仲穎 施夏清

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,軟凝聚態(tài)物理及交叉研究中心,蘇州 215006)

在生物體系的活性系統(tǒng)中,桿狀粒子在彈性半柔性邊界中的受限行為極為常見.本文研究了二維情況下,自驅(qū)動桿狀粒子受限在半柔性彈性環(huán)中的集體行為.改變系統(tǒng)的粒子數(shù)及噪聲強度,系統(tǒng)顯示明顯的自驅(qū)吸附有序態(tài)、無序態(tài)及中間的過渡態(tài).通過表征彈性環(huán)內(nèi)部粒子的徑向極性大小和空間分布的非球度性對這些狀態(tài)進行了刻畫.進一步對彈性環(huán)中心附近粒子密度的分析,發(fā)現(xiàn)環(huán)中心氣態(tài)粒子分布存在一個與邊界高密度區(qū)域共存的飽和平臺,出現(xiàn)類似吸附轉(zhuǎn)變的粒子分布.在過渡區(qū)間,體系內(nèi)存在較大的漲落會導(dǎo)致彈性環(huán)出現(xiàn)異常形變.非對稱的粒子分布對彈性環(huán)整體的遷移具有重要貢獻,系統(tǒng)在過渡區(qū)間能獲得相對較強的定向遷移.

1 引 言

活性物質(zhì)通過消耗自身攜帶的或從環(huán)境中吸收的能量來實現(xiàn)各種力學(xué)運動,是一類典型的具有多級結(jié)構(gòu)的非平衡體系,展現(xiàn)出豐富的集體動力學(xué)行為.不同于平衡態(tài),活性物質(zhì)常常具有很強的密度與取向序的耦合,產(chǎn)生極為復(fù)雜的時空演化行為[1?8].在一些大尺度的模型和理論研究中,活性物質(zhì)在取向上的對稱性破缺,會導(dǎo)致系統(tǒng)在空間上的密度不均勻分布,比如自驅(qū)動粒子在周期性邊界中會自發(fā)形成一些大的相分離結(jié)構(gòu)[9?12].除此之外,活性物質(zhì)也會自發(fā)演化出特異性的形態(tài),比如在細胞骨架纖維的實驗中,可以看到肌動蛋白絲和微管,會形成一些渦旋、波形的圖案分布[13].這其中粒子的形狀會對系統(tǒng)的集體行為產(chǎn)生較大影響,從最簡單的球形[9,14,15],到啞鈴型雙球[16,17]、蠕蟲形粒子[18]以及桿狀粒子[11,12,19?21].

生命系統(tǒng)中常常存在非常明顯的空間受限條件.遷移的細胞個體內(nèi)部就有復(fù)雜而有序的物質(zhì)結(jié)構(gòu).細胞膜下覆蓋的肌動蛋白微絲與分子馬達的動態(tài)結(jié)構(gòu)對于細胞遷移具有至關(guān)重要的作用.比如在肌動蛋白貢獻細胞遷移[22,23]的過程中,具有活性物質(zhì)特性的蛋白纖維在細胞膜附近生長并對其施加壓力[24?26],所有過程都是在細胞膜內(nèi)進行的.所以在活性物質(zhì),尤其是相關(guān)生命系統(tǒng)中,邊界束縛條件或者界面作用是個值得理論研究注意的問題.

自驅(qū)動粒子和界面的相互作用會對內(nèi)部自驅(qū)動粒子的集體運動行為產(chǎn)生很大影響[27].在類似于通道的開放的受限系統(tǒng)中,自驅(qū)動粒子會在邊界附近形成大量集聚,并根據(jù)通道的具體特性形成一些對應(yīng)分布[17,28,29].在封閉系統(tǒng)內(nèi)部,自驅(qū)動粒子同樣會在界面位置形成非常穩(wěn)定的堆積分布[30,31].目前,對更有趣的軟受限條件研究得比較少.已有的一些研究發(fā)現(xiàn),在該條件下系統(tǒng)大尺度的粒子漲落會誘發(fā)柔性邊界的明顯形變,反過來又會影響粒子的均勻分布[32?34].

