向曉琳

【摘要】與正方形有關(guān)的幾何證明題，一般看似簡單，實則難度系數(shù)很大.只要能夠充分挖掘出正方形的性質(zhì)以及題目中的信息，正確添加輔助線，一般都能迎刃而解.

【關(guān)鍵詞】正方形;對角線;相等;2;線段的比

初中幾何題，一般喜歡和正方形結(jié)伴而行，題目條件給得簡單，但要想解決問題，則并不簡單.如何尋找解題思路，下面就以具體例題來說明.

一、典例展示

在正方形ABCD中，BD為其對角線.

（1）如圖1所示，若E，F(xiàn)分別在BD，BC上，且AE⊥EF于E，AE與EF有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由;

（2）如圖2所示，AC交BD于O，OQ⊥OP于O，OQ交BC于Q，OP交DC于P，∠QPC的角平分線PT交OC于T.求證：BC-QP=2TC;

（3）如圖3所示，在OB，OC上取M，N，過O作OG⊥MC交BC于G，過N作NH⊥MC交BC于H，若BG=45GH，求OMON的值.

二、方法探究

1.方法：利用正方形的對角線平分對角，構(gòu)造全等三角形.

解 分別過E作EG垂直AB于G，EH垂直BC于H.

∵BD平分∠ABC，∴EG=EH.

∵∠AEG+∠GEF=90°，∠GEF+∠FEH=90°，∴∠AEG=∠FEH.

又∵∠AGE=∠FHE，

∴△AGE≌△FHE，∴AE=EF.

點撥 在正方形中，證明線段相等，一般通過證三角形全等來解決.其他如線段的中垂線、角的平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定，也經(jīng)常用到.在此題中，要充分利用正方形的性質(zhì)去解題，如果忘記它的性質(zhì)，那此題就要花費一番功夫才能做出來.輔助線的作法也要講究技巧，在構(gòu)造全等三角形時，要把所證的兩條線段，放在所證的兩個三角形中.

2.方法：利用對角線平分對角，轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中.

證明 ∵∠BOQ+∠QOC=90°，∠COP+∠QOC=90°，

∴∠BOQ=∠COP.

又∵BO=CO，∠OBQ=∠OCP=45°，

∴△OBQ≌△OCP，∴OQ=OP，

∴QP=2OP，∠OPQ=45°.

∵OB=OC，∠BOC=90°，∴BC=2OC，

∴BC-QP=2OC-2OP=2（OC-OP）.

∵PT是∠QPC的角平分線，∴∠QPT=∠CPT.

∵∠OPT=∠OPQ+∠QPT=45°+∠QPT，∠OTP=∠OCP+∠CPT=45°+∠CPT，

∴∠OPT=∠OTP，∴OP=OT，

∴BC-QP=2（OC-OP）=2（OC-OT）=2TC.

點撥 在正方形中，一看見45°，2，就要想到直角三角形，斜邊是等腰直角邊的2倍.此題不適合采用截長補短法.在此類題型中，要學(xué)會因果互推，俗稱“首尾碰”，即從因?qū)Чê蛨?zhí)果索因法的綜合運用.即由已知條件出發(fā)，聯(lián)系基礎(chǔ)知識和基本經(jīng)驗，推出可能得出的所有結(jié)果;又從要證明的結(jié)論出發(fā)，逆推使結(jié)論成立的條件，在前面的“結(jié)果”和逆推條件中找到共同點，從而找到證明思路.

3.方法：利用垂直得平行，再轉(zhuǎn)化證相似.

解 延長BD和HN，交于P.

∵OG⊥CM，NH⊥CM，∴OG∥NH，

∴BGGH=OBOP=OCOP.

∵∠OCM=90°-∠OMC，

∠P=90°-∠OMC，

∴∠OCM=∠P.

又∵∠MOC=∠NOP，∴△OMC∽△ONP，

∴OMON=OCOP，∴OMON=BGGH.

∵BG=45GH，∴OMON=45.

點撥 有平行線，想到線段成比例定理，用三角形相似得對應(yīng)邊成比例，通過中間比，達(dá)到完美轉(zhuǎn)化的目的.

一般做幾何證明題，尤其是與正方形有關(guān)的題目，更要根據(jù)題目中的已知條件，利用數(shù)學(xué)公理、定理、法則、公式、圖形性質(zhì)等說明結(jié)論推導(dǎo)的過程.許多學(xué)生在遇到幾何證明題時，無從下手，茫然不知所措，根本原因就是基礎(chǔ)知識儲備不夠.有的幾何證明題，就題目所給已知條件及圖形所給條件無法建立已知和求證的聯(lián)系，此時，可以嘗試添加輔助線幫助解題.在尋找證明思路時，對條件中折射出的信息，要盡可能多地挖掘出來.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王正超.深挖習(xí)題 激活思維——對一道幾何題的探究與推廣[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（5）：62-64.