廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀表示，是揭示函數(shù)性質(zhì)的有力工具，是數(shù)形結(jié)合的重要載體，也是高考的熱點(diǎn)之一.高考考查函數(shù)圖象的試題一般從三個(gè)視角命制：函數(shù)圖象的繪制、函數(shù)圖象的識(shí)辨和函數(shù)圖象的應(yīng)用.考查形式多為選擇題或填空題，難度基礎(chǔ)或中等，常用特殊點(diǎn)法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等解決.下面以近幾年高考全國(guó)卷為例闡述如下：

一、函數(shù)圖象的繪制

函數(shù)圖象的繪制是高考的基本要求.已知函數(shù)的解析式，作函數(shù)圖象一般有兩種方法：描點(diǎn)法和圖象變換法.當(dāng)已知函數(shù)是基本函數(shù)時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的特征找出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出圖象；含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)后再作出圖象；若函數(shù)可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作出，對(duì)不能直接找到基本函數(shù)的要先變形，注意變換的順序?qū)ψ儞Q單位和解析式的影響.

1.描點(diǎn)法

例1(2016年新課標(biāo)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|．

(1)在圖中畫出y=f(x)的圖象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

分析(1)利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再畫出函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

(2)由|f(x)|>1，可得f(x)<-1或f(x)>1

點(diǎn)評(píng)本題考查分段函數(shù)圖象的畫法和絕對(duì)值不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.圖象變換法

點(diǎn)評(píng)本題考查三角函數(shù)圖象的變換，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力．

二、函數(shù)圖象的識(shí)辨

函數(shù)圖象的識(shí)辨是高考的熱點(diǎn).一般有兩種類型：知式選圖和知圖求式.前者是給出函數(shù)的解析式，確定所給函數(shù)的圖象；后者是給出函數(shù)的圖象,確定圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.解題的關(guān)鍵是從圖象中讀出有用的信息,并與函數(shù)解析式相互印證，進(jìn)而解決問(wèn)題.

尋找函數(shù)圖象與解析式之間的關(guān)系，常從以下幾個(gè)方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)等.反之亦然.

利用上述方法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng).當(dāng)選項(xiàng)無(wú)法排除時(shí)，可代特殊值，或從某些量上找突破口.

1.知式選圖

例3 (2016新課標(biāo))函數(shù)f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為( ).

分析通過(guò)研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值和特殊值，確定函數(shù)的圖象.

解答函數(shù)f(x)=2x2-e|x|在[-2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

因?yàn)閒(2)=8-e2∈(0,1)，故可排除A,B.

設(shè)g(x)=2x2-ex，則g′(x)=4x-ex.

∵g′(0)<0,g′(2)>0,∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，

∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，排除C.故選D.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵．

例4 (2015年新課標(biāo)Ⅱ)如圖,長(zhǎng)方形的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng),記∠BOP=x,將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則函數(shù)的圖象大致為( ).

分析解決此類問(wèn)題可以根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷函數(shù)的圖象，也可以采用“以靜觀動(dòng)”，即將動(dòng)點(diǎn)置于某些特殊的位置考察圖象的變化特征，從而作出選擇.

2.知圖求式

例5(2015年新課標(biāo)Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ).

分析由圖可求函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

巧思由圖可求函數(shù)f(x)的周期和初相，再求單調(diào)遞減區(qū)間，進(jìn)而得出結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、函數(shù)圖象的應(yīng)用

函數(shù)圖象的應(yīng)用也是高考的熱點(diǎn).函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.以函數(shù)圖象為工具來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.應(yīng)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解方程或不等式，解決零點(diǎn)問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、存在性問(wèn)題都是常見的題型.

1.研究函數(shù)的性質(zhì)

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

分析易知f(x)是偶函數(shù).根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)解析式，作出函數(shù)的圖象即可作出判斷．

解答∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

由圖可得①、④正確，故選C．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題真假的判斷，正確畫出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵．

2.解方程或不等式

A．(-∞，-1] B．(0,+∞)

C．(-1,0) D．(-∞,0)

分析畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即可．

點(diǎn)評(píng)本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計(jì)算能力．

3.零點(diǎn)問(wèn)題

A．[-1，0) B．[0，+∞)

C．[-1，+∞) D．[1，+∞)

分析由g(x)=0得f(x)=-x-a，分別作出函數(shù)y=f(x)和y=-x-a的圖象，根據(jù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求出a的取值范圍．

解答由g(x)=0得f(x)=-x-a，作出函數(shù)y=f(x)和y=-x-a的圖象如圖.

當(dāng)直線y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞)，故選C．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，把函數(shù)g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)和y=-x-a圖象的交點(diǎn)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．

4.恒成立問(wèn)題

分析這是一個(gè)恒成立的問(wèn)題，借助函數(shù)y=4x和y=logax的圖象和性質(zhì)可解.

解答當(dāng)a>1時(shí)，logax<0，顯然4x

點(diǎn)評(píng)本題主要考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式恒成立問(wèn)題的一般解法，屬基礎(chǔ)題.

5.存在性問(wèn)題

例10(2015年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

分析設(shè)g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一整數(shù)x0使得g(x0)

解答設(shè)g(x)=ex(2x-1)，h(x)=ax-a.

點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．

總之，繪制函數(shù)圖象要規(guī)范、準(zhǔn)確；識(shí)辨函數(shù)圖象要善于讀圖；應(yīng)用函數(shù)圖象解題要靈活構(gòu)造函數(shù)，并作出圖象. 熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解決這類問(wèn)題的前提.