黎志榮

【摘要】圓錐曲線中的定點問題是歷年高考?？嫉膬?nèi)容.可是無論使用先特殊探路再證明的方法，還是傳統(tǒng)的方法都存在著計算量非常大的問題，學生望而止步.因此，筆者認為有必要歸納整理幾種有效方法，優(yōu)化計算過程.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;定點

圓錐曲線中的定點問題是解析幾何中的重要內(nèi)容，也是歷年高考的高頻考點.筆者覺得有必要將定點問題進行分類整理，介紹幾種有效方法，優(yōu)化計算過程.

一、參數(shù)分離法

一般將已知條件通過變形、轉(zhuǎn)化、化簡得到的方程與參數(shù)沒有關(guān)系，從而得到定點的值.一般常見定點問題有直線過定點與圓過定點兩種類型的題目.

例1 已知：橢圓C：x216+y24=1，左頂點為A，過原點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點（M，N不為橢圓的左右頂點），直線AM，AN分別與y軸交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑圓E過定點，并求出定點的坐標.

證明 易知M，N關(guān)于原點對稱，故設M（x1，y1），N（-x1，-y1），P（0，y2），Q（0，y3），以PQ為直徑的圓E過定點T（x，y），所以PT·QT=0，得x2+y2-（y2+y3）y+y2y3=0 ①.由KAM=KAP得y1x1-4=y2-4，即y2=-4y1x1-4，同理由KAN=KAQ得y3=4y1-x1-4，所以y2y3=-16y2116-x21 ②.因為點M在橢圓上，所以x2116+y214=1，變形得y21=41-x2116 ，代入②化簡得y2y3=-4，將y2y3=-4代入①得x2+y2-（y2+y3）y-4=0，由于圓E的圓心0，y2+y32是運動的，所以y2+y3是變量，故令y=0，得x=2或x=-2，所以以PQ為直徑的圓E過兩個定點分別為（-2，0，）和（2，0）.

二、對偶法

我們遇到直線過定點的題目，很多時候利用條件構(gòu)造含有x1+x2，x1x2的式子，然后利用韋達定理轉(zhuǎn)化成含有k的式子，得到y(tǒng)-y0=k（x-x0），從而確定定點坐標.但是對偶法是利用橢圓上兩個動點對偶原理，構(gòu)造出x1y2-x2y2，代入直線方程y=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1，從而得到定點的坐標.這種方法看似復雜，其實在實際運用過程中，可以大大減少運算量，可謂是獨樹一幟.

例2 已知：橢圓C：x216+y29=1，直線l與橢圓C相交于M，N兩點（M，N不為橢圓的左右頂點），且以MN為直徑的圓E經(jīng)過點P（4，0），求證：直線l過定點.

證明 設M（x1，y1），N（x2，y2），由kPM·kPN=-1得y1x1-4·y2x2-4=-1 ①.因為點M在橢圓C上，所以x2116+y219=1，變形得y1x1-4=-9（x1+4）16y1 ②.將②代入①整理得9x1y2-16x2y1=-64y1-36y2，又因為點N也在橢圓上，得9x2y1-16x1y2=-64y2-36y1，以上兩式相減化簡得x1y2-x2y1=2825（y2-y1），把上式代入y=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1得到y(tǒng)=y2-y1x2-x1x-2825，所以直線l過定點2825，0.

三、齊二次方程法

此法主要針對題目條件中明顯可以轉(zhuǎn)化“兩條動直線的斜率之和或者兩動直線的斜率之積為定值”的題目.具體的做法是先利用條件轉(zhuǎn)化成含有y-sx-t的齊二次方程，再利用韋達定理轉(zhuǎn)化成直線的斜率m與截距n的關(guān)系，從而得到直線恒過的定點.

例3 已知：坐標原點為O，橢圓E：x24+y2=1，不過A（-2，0）的直線l與橢圓E相交于點B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為-2，求證：直線l過定點.

證明 設B（x1，y1），C（x2，y2），直線l為x=my+n（n≠-2），因為kAB+kAC=-2，所以y1x1+2+y2x2+2=-2，將直線l的方程變形為x+2-myn+2=1 ①，將橢圓的方程x24+y2=1變形為[（x+2）-2]24+y2=1，展開得（x+2）2-4（x+2）×1+4y2=0，將①代入上式整理得到一個關(guān)于yx+2的齊二次方程4yx+22+4mn+2·yx+2+n-2n+2=0，由韋達定理可知-4m4（n+2）=-2，所以n=m-42，所以直線l方程為x+2=my+12，所以直線l過定點-2，-12.

四、二次曲線系法

如果直線l1的方程為f（x，y）=0，直線l2的方程為g（x，y）=0，直線l1，l2與橢圓C：x2a2+y2b2=1相交于A，B，C，D四點，則這四點的二次曲線系為f（x，y）g（x，y）+（b2x2+a2y2-a2b2）=0.此法主要是兩次構(gòu)造這樣的二次曲線系，然后對比相關(guān)的系數(shù)，得到直線的斜率k與截距m的關(guān)系，從而求得定點.這種方法比較適合以“極點”“極線”為背景的題目.

例4 已知：以A，B為左右頂點的橢圓C：x24+y2=1的外部有一動點P，點P的橫坐標為4，PA，PB分別交橢圓異于A，B兩點E，F(xiàn)，求證：直線EF過定點.

證明 易知A（-2，0），B（2，0），設P為（4，t），則直線AB的方程為y=0，直線EF為y=kx+m，所以A，B，E，F(xiàn)的二次曲線為y（kx-y-m）+λ（x2+4y2-4）=0 ①.又因為直線PA為y-0=t-06（x+2），即是tx-6y+2t=0，直線PB為y-0=t-02（x-2），即tx-2y-2t=0，所以（tx-6y+2t）（tx-2y-2t）=0 ②.通過對比①②中xy，y的系數(shù)得-6t=k，6t=m， 即m=-k，所以直線EF的方程為y=kx-k，即y=k（x-1），所以直線EF恒過點（1，0）.

筆者建議在平時的教學中，多使用一題多解，多題一解的方式教學，為學生提供多樣化的解題方案，拓展學生的解題思路，提高學生的解題能力.

【參考文獻】

[1]袁芹芹.“特殊值法”解決圓錐曲線中的定值定點問題[J].中學數(shù)學教學參考，2016（6）：53-56.

[2]楊其武.例談解析幾何定值問題的探究與證明[J].中學數(shù)學研究，2014（9）：14-17.