沈曉斌，王斌銳，余 芮，崔小紅

(中國計量大學 機電工程學院，浙江 杭州 310018)

機器人關節(jié)是組成機械臂的最小組成單元，通常由電機、減速器、傳感器和驅動器組成。由于諧波減速器體積小、質量小、傳動比大、負載能力強，故機器人關節(jié)多采用諧波減速器。但諧波減速器、軸承等器件中存在非線性摩擦[1]，使關節(jié)動力學模型復雜，控制困難、效果不佳。

對于關節(jié)處存在的非線性摩擦，研究者們提出了許多摩擦模型，主要分為動態(tài)摩擦模型和靜態(tài)摩擦模型。動態(tài)摩擦模型能準確描述關節(jié)處存在的摩擦力，較常用的模型為LuGre模型。TAN等[2]使用LuGre模型為機械系統(tǒng)進行摩擦建模，賀瑩等[3]為單關節(jié)伺服系統(tǒng)以LuGre模型進行建模，但從建模過程可見實際測量難度較大，建模過程復雜，不利于實際工程應用。在實際工程中較多使用靜態(tài)模型。靜態(tài)摩擦模型[4]包括庫倫摩擦模型、粘滯摩擦+庫倫摩擦模型、靜摩擦+粘滯摩擦+庫倫摩擦模型、Stribeck模型等。其中Stribeck模型能較精確描述靜態(tài)摩擦特性，較為常用。付建寧[5]等人在機器人關節(jié)建模時加入Stribeck摩擦模型，利用前饋進行摩擦補償，提高關節(jié)控制精度，但存在建模不準確的問題，并且機器人關節(jié)處的摩擦特性還會受到其他許多因素的影響。如NEVMERZHITSKIY[6]、吳曉敏[7]等認為摩擦特性應與溫度有關，需建立與溫度相關的摩擦模型；LIAO[8]、HAN[9]等認為摩擦特性還應與位置相關，需建立與位置相關的摩擦模型。與溫度和位置相關的摩擦模型建模復雜、實現困難，且無法消除建模誤差。因此，本文考慮對摩擦模型的建模誤差進行在線觀測和辨識，以實現更精確的補償。

在機器人關節(jié)軌跡跟蹤控制方法中，常用的方法有PID(Proportional Integral Derivative)控制法、反饋線性化控制法、計算力矩控制法[10]以及與模糊控制、神經網絡[11-12]等先進控制算法結合的控制方法。如WANG等[13]在具有Stribeck摩擦建模的機器人系統(tǒng)中使用模糊PID控制，但模糊控制依賴于使用者的經驗；CAMBERA等[14]使用反饋線性化控制法進行柔性關節(jié)控制，但反饋線性化控制需系統(tǒng)的狀態(tài)量可觀測。計算力矩控制法基于系統(tǒng)的動力學模型[15]，算法簡單實用，可應用于實際機器人關節(jié)系統(tǒng)。但由于實際系統(tǒng)的精確動力學模型很難得到，尤其是必須考慮非線性摩擦對系統(tǒng)的影響，因此JIANG等[16]在計算力矩控制的基礎上，加入自適應RBF神經網絡(Radial Basis Function徑向基)對未建模動態(tài)進行在線補償。但由于低速運行時尤其是關節(jié)電機啟停時，摩擦力出現較強的非線性，此時RBF不能很好地補償非線性摩擦。

在上述研究背景下，本文將在對非線性摩擦建?；A上，設計自適應RBF神經網絡對摩擦模型誤差和動力學模型參數誤差等未建模動態(tài)進行在線觀測，設計含摩擦模型的自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制器。進行摩擦建模可降低模型的非線性程度，降低控制難度；自適應RBF神經網絡結構簡單且具有逼近任意非線性函數的能力，結合權值自適應律，能對摩擦模型誤差和動力學模型參數誤差進行有效在線逼近和觀測；計算力矩控制法具有算法簡單直觀、魯棒性好等特點，并且容易應用于實際系統(tǒng)。因此，將三者集成可提高關節(jié)控制精度。

