尹相國，趙永瑞，姜石錕，王明偉

(中國石油大學(xué) 機電工程學(xué)院，山東 青島 266580)

在許多應(yīng)用中，如空間飛行器的慣性測量系統(tǒng)、設(shè)備安裝以及建筑、路面、港口等工程機械領(lǐng)域都需要進行傾角的測量[1]，在靜態(tài)傾角測量中，需要對加速度計采集到的數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理及解算，數(shù)據(jù)處理及解算算法的精密度對測量系統(tǒng)的精度起重要作用。

在靜態(tài)環(huán)境中對多傳感器數(shù)據(jù)進行融合計算，貝葉斯估計算法是常用手段[2]。近年來，基于貝葉斯估計處理多傳感器數(shù)據(jù)的方法已經(jīng)有了較深層次的研究，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用[3]：陳增瑞等人將該算法應(yīng)用于放入式電子測壓器準靜態(tài)校準數(shù)據(jù)的處理，增強了測量結(jié)果的可靠性，使得測試精度進一步提高[3]；張邦成等人將該算法應(yīng)用于軌道車輛Pt100溫度檢測系統(tǒng)中，有效篩選出發(fā)生故障的傳感器，測量溫度精準[4]；譚龍飛等人將該算法應(yīng)用于土壤水含量估計中，將多傳感器測試數(shù)據(jù)的貝葉斯估計融合值與真實值對比，證明了貝葉斯理論融合算法估計值的可靠性[5]。本文提出用貝葉斯估計算法處理不同傾角計算方法得到的數(shù)據(jù)，并設(shè)計實驗對其優(yōu)化效果進行驗證。

1 傾角計算原理及誤差分析

1.1 傾角計算原理

三軸加速度計具有三個相互正交的加速度敏感軸，分別稱為X、Y、Z軸。圖1為傳感器示意圖。

圖1 三軸加速度傳感器示意圖Figure 1 Schematic diagram of triaxial acceleration sensor

傾斜角由三軸加速度傳感器對重力加速度敏感而獲得。當(dāng)加速度傳感器處于測量平衡狀態(tài)時，會受到重力加速度作用?？紤]加速度傳感器的輸出，與重力加速度的大小和方向建立關(guān)系，可以實現(xiàn)傾斜角度的測量[6-7]。通常將加速度傳感器的Z軸垂直于安裝平面，當(dāng)安裝平面與水平面重合時，Z軸與重力方向相同，重力加速度全部作用于Z軸，Z軸輸出值為重力加速度；當(dāng)安裝平面與水平面存在夾角θ時，Z軸方向隨之轉(zhuǎn)動角度θ，如圖2。

圖2 加速度傳感器安裝示意圖Figure 2 Schematic diagram of acceleration sensor installation

設(shè)Z軸與重力加速度的夾角為θ，則

ZOUT=1g×cosθ。

(1)

式(1)中，ZOUT為Z軸輸出，g為重力加速度，θ為傾斜角度。

因此此時安裝平面的傾斜角度為

(2)

1.2 誤差分析

1.2.1 靈敏度非線性

根據(jù)前面對傾角解算算法的分析，可以看出計算公式中使用的是余弦函數(shù)。對于余弦函數(shù)，在傾角為0°時，靈敏度最??；而在傾角為90°時，靈敏度最大，如圖3。由此可以看出在傳統(tǒng)解算算法中存在靈敏度的非線性[8-9]。當(dāng)靈敏度比較小時，比較小的加速度計輸出值變化可計算達到比較大的角度變化，誤差相對較大。

圖3 余弦函數(shù)靈敏度變化Figure 3 Sensitivity changes of cosine function

1.2.2 噪聲

在測量過程中，一方面系統(tǒng)會受到來自外界的振動等干擾，稱為機械噪聲；另一方面電路中電子元器件的本體噪聲引入到系統(tǒng)中，稱為電子噪聲，使測量結(jié)果存在誤差。通過良好的設(shè)計，在MMA8451中電子噪聲和機械噪聲都已經(jīng)最小化，并且在MMA8451的DSP中，數(shù)字濾波器可以進一步濾除噪聲。

