陳 陽，王 濤

(遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

近年來，發(fā)展和豐富區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)理論[1,2]并將其進(jìn)行實(shí)時(shí)應(yīng)用受到較多的關(guān)注。與傳統(tǒng)的一型模糊集相比，區(qū)間二型模糊集可以更好地建模并降低不確定性帶來的影響。最近的理論和應(yīng)用研究也證實(shí)了區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)[3 - 7]在處理不確定性方面比相應(yīng)的一型模糊邏輯系統(tǒng)具有優(yōu)勢。區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)由模糊器、規(guī)則庫、推理機(jī)、降型器和解模糊器組成，如圖1[3,4]所示。其中，在推理機(jī)引導(dǎo)下的降型器在系統(tǒng)中起著很重要的作用，其主要功能是將二型模糊集轉(zhuǎn)變成一型模糊集。涉及降型運(yùn)算的區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)比相應(yīng)的一型模糊邏輯系統(tǒng)復(fù)雜。

Figure 1 An interval type-2 fuzzy logic system圖1 1個(gè)區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)

Mendel教授[8]提出了KM(Karnik-Mendel)算法來計(jì)算區(qū)間二型模糊集的質(zhì)心或完成區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)降型。通常，KM算法需要2～6次迭代達(dá)到收斂。為了提高收斂速度和減少計(jì)算消耗，Wu等[9]提出了EKM(Enhanced Karnik-Mendel) 算法。大量仿真研究結(jié)果表明：與KM算法相比，EKM算法平均可節(jié)省2次迭代，從而減少不少于39%的計(jì)算時(shí)間。以上2種算法被稱為KM類算法。另一類算法不需迭代而直接計(jì)算出區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出，它們比迭代類算法計(jì)算速度快，更適合于實(shí)時(shí)應(yīng)用，如NT(Nie-Tan)算法[6,10]、BMM(Begian-Melek-Mendel)算法[11]、UB(Uncertainty Bound)算法[12]等，其中NT算法在最近被證明為KM算法的零階估計(jì)[8,13]，即用NT算法的計(jì)算結(jié)果來估計(jì)KM算法的結(jié)果是較合理的。

受到文獻(xiàn)[6,10,14-18]的啟發(fā)，本文比較了離散版本的NT算法的求和運(yùn)算和連續(xù)版本的NT算法的求積分運(yùn)算，結(jié)合數(shù)值積分技術(shù)中的牛頓-柯斯特求積公式(Newton-Cotes quadrature formulas)將NT算法擴(kuò)展成加權(quán)NT WNT(Weighted NT) 算法。在計(jì)算區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心降型時(shí)，所提出的WNT算法比NT算法準(zhǔn)確，而NT算法只是WNT算法在權(quán)重為常值時(shí)的一種特例。

2 區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)

從結(jié)構(gòu)上考慮，一般認(rèn)為區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)分為Mamdani型[3]和TSK(Takagi Sugeno Kang)型[19]。不失一般性，這里考慮一具有p個(gè)輸入x1∈X1,…,xp∈Xp和1個(gè)輸出y∈Y的Mamdani型區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)，其中,Xi(i=1,…,p)和Y分別為語言變量xi和y的論域，第l條模糊規(guī)則有如下形式：

推理過程如下：

對每條模糊規(guī)則，首先計(jì)算激發(fā)區(qū)間Fl(x′),當(dāng)x=x′時(shí)，

(1)

(2)

其中,*也表示取小或乘積t-范運(yùn)算。

(3)

(4)

3 WNT算法

3.1 牛頓-柯特斯求積公式

數(shù)值積分用一些離散節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值f(xi)的線性組合來近似估計(jì)定積分。

定義1(數(shù)值積分) 假設(shè)a=x0

w0f(x0)+w1f(x1)+…+wNf(xN)

(5)

滿足性質(zhì)：

(6)

下面給出的復(fù)合梯形法則、復(fù)合辛普森(Simpson)法則和復(fù)合辛普森3/8法則分別以直線、二次多項(xiàng)式函數(shù)和三次多項(xiàng)式函數(shù)來估計(jì)被積函數(shù)f(x)。

(7)

若f在區(qū)間[a,b]上是二階連續(xù)可導(dǎo)的，則誤差項(xiàng):

其中a<ζ

(8)

若f在[a,b]上是四階連續(xù)可導(dǎo)的，則誤差項(xiàng):

其中a<ζ

(9)