本文首先基于Stribeck摩擦模型和拉格朗日方程，對機器人關節(jié)建立動力學模型，并在模型中加入未建模動態(tài)，提高模型的準確性；其次，通過實驗測量及最小二次法對摩擦模型參數進行辨識；然后，利用自適應RBF神經網絡對摩擦建模誤差和動力學模型參數誤差進行在線觀測，并補償到計算力矩控制器中；最后，在自主設計的關節(jié)和測試平臺上，對所設計的控制器進行了測試。

1 機器人關節(jié)動力學模型

1.1 關節(jié)建模

本文以自主設計的無刷直流伺服電機和諧波減速器構成的單自由度機器人關節(jié)為研究對象，機器人關節(jié)三維樣機模型如圖1。

圖1 機器人關節(jié)樣機模型Figure 1 Prototype model of robot joint

將減速器按速度大小分為高速側和低速輸側，電機軸為高速軸，諧波減速器輸出側軸為低速軸。通過分析，可得關節(jié)傳動鏈機構簡圖如圖2。

圖2 關節(jié)傳動機構簡圖Figure 2 Diagram of joint transmission mechanism

圖2中τmotor表示電機產生的電磁力矩，Nm；J1表示高速軸的轉動慣量，kg·m2；τfm為高速端摩擦力矩，Nm；θm為高速端轉角，rad；τm為高速端輸出到力矩，低速端輸入力矩，Nm；τfr為低速端摩擦力矩，Nm；n表示減速比；J2表示低速軸轉動慣量，kg·m2；q表示低速端轉角，rad；τr表示低速端輸出力矩，即負載力矩τload，Nm。

直流伺服電機產生的電磁力矩與電流成正比：

τmotor=Kmi。

(1)

式(1)中：Km為電機力矩常數，Nm/A；i為電機電流，A。

通過分別對高速軸和低速軸建模，可得機器人關節(jié)的動力學模型。

首先進行高速軸建模。由輸入和輸出力矩平衡原理以及圖2所示機構簡圖，可得高速軸動力學方程為

(2)

然后進行低速軸建模。同理可得低速軸動力學方程為

(3)

基于拉格朗日方程，負載τr可以表示為

(4)

假設諧波減速器剛度足夠大，忽略諧波減速器的變形，可得到高速軸轉角θm和低速軸轉角q的關系為

q=θm/n。

(5)

由式(1)到式(4)可得機器人關節(jié)的動力學模型為

(6)

其中J=n2J1+J2表示等效轉動慣量，kg·m2；τf=τfm+τfr/n表示高速端的等效摩擦力矩，kg·m2。

1.2 關節(jié)非線性摩擦建模

速度對摩擦的影響最大，因此本文在建立摩擦模型時只考慮與速度相關的摩擦力矩模型，忽略溫度、位置等其他因素對建模的影響。基于靜態(tài)摩擦模型中的Stribeck模型，關節(jié)摩擦力矩可表示為：

(7)

由式(1)和式(6)可得關節(jié)摩擦力矩τf與電機電流i的方程

(8)

當機器人關節(jié)處在空載且勻速運動狀態(tài)下，電機產生的電磁力矩和摩擦力矩相等，可得

τf=Kmi。

(9)

由式(9)可計算得到高速端的等效摩擦力矩τf，τf中包含了τfm和τfr。

1.3 摩擦力模型參數辨識

為了辨識摩擦模型的參數，在自主研制的機器人關節(jié)上開展參數辨識實驗。關節(jié)傳動系統(tǒng)主要由無刷伺服電機和諧波減速器組成，電機軸和減速器輸入軸直接相連。同時，在關節(jié)的一側裝有旋轉編碼器，對關節(jié)的轉動角度進行測量。電機選用Kollmorgen的直流無框電機TBM7615A，諧波減速器選用蘇州綠的的LHSG-20-CL-120，編碼器選用北京金鋼科技的MBS磁編碼器，驅動器使用Elmo的G-MOLWHI20/100SE。機器人關節(jié)的主要性能參數如表1。

