章顯聯(lián)

(浙江省紹興市魯迅高級(jí)中學(xué) 312000)

教材是教師教學(xué) ，學(xué)生學(xué)習(xí)之本，也是高考命題專家命題之源.數(shù)學(xué)概念，法則，公式的復(fù)習(xí)不僅要記住結(jié)論，更要關(guān)注它們的發(fā)生，發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).下面通過(guò)探秘2019年部分高考題的源與流，讓我們更懂得需要利用好教材，包括教材中的習(xí)題.

一、厲害了，我的角

高考真題【2019年浙江高考8】設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))．記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則( ).

A．β<γ，α<γB．β<α，β<γ

C．β<α，γ<αD．α<β，γ<β

題源揭秘本題的背景是：“最大角與最小角原理”.

探究1已知AP為平面α的斜線，AP與平面α內(nèi)過(guò)P點(diǎn)的所有直線所成的角中，最小的那個(gè)角在哪里？

通過(guò)直觀感知，操作確認(rèn)，思辨證明得出最小角.

最小角原理：斜線與平面內(nèi)任何直線所成的角中線面角最小.

三余弦公式：cosγ=cosθ·cos∠CPO.

圖1 圖2

探究2在銳二面角α-l-β中，α內(nèi)過(guò)P點(diǎn)的所有直線中，哪條直線與β所成線面角最大？

通過(guò)直觀感知，操作確認(rèn)，思辨證明得出最大角原理及三正弦公式：

最大角原理：在銳二面角α-l-β中，α內(nèi)的任一直線AP與β所成線面角中二面角的平面角最大.

三正弦公式：sinθ=sinγ·sin∠PAF.

(其中θ為線面角，γ二面角α-l-β的平面角)

真題解答：

法1由最小角原理得β<α，記二面角V-AB-C的平面角為γ′(顯然γ=γ′).

由最大角原理得β<γ，故選B.

法2(特殊位置)取V-ABC為正四面體，P是棱VA上的中點(diǎn)，算出α，β，γ的正弦值，可得選項(xiàng)B.

變式問(wèn)題

變式題1(2018浙江高考8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( ).

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

解1作出三個(gè)角，通過(guò)定量計(jì)算得出答案為D.

解2由最小角與最大角原理知：θ1≥θ2,θ3≥θ2，故選D.

變式題2 (2018年11月浙江學(xué)考)

四邊形ABCD為矩形，沿AC將△ADC翻折成△AD′C.設(shè)二面角D′-AB-C的平面角為θ，直線AD′與BC所成的角為θ1，直線AD′與平面ABC所成的角為θ2，當(dāng)θ為銳角時(shí)，有( ).

A．θ2≤θ1≤θB．θ2≤θ≤θ1

C．θ1≤θ2≤θD．θ≤θ2≤θ1

解由最小角原理得θ1≥θ2，由最大角原理得θ≥θ2.下面比較θ1與θ的大小既可.選B.

圖3

變式題3(2014年浙江高考17)如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值為_(kāi)___.

解1函數(shù)思想

∵AB=15,AC=25,∴BC=20.設(shè)P點(diǎn)到地面垂足為N，h=PN,則

解2由線面角≤面面角，求tanθ的最大值轉(zhuǎn)化為求二面角M-AC-Q的平面角.

變式題4若異面直線a,b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P與a,b所成角都是30°的直線有( ).

A．一條 B.二條 C.三條 D四條

變式題5若異面直線a,b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P與a,b所成角都是80°的直線有( ).

A．一條 B.二條 C.三條 D.四條

同上法有四條.故選D.

年年歲歲花相似，歲歲年年題不同.考查這類空間角的大小是浙江省高考題中難以割舍的情結(jié)，其本質(zhì)是考查線面角與面面角定義的合理性，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑.正是“初聞不知角中意，細(xì)品已是角中人，角中聯(lián)系今猶在，挖掘內(nèi)涵助提升.”

二、心里有譜，做題塌實(shí)

高考真題【2019年浙江高考21】如圖，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

圖4

題源揭秘：本題可借助拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求解.結(jié)合人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第70頁(yè)例5，第73頁(yè)習(xí)題2.4A組第6題，第81頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第7題可得到拋物線的常用結(jié)論：已知拋物線y2=2px(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),

(3) 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

(6)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．

(7)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，則x軸平分∠AEB；反之，若x軸平分∠AEB，則直線過(guò)點(diǎn)F.

真題解答：

(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xc,yc)，重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0，則xA=t2.

所以，直線AC方程為y-2t=2t(x-t2)，得Q(t2-1,0).

圖5

圖6

變式2已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線AM交拋物線于A，M兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線BC交拋物線于B，交x軸于點(diǎn)C，若M為BC的中點(diǎn)，求|AB|的最小值.

變式3(2001年全國(guó)卷)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

圖7

證明二如圖8，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過(guò)A作AD⊥l，D是垂足．則AD∥FE∥BC．

圖8

根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

以上幾道題都涉及多點(diǎn)關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，而關(guān)聯(lián)定乾坤的是拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)(證明過(guò)程參照變式3)，心中有拋物線的常用結(jié)論，做題心里就有譜，踏實(shí).拋物線中很多結(jié)論可推廣到橢圓、雙曲線，它們具有類似的性質(zhì).

我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)，高考復(fù)習(xí)期間，千萬(wàn)別忘了“本”，更不能舍本求末，課本中的“金礦”等待我們?nèi)ネ诰颍?/p>