林 娜

(廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

從2019年全國(guó)Ⅰ卷理科17題和全國(guó)Ⅲ卷理科18題對(duì)解三角形的考查來(lái)看，三角形中的基本方法、基本結(jié)論、基本圖形和基本關(guān)系仍然是高考考查的重點(diǎn)，高考側(cè)重對(duì)學(xué)生四基即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.在新的問(wèn)題情境下，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解和掌握的情況，考查學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，意在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最終幫助學(xué)生建立“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的能力，這才是真正地將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)落在實(shí)處.下面我們通過(guò)具體例題來(lái)說(shuō)明解三角形中的基本問(wèn)題的解決思路和求解策略，希望對(duì)大家高三復(fù)習(xí)備考有所啟發(fā)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有所幫助.

一、抓住基本條件和基本結(jié)論，選擇合理的運(yùn)算途徑和方法

例題1(2019年全國(guó)Ⅰ理科17題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

(1)求A；

解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，故由正弦定理得b2+c2-a2=bc．

因?yàn)?°

(2)思路1 (化邊為角)

(*)式還可以化為正弦或者也可以聯(lián)立sin2C+cos2C=1來(lái)求解.

思路2 (化角為邊)

思路3 (利用基本結(jié)論)

我們發(fā)現(xiàn)了這個(gè)題的出題思路來(lái)源于教材上同學(xué)們熟悉的射影定理，知道題目的來(lái)源為解題提供了思路，那么如何來(lái)表達(dá)呢？

解題反思思路1和思路2本質(zhì)上是相同的，已知兩個(gè)內(nèi)角或者已知一個(gè)角和三個(gè)角的關(guān)系或者已知兩組邊的關(guān)系，都可以得到相似三角形，三個(gè)角確定或者三條邊的比例關(guān)系確定，這是思路1和思路2的來(lái)源.在解三角形問(wèn)題的時(shí)候要分析題目已知的基本條件，根據(jù)基本條件可以預(yù)想得到什么樣的結(jié)果，還要看最終達(dá)到怎樣的目的，最終找到運(yùn)算的方向和目標(biāo).思路3來(lái)源于基本結(jié)論射影定理，也是這道題目的出題來(lái)源，如果從基本結(jié)論出發(fā)，問(wèn)題馬上迎刃而解.

(1)求角C；

(2)分析：已知角C和角B，則三角形是相似的，我們可以確定三條邊的比例關(guān)系，選擇哪個(gè)定理呢？如果用余弦定理將得到

解題反思這道題學(xué)生做得不好，很多學(xué)生反映很久沒(méi)找到解題思路，我想歸結(jié)原因，是學(xué)生沒(méi)有整體分析和把握已知的基本條件，選擇合理的運(yùn)算路徑和解題方向，迷失在兩個(gè)小三角形△ABD和△ACD中.另外，由已知條件如何確定三邊的比例關(guān)系，也要事先有預(yù)想，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢，不可盲目，導(dǎo)致計(jì)算量加大，出錯(cuò)的概率增加，時(shí)間成本提高..

二、抓住基本邊角關(guān)系，引入變量，建立方程

(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA.

解題反思分析題目已知條件，發(fā)現(xiàn)無(wú)法從任何一個(gè)三角形“突破”，這個(gè)時(shí)候往往需要尋找相鄰三角形邊角的基本關(guān)系，利用這個(gè)基本關(guān)系，引入某個(gè)角或某條邊為變量，通過(guò)這個(gè)變量建立方程. 思路1和思路2分別引入角和邊為變量，建立了方程，想法本質(zhì)上是一樣的.但是，兩種思路計(jì)算量差別很大，所以實(shí)際解題時(shí)，需要以所求為線索選擇合適的方法.

變式已知平面圖形ABCD為凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在的直線，其余各邊均在此直線的同側(cè))，且AB=2,BC=4,CD=5,AD=3，則四邊形ABCD面積的最大值為( ).