表1 機器人關節(jié)主要性能參數Table 1 Main performance parameters of robot joint

實驗方法：將機器人關節(jié)設置于空載狀態(tài)，記錄不同速度下電機的輸出力矩。速度取值范圍為[-62.4,62.4] rad/s，其中當速度大小范圍為(0,5.2) rad/s時步長為0.52 rad/s、[5.2,52) rad/s時步長為1.04 rad/s、[52,62.4] rad/s時步長為5.2 rad/s。

在MATLAB中，利用實驗測所得數據，使用最小二乘法對正反兩個方向的摩擦模型參數進行辨識。最終擬合的角速度-摩擦力矩擬合曲線如圖3，辨識得到的參數如表2。

表2 摩擦模型參數辨識結果Table 2 Parameter identification results of friction model

由圖3可見，使用摩擦模型對關節(jié)處的摩擦特性進行建模仍具有一定的誤差，不能精確的描述。所以有必要對建模誤差進行在線辨識和補償。

圖3 速度-摩擦力矩擬合圖Figure 3 Velocity-friction torque fitting diagram

2 控制器設計

2.1 自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制器設計

本文采用計算力矩控制法，對含非線性摩擦力的機器人關節(jié)進行軌跡跟蹤控制器設計。同時，結合自適應RBF神經網絡對摩擦模型誤差和動力學模型參數誤差進行在線觀測和補償。自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制的系統(tǒng)框圖如圖4。

圖4 控制系統(tǒng)框圖Figure 4 Control system block diagram

(10)

綜合考慮公式(10)中摩擦模型誤差和動力學模型參數誤差等未建模動態(tài)，設含未建模動態(tài)的機器人關節(jié)動力學模型為

(11)

M(q)=M0(q)-ΔM，

G(q)=G0(q)-ΔG，

τjf=τjf0-Δτjf。

由式(11)給出的動力學模型采用計算力矩控制法，可設計控制律如下：

(12)

假設f(·)已知時，結合式(10)和式(12)，可得到系統(tǒng)誤差方程為

(13)

式(13)中，kv為速度反饋增益系數；kp為位置反饋增益系數。選擇合理的kv、kp即可使系統(tǒng)的閉環(huán)極點具有負實部，保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

實際工程中f(·)往往是未知的，因此本文采用自適應RBF神經網絡方法進行在線估計和補償。

2.2 自適應RBF神經網絡摩擦模型誤差補償

采用的徑向基函數為高斯核函數

(14)

式(14)中，x為輸入向量；bi為第i個高斯徑向基函數寬度；ci為第i個神經元高斯徑向基函數的中心向量。

RBF神經網絡逼近的f(·)可表示為

(15)

由式(12)和式(15)，可得本文所設計的自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制器控制律為

(16)

設計自適應律為

(17)

PA+ATP=-Q。

(18)

公式(18)給出了保證控制算法穩(wěn)定的控制參數約束條件。

3 實驗分析

為了驗證方法的有效性，本文在自主研發(fā)的單自由度機器人關節(jié)上進行實驗驗證。實驗裝置如圖5所示。其中控制器用于產生軌跡、接收反饋信號以及發(fā)送控制指令，計算機用于記錄實時軌跡、控制量等日志數據。

圖5 實驗裝置圖Figure 5 Experimental device diagram

b=[5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5]。

中心向量為

其中，中心向量和基函數寬度的值是通過只含有計算力矩控制時的跟蹤誤差范圍以及實際實驗調試效果確定的，因此這也是該方法的不足之處。

由于正反兩個方向摩擦模型參數數值相差較小，為了簡化實驗模型，將對應摩擦模型參數求平均值后可得摩擦模型為

本文實驗主要涉及含摩擦模型的自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制、無摩擦模型的自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制、傳統(tǒng)計算力矩絡控制這三種控制方法的軌跡跟蹤實驗，圖6和圖7為關節(jié)輸出端跟蹤軌跡圖和誤差圖，圖8和圖9為關節(jié)輸出端的神經網絡等效輸出。表3列出了系統(tǒng)在運行200 s后角度誤差范圍對比。