本文研究了大量自驅(qū)動桿狀粒子在柔性邊界中的動力學(xué)行為.簡單的球形自驅(qū)動粒子模型,往往不能很好地體現(xiàn)活性物質(zhì)中個體的形狀各向異性.桿狀粒子在非平衡受限時會有豐富的堆積行為[35].我們的模型使用了彈性桿體系,不僅可以實現(xiàn)柔性邊界的彈性伸縮,還可以在保證桿特性的前提下,對桿的算法進行優(yōu)化.我們用彈性桿鏈接而成的柔性環(huán)作為約束邊界,統(tǒng)計了大數(shù)目自驅(qū)動桿狀粒子受限在該柔性環(huán)中的分布情況和整體運動.在該柔性環(huán)提供的彈性約束下,其內(nèi)部的自驅(qū)動桿狀粒子同樣也傾向于在環(huán)邊界上聚集分布,但在中心位置會保持一個相對穩(wěn)定的氣態(tài)密度分布.大部分情況下這些自驅(qū)動桿狀粒子都具有明顯的對稱性分布,但在有序無序轉(zhuǎn)變區(qū)域,粒子大尺度的漲落與膜的大尺度形變兩者相互影響,會形成各向異性的粒子分布,同時伴隨較強的整體定向遷移.可以看到,這部分系統(tǒng)整體的運動以及形變,一定條件下發(fā)生明顯極化,并伴隨較大尺度的遷移,與一些細胞遷移運動行為類似,因而該系統(tǒng)的研究對調(diào)控這類集體運動狀態(tài)行為有一定的參考作用.

2 模擬模型和方法

模擬一個二維平面下的系統(tǒng),如圖1(a)所示,該系統(tǒng)由兩部分組成:其一是Nr個原長為Lr的自驅(qū)動桿狀粒子;另一部分是一條柔性環(huán),由Nl個原長為Ll的桿首尾鏈接而成,柔性環(huán)將所有自驅(qū)動桿狀粒子約束在其內(nèi)部.

圖1 (a)系統(tǒng)組成的示意圖,顏色代表桿身的取向;(b)桿間碰撞受力示意圖Fig.1.(a)The schematic diagram of this system,and the rods are colored according to their angle with respect to the radial direction;(b)the interaction between rods.

在該模型中的自驅(qū)動桿和環(huán)的結(jié)構(gòu)單元都是采用相同構(gòu)造的桿,這種桿沿其徑向兩端是直徑等寬的半圓形結(jié)構(gòu),同時所有的桿都具有固定的桿寬r0(r0=1),如圖 1(b)所示.這樣設(shè)定的桿可以比較方便地計算桿間最短距離,進而方便判斷近鄰桿間的碰撞及計算相互作用.

所有的這些桿狀粒子,桿身受力不能彎曲.但沿桿身方向是彈性的,且只能沿徑向彈性伸縮.如果使用固定桿長的硬桿鏈接而成的環(huán),其中近鄰的桿在受到碰撞時,需要很高精度的迭代保證最近鄰桿間的運動剛性.而桿身彈性的設(shè)定可以有效簡化這方面的計算,通過桿自身的彈性約束保持環(huán)中桿間的連續(xù).此外我們選取較大的桿身彈性系數(shù)k,對于內(nèi)部的自驅(qū)動桿狀粒子,可以視為是固定桿長的硬桿.

為方便表述,約定所有桿兩端的圓心位置分別為該桿的正負兩端(正負端形狀完全對稱),桿的取向 θ 則定義為由其負端到正端的指向.每根桿的位置信息可由其質(zhì)心位置 ri,取向 θi和實際的桿長 li確定.相應(yīng)的桿的正負兩端的位置分別為特別地,對于環(huán)中的相鄰桿,規(guī)定兩者相連處的異號端點位置是始終重合的,即環(huán)上桿 i的“ + ”端端點位置,與它順時針方向的相鄰桿 i +1 的“-”端端點位置重合,滿足的關(guān)系[36].