另外在ADC過程中還會引入量化噪聲。由于MMA8451內(nèi)置過采樣技術(shù)，在實際應(yīng)用中，可以提高過采樣率，從而提高信噪比，增加有效位數(shù)。

2 基于貝葉斯估計的融合計算方法

貝葉斯估計算法作為數(shù)據(jù)融合計算的手段之一，為靜態(tài)環(huán)境中的多傳感器數(shù)據(jù)融合提供了一種有效方法。該算法有著嚴格的理論基礎(chǔ)，其信息描述為概率分布，能夠較好地處理具有可加高斯噪聲(概率密度函數(shù)服從高斯分布)的不確定數(shù)據(jù)[2]。

假設(shè)xi和xj分別表示第i個和第j個傳感器的數(shù)據(jù)，定義置信距離為:

(3)

(4)

式(3)(4)中：pi(x|xi)和pj(x|xj)分別為xi和xj的概率密度曲線；dij為xi對xj的置信距離；dji為xj對xi的置信距離。由于Xi和Xj均服從正態(tài)分布，于是有：

(5)

(6)

dij與dji反映了兩個傳感器之間相互支持的程度，置信距離的值越小，數(shù)據(jù)的支持程度越高。將多傳感器測量系統(tǒng)中任意兩個傳感器的置信距離求解并建立置信距離矩陣Dm：

(7)

得到置信距離矩陣后，為劃分置信距離需選擇一個合適的臨界值，用來判斷兩個傳感器的輸出數(shù)據(jù)之間的相互支持情況。設(shè)βij為置信距離的臨界值，即認定當(dāng)dij≤βij時認為第i個傳感器的輸出值支持第j個傳感器的輸出數(shù)據(jù)；反之則認定為不支持。定義二值變量表達式

(8)

將二值變量表達式代入置信距離矩陣Dm，得到關(guān)系矩陣Zm

(9)

關(guān)系矩陣用以清晰明確的表達傳感器之間的支持情況。這樣需要選擇第二個臨界值m。當(dāng)多于m個傳感器支持某個傳感器的輸出時，認為其輸出數(shù)據(jù)是有效的。由此依據(jù)關(guān)系矩陣選擇傳感器的輸出結(jié)果，得到l個有效數(shù)據(jù)作為最佳融合數(shù)。為描述方便，將其表示為(x1，x2，……，xl)。在測得一組測量數(shù)據(jù)(x1，x2，……，xl)的條件下，被測參數(shù)的條件概率密度函數(shù)為

(10)

(11)

(12)

融合結(jié)果為

(13)

用μN來表示被測參數(shù)μ的貝葉斯估計結(jié)果。

3 應(yīng)用貝葉斯估計融合數(shù)據(jù)

3.1 三軸加速度計的傾角計算方法

對于三軸加速度計的傾角計算，有三種計算方法：

方法一：根據(jù)Z軸加速度與重力加速度。

根據(jù)Z軸的輸出與重力加速度之間的關(guān)系式，可以計算出Z軸與重力之間的夾角，即傾斜角θ1，關(guān)系式為

ZOUT=1g×cosθ1。

(14)

方法二：根據(jù)X、Y軸加速度矢量和與重力加速度。

根據(jù)X、Y軸的輸出值，計算矢量和，然后可以根據(jù)矢量和與重力加速度之間的關(guān)系求出傾斜角θ2，關(guān)系式為

XYOUT=1g×sinθ2。

(15)

式(15)中，XYOUT為X、Y軸輸出值的矢量和。

方法三：根據(jù)X、Y軸加速度矢量和與Z軸加速度。

根據(jù)X、Y軸的輸出值，計算矢量和，然后可以根據(jù)矢量和與Z軸加速度之間的關(guān)系求出傾斜角θ3，關(guān)系式為

XYOUT=ZOUT×tanθ3。

(16)

