gè)方面彼此一致，類比的系統(tǒng)則其相應(yīng)部分在某些關(guān)系上相似。例如，長(zhǎng)方形可與長(zhǎng)方體類比，事實(shí)上，長(zhǎng)方形各邊之間的關(guān)系與長(zhǎng)方體的各面之間的關(guān)系相似：長(zhǎng)方形的每一邊恰與另一邊平行，而與其他邊垂直;長(zhǎng)方體的每一面恰與另一面平行，而與其他面垂直。數(shù)學(xué)中可類比物很多。下文進(jìn)一步通過(guò)極限定義的“任意方式”和“唯一確定”表述形式，對(duì)“類比”這種手段加以闡述。

由ε-N定義不難得出收斂數(shù)列極限的唯一性，結(jié)合此性質(zhì)和ε-N定義，對(duì)描述性定義進(jìn)行改進(jìn)。

定義1：對(duì)于數(shù)列{}，如果當(dāng)n以任意方式無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列值無(wú)限趨近唯一確定的數(shù)值α，則數(shù)列{}收斂于α。否則，數(shù)列是發(fā)散的。

從改進(jìn)后的定義1中可以提煉兩個(gè)關(guān)鍵詞“任意方式”和“唯一確定”，也即在數(shù)列極限定義中自變量n→∞的方式任意，但相應(yīng)的數(shù)列值變化趨勢(shì)唯一。通俗地講，在數(shù)軸上，無(wú)論n以何種方式趨近∞，相應(yīng)的數(shù)列值僅無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)α，則稱該數(shù)列收斂且極限為α;反之，當(dāng)n以不同子列的方式趨近∞，相應(yīng)的數(shù)列值無(wú)限接近不同的常數(shù)（包括+∞或-∞），則該數(shù)列發(fā)散。通過(guò)類比，這種表述可歸結(jié)為下面的定理。

定理1：如果數(shù)列收斂于α，則其任意子列一定收斂且必收斂于α。

定理1表明，如果某數(shù)列的兩個(gè)子列收斂于不同的值（包括+∞或-∞），則此數(shù)列一定發(fā)散。如{（-1）n}，這里n→∞選擇了兩種特殊方式，n以奇數(shù)或偶數(shù)的方式趨近∞，相應(yīng)地，，，故此數(shù)列發(fā)散。

進(jìn)一步，類似于定義1，“任意方式”和“唯一確定”表述形式可以類比推廣到函數(shù)極限甚至多元函數(shù)極限，這種表述有利于更直觀、更快地理解極限定義和相關(guān)定理。

定義2.當(dāng)以任意方式無(wú)限趨近∞（或||以任意方式無(wú)限增大），相應(yīng)地函數(shù)值無(wú)限接近唯一確定的常數(shù)A，則A稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為或→A（），否則發(fā)散。

由定義2，中的方式任意，包含了+∞與的同時(shí)進(jìn)行，由此可得，;而+∞與-∞的同時(shí)進(jìn)行包含了的任意方式，由此可得，。

由定義2，中的方式選擇正方向并以離散數(shù)列的特殊形式n，則，由此可利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。

定義3。當(dāng)以任意方式無(wú)限趨近0，相應(yīng)地函數(shù)值無(wú)限接近唯一確定的常數(shù)A，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為或（），否則發(fā)散。

類似于定義2的分析，等價(jià)于與的同時(shí)進(jìn)行，從而。

由定義3，中當(dāng)以離散數(shù)列n的方式趨近0，相應(yīng)地就有;當(dāng)以不同的數(shù)列n方式趨近0，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近不同的常數(shù)（包括+∞或-∞），則該當(dāng)時(shí)的極限不存在，由此給出了判斷函數(shù)極限不存在的一種方法。嚴(yán)格的結(jié)論表述為下面的定理。

定理2：如果極限，{}為函數(shù)定義域內(nèi)一收斂0的數(shù)列，且（n∈N），則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列也收斂，且。

注：定理2給出了用于判斷函數(shù)極限不存在的一種方法：（1）找一個(gè)數(shù)列{}（），使得時(shí)，不存在，則極限不存在;（2）找兩個(gè)趨于0的不同數(shù)列{}，{yn}，若，則極限不存在。

3 ?結(jié)語(yǔ)

該文是極限定義講解的兩點(diǎn)注記。觀察歸納、一般化與特殊化、類比推廣等策略不僅僅可用于極限定義講解的過(guò)程中，更應(yīng)貫穿于高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過(guò)程中。這一套合情推理策略是一套數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，是提高解題能力的一條好途徑。又因數(shù)學(xué)題和生活工作中的問(wèn)題有許多相近相似之處，故它又是解決一般問(wèn)題的思想方法。這類方法的運(yùn)用與實(shí)踐強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己猜測(cè)探索與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，勢(shì)必可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于進(jìn)取、科學(xué)探索的精神。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[3] 喬治·波利亞.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[4] 喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1980.

[5] 喬治·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社，2001.