桿之間的相互作用是截斷的簡諧彈簧勢

其中r是兩桿之間的最短距離,r0為固定的桿寬,φ0為 勢能的強度大小.通過在 r=r0處的截斷,體系為純彈簧排斥勢.在體積排斥效應(yīng)下,發(fā)生碰撞的桿狀粒子有平行排列傾向.

體系中所有的桿側(cè)面都是光滑的,即碰撞時不考慮桿之間的滑動摩擦.在這種桿的模型中,碰撞時桿所受的排斥力垂直于桿身或作用在端點位置,如圖1(b)所示.桿間的碰撞所受的相互作用可以等效到端點位置處.實際碰撞位置的排斥受力和端點上的等效受力,其合力和力矩存在如下的等量關(guān)系:

其中 Fi,j是碰撞時i桿身上所受的與j桿相互作用的排斥力,分別對應(yīng)桿正負兩端位置的等效受力,λ和λ0分別是碰撞受力位置和桿質(zhì)心,沿桿取向 θ 在桿身上的相對位置,λ 在負端取0正端取1,桿質(zhì)心的相對位置為 λ0=0.5 .方程(2)聯(lián)立可解得碰撞時桿正負兩端的等效受力分別為:

直接作用在端點處的碰撞受力同樣符合上面的結(jié)果.

環(huán)內(nèi)的自驅(qū)動粒子除了桿間的碰撞排斥作用外,沿著其取向 θ 還受恒定大小的自驅(qū)動力 sθ 持續(xù)牽引,從而具有自我推進的能力.

其中 μ 是遷移率,這里使用各向同性的遷移率.j∈ Ω 是 與當(dāng)前桿發(fā)生碰撞的近鄰桿.ξi(t)是高斯白噪聲,定義噪聲強度為 η .桿兩端位置上的高斯白噪聲可以給桿提供一個有效的角度上的擾動.

對于柔性環(huán)上的桿,由于不存在自驅(qū)動力其動力學(xué)方程為

這里也忽略了噪聲的作用.特別地,柔性環(huán)上的相鄰兩桿之間不存在空間排斥作用,即 j ∈Ω′是除去環(huán)上相鄰兩桿后與當(dāng)前桿發(fā)生碰撞的近鄰桿.由于柔性環(huán)上相鄰兩桿端點重合,環(huán)上桿i正端端點的實際位移與它順時針方向的相鄰桿 i +1 的負端端點實際位移相同,即

在本文模擬中,將原長 Lr=2 自驅(qū)動桿受限于半柔性環(huán)內(nèi).半柔性環(huán)由 Nl=200,原長為Ll=1的桿首尾鏈接而成.將系統(tǒng)整體放在足夠大的二維周期性邊界內(nèi)(Lx=Ly=200).選取足夠小的時間步長 d t=0.0005τ,保證數(shù)值穩(wěn)定性及必要的精度,其中 τ=1 是模擬的單位時間量程.根據(jù)動力學(xué)方程(4)式和(5)式對粒子的位置進行更新.經(jīng)過足夠長時間演化后,可對系統(tǒng)所處的穩(wěn)定分布進行分析.本文主要研究系統(tǒng)在自驅(qū)動桿的粒子數(shù)Nr和噪聲強度 η 構(gòu)成的二維參數(shù)空間中的統(tǒng)計動力學(xué)行為.

3 模擬結(jié)果和討論

封閉空間中的自驅(qū)動粒子傾向于在邊界附近聚集[30?34].不同于球狀粒子,本文模型由桿狀粒子組成.由圖2中的快照可以看出,這樣的自驅(qū)動桿在柔性環(huán)附近形成比較規(guī)則的極化液晶態(tài)排列.由于桿粒子間向列型的相互作用,整個柔性環(huán)內(nèi)的自驅(qū)動桿狀粒子基本是中心對稱分布的,此時用系統(tǒng)平均取向模的大小表示整體的極性程度,柔性環(huán)內(nèi)反向粒子的取向相互抵消,系統(tǒng)的極性序接近于零.但從快照上可以看出,內(nèi)部自驅(qū)動桿狀粒子無序分布和有序聚集在環(huán)邊界上是兩種不同的分布,而這兩種分布的極性序都接近零無法很好地區(qū)分開.