3.2 數(shù)據(jù)融合計算

通過上述分析可以看出，三種計算方法均存在非線性誤差，但是不同計算方法的非線性分布不同。所以本文提出方法四，即將前面三種計算方法的計算數(shù)據(jù)看作是三個傳感器對同一物理量采集到的數(shù)據(jù)，應(yīng)用貝葉斯估計算法來進行數(shù)據(jù)的融合計算。具體步驟可以總結(jié)如下：首先，應(yīng)用MMA8451的FIFO采集到X、Y、Z軸的連續(xù)輸出值；其次，應(yīng)用三種計算方法對傾斜角進行計算，得到多個θ1、θ2、θ3，分別計算其均值與方差；再次，對三個計算值進行貝葉斯估計的數(shù)據(jù)融合[4]。

4 試驗系統(tǒng)及測試方案

4.1 硬件系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)

為了對誤差修正后的傾角解算算法進行驗證，本文搭建了基于KL25Z微控制器和MMA8451三軸加速度傳感器的硬件平臺；采用C語言編寫算法，實現(xiàn)嵌入式系統(tǒng)的程序設(shè)計。圖4為系統(tǒng)框圖。

圖4 傾角測量系統(tǒng)Figure 4 Inclination measurement system

4.2 測試方案

為檢驗傾角測量系統(tǒng)的準確性，將傾角測量系統(tǒng)平放在靜止平面上，使用角度校準裝置測量其與靜止平面夾角。固定系統(tǒng)開發(fā)板一端，使其在某一軸依次傾斜0°～150°，每間隔10°測量并記錄一次數(shù)據(jù)。由于靜止平面并非絕對的零度，因此測量出的結(jié)果，應(yīng)該都與參考值有個穩(wěn)定的誤差，即零度偏移，所以數(shù)據(jù)處理時還要進行零度校準。

選擇置信距離的臨界值為βij=0.8，臨界值m=0。在程序中將三種計算方法的計算結(jié)果與貝葉斯估計的融合結(jié)果同時輸出到OLED顯示屏上，以利于進行對比。

5 數(shù)據(jù)分析

5.1 試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計

對試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，可以得到誤差分布圖，如圖5。

圖5 不同方案下誤差隨測量角度變化Figure 5 Error changes with measurement angle under different schemes

對于不同計算方法的平均誤差與最大誤差進行統(tǒng)計計算，得到數(shù)據(jù)如表1。

表1 不同方案的誤差Table 1 Errors of different schemes (°)

5.2 試驗數(shù)據(jù)分析

從圖5可以看出，方法一和方法三在0°到90°變化時誤差減小，而在90°以后誤差逐漸變大。對于方法二，在0°到90°變化時，誤差增大，而在90°以后誤差減小。而方法四也就是數(shù)據(jù)融合方案的誤差分布均勻。同時綜合圖5和表1可以看出，方法四的誤差值總體較小，融合計算結(jié)果的平均誤差相比單一計算方法減小了77%以上。通過數(shù)據(jù)對比，可以看出，基于貝葉斯估計的數(shù)據(jù)融合計算有效解決了靈敏度非線性問題。

6 結(jié) 語

本文通過對基于三軸加速度計的傾角解算算法進行理論研究，在數(shù)據(jù)噪聲以及靈敏度非線性兩個方面深入分析。在此基礎(chǔ)上根據(jù)貝葉斯估計算法的特點提出改進方案，同時搭建以KL25Z及MMA8451為核心的傾角測量系統(tǒng)，對改進后的算法進行試驗驗證。試驗表明，經(jīng)貝葉斯估計處理后的測量結(jié)果與被校準數(shù)據(jù)的相關(guān)性得到提高，可靠性增強。說明使用該方法進一步提高了測試精度，此方法應(yīng)用于三軸加速度計傾角計算數(shù)據(jù)處理的思路合理可行。本文提出的改進方案有效提高了傾角測量精度，為高精度傾角測量提供了有效理論支撐。