若f在[a,b]上是四階連續(xù)可導(dǎo)的，則誤差項(xiàng)：

其中a<ζ

3.2 NT和CNT算法

類似于連續(xù)版本的KM CKM(Continous KM)[17]或EKM CEKM(Continous EKM)[16]算法，連續(xù)NT CNT(Continous NT)算法[6]可用來研究區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)降型和解模糊化 (或區(qū)間二型模糊集質(zhì)心) 計(jì)算的理論性質(zhì),且該算法被證明為準(zhǔn)確的質(zhì)心降型算法。這里應(yīng)指出，假設(shè)區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出集已知(通過模糊推理過程得出)，那么求質(zhì)心降型即相當(dāng)于求區(qū)間二型模糊集的質(zhì)心。

(10)

CNT算法可計(jì)算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心為：

(11)

3.3 WNT算法

以3.1節(jié)和3.2節(jié)為基礎(chǔ)，本節(jié)提出一類新的NT算法，稱為加權(quán)NT算法—WNT算法，即:

(12)

其中，yWNT為質(zhì)心輸出解模糊化值，wi為權(quán)值。

WNT可看成CNT的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。NT算法在離散版本下的求和運(yùn)算在連續(xù)版本下?lián)Q成了求定積分運(yùn)算，即在NT中離散節(jié)點(diǎn)xi的求和運(yùn)算起到了相關(guān)函數(shù)積分的作用。根據(jù)式(6)為每個(gè)離散節(jié)點(diǎn)xi的隸屬函數(shù)賦予相應(yīng)權(quán)重wi，則可更加準(zhǔn)確地計(jì)算出輸出值，而NT算法只是在系數(shù)權(quán)重wi=1(i=1,2,…,N)時(shí)的WNT算法的1個(gè)特例。

Table 1 Weights assignment methods of WNT algorithms表1 WNT算法權(quán)重分配方法

在表1中，采用式(7)～式(9)按下列步驟分配除NT算法外其余3種WNT算法的權(quán)重：

(1) 用xi(i=1,…,N)，其中，x1=a，xN=b取代式(7)中的xi(i=0,1,…,m)，其中，x0=a，xm=b;式(8) 中的xi(i=0,1,…,2m)，其中，x0=a，x2m=b；和式(9)中的xi(i=0,1,…,3m)，其中，x0=a，x3m=b。

(2) 式(7)～式(9)中的系數(shù)(分別為h/2，h/3，3h/8)被式(11)中2個(gè)積分間的商運(yùn)算抵消掉。

(3) 表1中分別賦予TWNT和SWNT的權(quán)重值為式(7)和式(8)括號中系數(shù)的1/2，賦予S3/8WNT的權(quán)重值為式(9)括號中系數(shù)的1/3。

(4) 對于SWNT和S3/8WNT，其采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)N不僅限于N=2n+1和N=3n+1,n為任意非負(fù)整數(shù)。

最后可總結(jié)出CNT和WNT在計(jì)算完成區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心降型和解模糊化時(shí)具體聯(lián)系為：

(1) WNT算法是基于采樣數(shù)據(jù)xi(i=1,2,…,N)上的求和運(yùn)算來求質(zhì)心值。而CNT算法應(yīng)用積分運(yùn)算求質(zhì)心值，可近似認(rèn)為它們計(jì)算取得區(qū)間二型模糊集質(zhì)心的準(zhǔn)確值。理論上說，當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)N→+∞時(shí)，WNT算法的解趨于CNT算法的。

(2) 當(dāng)增加采樣個(gè)數(shù)時(shí)，WNT算法會得到更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

(3) WNT算法是以求和運(yùn)算完成數(shù)值計(jì)算，而CNT算法是以求積分運(yùn)算完成象征性的計(jì)算?？梢园裌NT算法看成運(yùn)用數(shù)值積分方法的CNT算法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。

4 仿真

假設(shè)在進(jìn)行降型和解模糊化過程前，所描述的區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的最終輸出區(qū)間二型模糊集的足跡不確定性FOU(Footprint Of Uncertainty) 已通過模糊規(guī)則合并或加權(quán)和等模糊推理運(yùn)算[21]取得。在第1個(gè)例子中，整個(gè)FOU由分段線性函數(shù)[16]所限定。在第2個(gè)例子中，F(xiàn)OU的上邊界是分段高斯隸屬函數(shù)，下邊界是分段線性函數(shù)[22,23]。在第3個(gè)例子中，F(xiàn)OU完全由高斯隸屬函數(shù)[16]組成。表2和圖2給出了3個(gè)例子所定義的FOU相關(guān)隸屬函數(shù)表達(dá)式及其圖形。