圖6 軌跡跟蹤圖Figure 6 Trajectory tracking curves

圖7 角度軌跡誤差對比圖Figure 7 Comparison of angle tracking error curves

圖8 無摩擦建模時神經網絡輸出Figure 8 Neural network output without friction modeling

圖9 含摩擦建模時神經網絡輸出Figure 9 Neural network output with friction modeling

表3 角度軌跡跟蹤誤差對比Table 3 Comparison of angle tracking errors

圖6是傳統(tǒng)計算力矩控制、無摩擦模型的自適應RBF神經網絡控制、含摩擦模型的自適應RBF神經網絡控制軌跡跟蹤對比圖，圖7是三種控制方式的角度軌跡跟蹤誤差對比圖。從圖6的局部放大圖中可以看出在到達軌跡最值即速度為零時誤差較大，該部分的誤差主要是由于關節(jié)處存在摩擦引起的，在控制器輸出的控制力矩小于關節(jié)靜摩擦力時，關節(jié)輸出軸將處于靜止狀態(tài)，導致無法跟蹤理想信號。傳統(tǒng)計算力矩控制和無摩擦模型的自適應RBF神經網絡控制這兩種控制方法誤差較為明顯。雖然在傳統(tǒng)計算力矩控制器的基礎上加入自適應RBF神經網絡補償后，可以從圖7誤差對比圖中看出，當達到穩(wěn)定時自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制器的誤差明顯減小，但是由于神經網絡的學習能力有限，仍然沒有能夠很好的補償關節(jié)處存在的非線性摩擦。經過關節(jié)摩擦建模后，由圖6中的局部放大圖可以看出，當進行摩擦建模并補償時的響應速度更快，摩擦帶來的影響大大減小。由圖7給出的跟蹤誤差對比也可以看出，在達到穩(wěn)定時跟蹤誤差明顯降低。

在200 s后跟蹤誤差基本趨于穩(wěn)定，由表3列出的軌跡跟蹤誤差范圍可得，含摩擦模型的自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制追蹤誤差±1.83×10-3rad是無摩擦模型控制追蹤誤差±3.32×10-3rad的55.12%，是傳統(tǒng)計算力矩控制追蹤誤差±5.85×10-3rad的31.28%。

圖7可以看出，在加入自適應RBF神經網絡補償后，需要經過200 s軌跡跟蹤誤差趨于穩(wěn)定狀態(tài)。引起該現象的主要原因是由于神經網絡有一個學習的過程，經過一段時間后學習完成誤差趨于穩(wěn)定。200 s的收斂時間相對較長，但是如果每次關機時記錄神經網絡參數，則在下一次開機時并不需要重新學習，因此200 s的收斂時間只會在神經網絡第一次學習時出現，并不影響后續(xù)使用過程中算法的性能。

4 結 論

本文基于拉格朗日方程和Stribeck模型對單自由度機器人關節(jié)進行動力學建模，并利用最小二乘法對摩擦模型參數進行辨識；基于含未建模動態(tài)的機器人關節(jié)動力學模型，設計了自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制器，實現關節(jié)角度軌跡跟蹤。理論分析和實驗表明：

1)在動力學模型中，加入非線性摩擦模型，降低了系統(tǒng)輸入輸出的非線性，提高了自適應RBF神經網絡對機器人關節(jié)動力學模型未建模動態(tài)的逼近能力；

2)選取合適的計算力矩參數以及李雅普諾夫方程中正定矩陣Q可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定與收斂性；

3)本文設計的控制算法軌跡跟蹤精度優(yōu)于傳統(tǒng)計算力矩控制和無摩擦模型的自適應RBF神經網絡補償計算力矩控制。