解△ABC和△ABD中已知條件都只有兩條邊，無(wú)法“突破”，于是建立兩者邊角的聯(lián)系，有公共邊AC，故設(shè)AC=x，由余弦定理可得

兩式平方相加得289-240cos(B+D)=49+4S2，S2=60-60cos(B+D).

解體反思通過(guò)引入△ABC和△ABD公共邊AC為變量建立角B和角D的方程，利用三角形面積公式，將四邊形面積表達(dá)出來(lái)，但兩個(gè)角的關(guān)系比較復(fù)雜，消元難以實(shí)現(xiàn)，于是我們看到整體結(jié)構(gòu)，將兩個(gè)式子平方相加，水到渠成.

三、抓住基本圖形，數(shù)形結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)

(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

解(1)B=60°(過(guò)程略).

解題反思思路1和思路2是處理三角形中范圍或最值問(wèn)題的常規(guī)的方法，將面積表達(dá)為某個(gè)角或某條邊的函數(shù)，確定函數(shù)的定義域，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題；或者利用基本不等式來(lái)求解. 思路2重視基本圖形背后的結(jié)論，即由銳角三角形知三角形中任意兩邊的平方和都大于第三邊的平方；思路3利用動(dòng)點(diǎn)軌跡的思想，根據(jù)已知條件，確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，抓住基本圖形直角三角形，直接“秒解”，該題是極限思想的具體運(yùn)用和綜合體現(xiàn).

變式1 在△ABC中，已知BC=2，AB=2AC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___.

思路固定BC，由AB=2AC得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為阿波羅尼斯圓.當(dāng)三角形△ABC中,BC邊的高為圓的半徑時(shí)，三角形的面積取最大值.

變式2 在△ABC中，已知BC=2，AB+AC=4，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___.

思路固定BC，由AB+AC=4得到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為橢圓，當(dāng)三角形△ABC中BC邊的高為橢圓的短半軸長(zhǎng)時(shí)，三角形的面積取最大值.

變式3 在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若2a2+3b2+4c2=8，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___.

解題反思變式1和變式2都是固定一條邊，即三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，則第三個(gè)頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡分別為基本圖形圓和橢圓，結(jié)合圖形，答案顯而易見(jiàn). 變式3已知邊的線性平方和為定值，可以把一條邊固定(看成已知的)，則問(wèn)題歸結(jié)為變式1和變式2類似的問(wèn)題.又因?yàn)槠矫鎯?nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離的平方和為定值的點(diǎn)的軌跡為圓，數(shù)形結(jié)合，找到取最大值的動(dòng)點(diǎn)位置，得到關(guān)于邊c的一個(gè)函數(shù)，再求函數(shù)的最大值.本題取了兩次最值，這也是我們?cè)谔幚黼p變量問(wèn)題時(shí)的常見(jiàn)處理思路.當(dāng)然這三道變式題都有很多其它解法，但其它解法相對(duì)復(fù)雜很多.如果我們能夠抓住直角三角形、圓、橢圓等基本圖形，數(shù)形結(jié)合，往往能夠化繁為簡(jiǎn)，并且能夠抓住問(wèn)題的本質(zhì).

四、備考建議

在高考中解三角形的題目主要考查考生運(yùn)算能力，以及對(duì)基本結(jié)論的靈活運(yùn)用能力，要盡可能地取得高分甚至滿分.建議教師利用好課堂時(shí)間去引導(dǎo)學(xué)生思考如何選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算路徑避免繁雜的運(yùn)算，如何挖掘條件中的基本條件、基本結(jié)論、基本關(guān)系、基本圖形等去解決問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn).這一基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得必須重視平時(shí)的思維訓(xùn)練，不可小覷.學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力的提升最后都體現(xiàn)在學(xué)生解題水平的提高，這也是教師應(yīng)該深思和未來(lái)努力的方向.