陳志剛

(湖北省孝感市湖北航天高級(jí)中學(xué) 432100)

分類討論思想歷來(lái)是高考的高頻和熱點(diǎn)考點(diǎn).分類討論沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，不同情況分類標(biāo)準(zhǔn)不一樣，本文試圖解決一類數(shù)學(xué)分類討論的題型，以餐讀者.

人教版必修一第39頁(yè)B組第一題.己知函數(shù)f(x)=x2-2x，g(x)=x2-2x,x∈[2，4] .求函數(shù)f(x)，g(x) 最小值.這 道題的編者意圖是讓學(xué)生分清同一函數(shù)在不同區(qū)間的最值求解問(wèn)題，不妨把區(qū)間 (-∞，+ ∞)，和[2，4]等區(qū)間定義為定區(qū)間，那么這道題本質(zhì)是考查一元二次函數(shù)在定區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題.

上述求函數(shù)g(x)=x2-2x,x∈[2，4] 最小值.只是其中一種具體情形，即對(duì)稱軸在閉區(qū)間的左邊的一種情況.

下面再通過(guò)一個(gè)例子系統(tǒng)說(shuō)明一元二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值情況.求函數(shù)f(x)=x2-2ax，x∈[2，4]的最大值和最小值.

由于此函數(shù)的對(duì)稱軸x=a(a∈R)，是一條變動(dòng)的對(duì)稱軸，對(duì)于這樣的函數(shù)的最值,緊緊抓住上述四種的情況，問(wèn)題就能迎刃而解，顯然只需要分(1)a≤2,(2)24這四種情況.就能很好地求出此函數(shù)的最大值和最小值.

在閉區(qū)間的最值情況搞清楚了,在定區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題就能很快解決.還是看對(duì)稱軸是否穿過(guò)定區(qū)間了，上述函數(shù)f(x)=x2-2x最值實(shí)質(zhì)上是在定區(qū)間(-∞，+∞)上的對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)的一種情形，再比如，求函數(shù)f(x)=x2-2ax，在區(qū)間[2，+∞)上的最小值.就看對(duì)稱軸x=a是否穿過(guò)區(qū)間[2，+∞),只有兩種情形，分(1)a≤2和(2)a>2討論即可.

這種解法的思維拓展.

對(duì)于開(kāi)口向上的拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，本質(zhì)上是函數(shù)的極小值點(diǎn)，看對(duì)稱軸是否穿過(guò)區(qū)間，其實(shí)可以看成函數(shù)極小值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)，對(duì)于函數(shù)極大值點(diǎn)情形類比分析.這種思維方法，可以拓展到一些非對(duì)稱圖形的函數(shù)最值問(wèn)題，這類問(wèn)題在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用中極其廣泛.

例如，己知函數(shù)f(x)=(x-k)ex求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最小值，求得f′(x)=(x-k+1)ex,令f′(x)=(x-k+1)ex=0得x=k-1.顯然，函數(shù)f(x)在x=k-1處取得極小值點(diǎn).看極小值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)可以得到如下的分類討論情況:

(1)當(dāng)k-1≤0即k≤1時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)=-k.

(2)當(dāng)0

(3)當(dāng)k-1>1即k>2時(shí)，函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減，f(x)在區(qū)間[0，1]的最小值為f(1)=(1-k)e.

解f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1).令f′(x)=0得x=a，x=1.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增.顯然，只需看極小值點(diǎn)a是否在區(qū)間[2，4]內(nèi)，這樣對(duì)變量a就有如下的分類:

(1)當(dāng)1

(2)當(dāng)2

(3)當(dāng)a﹥4時(shí)，f(x)在x=4處取最小值f(4)，在x=2處取最大值f(2).

當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=(x-1)2>0，f(x)在[2，4]內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(2).

當(dāng)a<1時(shí),顯然極小值點(diǎn)在區(qū)間[2，4]的左側(cè)，f(x)在[2，4]內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)的最大值為f(4)，最小值為f(2).

這種思維方法的再拓展.

這種思維方法還可以探討函數(shù)的零點(diǎn)在定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).只不過(guò)在探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，要考慮函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)和極值的符號(hào)問(wèn)題.比如上例，在a>1情形下，當(dāng)10,則f(x)在[2，4]內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)20或f(4)>0,則f(x)在[2，4]內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)或有二個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>4時(shí),若f(2)>0，且f(4)<0,則f(x)在[2，4]內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).其他情況以此類推.