Table 2 FOU membership function expressions of three examples表2 3個(gè)例子的FOU隸屬函數(shù)表達(dá)式

Figure 2 FOU graphs of three examples圖2 3個(gè)例子的FOU圖

Figure 3 Computational results of example 1圖3 例1的計(jì)算結(jié)果

Figure 4 Computational results of example 2圖4 例2的計(jì)算結(jié)果

Figure 5 Computational results of example 3圖5 例3的計(jì)算結(jié)果

觀察圖3～圖5以及表3，可得出：

(1) 4種WNT算法的絕對誤差都收斂。在例1中，NT和TWNT算法獲得最小的絕對誤差和變化幅度，SWNT算法取得最大絕對誤差和變化幅度，而S3/8WNT算法得到較小的絕對誤差和變化幅度。在例2和例3中，本文提出的3種WNT

Table 3 Average of relative errors表3 相對誤差的平均值

算法的絕對誤差都小于NT算法的，且收斂速度也快于NT算法的。

(2)NT算法的最大平均相對誤差為0.062 920%，而WNT算法的最大平均相對誤差為0.002 766%。NT算法的總平均誤差為0.025 564%，而WNT算法的最大總平均誤差為0.001 543%。

(3) 從以上分析可知，恰當(dāng)?shù)剡x擇WNT算法，可取得優(yōu)于NT算法的計(jì)算精度和誤差穩(wěn)定性。

Figure 6 Comparisons of computation times for four types of algorithms圖6 4種算法的計(jì)算時(shí)間比較

為了取得更好的實(shí)時(shí)應(yīng)用，下面研究上述算法的計(jì)算時(shí)間 (其取決于具體的軟件與硬件環(huán)境，計(jì)算結(jié)果是不可重復(fù)的)。仿真平臺為E5300@2.60 GHz和2.00 GB內(nèi)存的雙核CPU的戴爾臺式機(jī)，Microsoft Windows XP Professional操作系統(tǒng)。在Matlab 2013a下編程，圖6所示為采樣值個(gè)數(shù)N=50∶50∶4000時(shí)的算法總計(jì)算時(shí)間。

總的來說，盡管NT算法的計(jì)算速度快于WNT算法，但TWNT算法與NT算法的計(jì)算速度幾乎相同。4種算法計(jì)算速度的大小關(guān)系為：NT>TWNT>SWNT>S3/8WNT。由于不涉及迭代過程，權(quán)重分配越簡單的算法計(jì)算速度越快。利用本文所提出的算法可研究區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的降型及解模糊化。若只考慮計(jì)算準(zhǔn)確度，從表3可知，3種WNT算法均強(qiáng)于NT算法，其中TWNT算法是最好的選擇。

最后特別指出，本文的研究只關(guān)注NT算法和WNT算法的理論表現(xiàn)。從仿真例子可得出，當(dāng)使用較多個(gè)數(shù)的采樣點(diǎn)時(shí)，WNT算法與NT算法相比，在計(jì)算準(zhǔn)確度上有一定的提高。盡管如此，倘若對計(jì)算準(zhǔn)確度要求并不高，簡單的NT算法便可得出好的效果，WNT算法就無法體現(xiàn)其優(yōu)勢了。

5 結(jié)束語

本文比較了離散版本和連續(xù)版本的NT算法，利用數(shù)值積分技術(shù)中3種加權(quán)賦值方法將NT算法擴(kuò)展成WNT算法。當(dāng)區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)采用質(zhì)心降型時(shí)，系統(tǒng)的輸出集的FOU已確定，此時(shí)可用連續(xù)版本的降型算法完成降型過程。仿真例子中分析和說明了算法的計(jì)算準(zhǔn)確度和計(jì)算時(shí)間。在取相同主變量采樣率時(shí)，與NT算法相比，WNT算法具有更小的絕對誤差，且TWNT算法與NT算法有幾乎相同的收斂速度。

在以后工作中，將基于本文和文獻(xiàn)[6,16,22-23]進(jìn)一步研究基于降型算法設(shè)計(jì)區(qū)間或廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心降型和中心集降型[13,24-26]，基于優(yōu)化算法[3,4,27-29]的區(qū)間或廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)在預(yù)測和控制等領(lǐng)域中的應(yīng)用。