圖2 三種典型分布的快照,自驅(qū)動桿粒子數(shù)Nr均為1500,噪聲大小η分別為0.10,0.20和0.50,依次對應(yīng)(a)自驅(qū)吸附有序態(tài)、(b)過渡態(tài)和(c)無序態(tài).粒子顏色代表取向,同圖 1Fig.2.The snapshots of three regions with fixed particle number Nr=1500 for different noise levels,and,respectively,with(a)η=0.10,self-propelled particle absorbed ordered region,(b)η=0.20 transient region,and(c)η=0.50 disordered phase.The color represents the radial direction as Fig.1.

為分析柔性環(huán)內(nèi)自驅(qū)動桿狀粒子角度上的分布,定義一個徑向極性序參量

其中θi是桿i的取向,φi是桿i到環(huán)心位置相對位移的方向.該極性序是粒子取向與其相對位移方向兩者夾角余弦值的平均,反應(yīng)了內(nèi)部自驅(qū)動桿狀粒子在沿環(huán)質(zhì)心向外方向上的取向有序程度.極性序SP趨近0時,內(nèi)部自驅(qū)動桿的取向是各向均勻的;而當(dāng)極性序 SP趨近1時,這些粒子基本都是背離環(huán)質(zhì)心指向環(huán)外.對于單個粒子,其夾角的余弦值可以為負,但由于柔性環(huán)邊界會聚集內(nèi)部的自驅(qū)動粒子,系統(tǒng)整體平均后的極性序 SP基本都是正的,且極性序 SP的值越大,表明在該參數(shù)點下,內(nèi)部自驅(qū)動粒子在柔性環(huán)邊界的聚集程度越高.

3.1 極性序相圖

本文主要研究體系的密度和噪聲對系統(tǒng)形態(tài)的影響.系統(tǒng)改變自驅(qū)動桿的粒子數(shù) Nr和桿端的噪聲強度 η,測量各參數(shù)空間點的徑向極性序 SP的值,可以得到如圖 3(a)所示的相圖.明顯地,根據(jù)極性序 SP值的大小,相圖中從最左邊極性序 SP接近1的有序相區(qū)域,逐漸過渡到右側(cè)極性序 SP接近0的無序區(qū).有序區(qū)主要集中在粒子數(shù) Nr較大,噪聲強度 η 較低的區(qū)域,對應(yīng)的快照如圖2(a)所示.大部分的自驅(qū)動桿狀粒子都指向環(huán)外方向,集中排列在柔性環(huán)上,且可以構(gòu)成完整的層狀分布.同時剩余的粒子在中心區(qū)域形成角度和位置都比較均勻地分布.無序區(qū)域則主要分布在粒子數(shù)Nr較小或噪聲強度 η 較大的區(qū)域,如圖 2(c)所示,其內(nèi)部自驅(qū)動粒子的取向是無序的,均勻分布在環(huán)內(nèi).過渡區(qū)間主要分布在這兩相之間的區(qū)域,如圖2(b)所示,外層的自驅(qū)動桿無法形成完整的層狀穩(wěn)定排布,而分別集中成反向的兩個集團或異向的多個集團.外側(cè)的柔性環(huán)也因此有明顯的變形,中心區(qū)域同樣存在一定密度的比較均勻的無序氣態(tài)分布.

3.2 粒子分布特性

由三個相區(qū)不同的粒子分布可知,內(nèi)部自驅(qū)動粒子除了角度分布上具有向外的極性取向,粒子本身的空間位置分布也存在各向異性的情況.為分析粒子位置分布的不均勻性,根據(jù)所有自驅(qū)動桿的位置信息定義體系分布非球度 Δ .

首先由所有桿的質(zhì)心位置計算慣量張量Q,其元素分別是

〈···〉t表示系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)各時刻的時間平均.顯然非球度 Δ=0 對應(yīng)于粒子在各個方向上均勻分布,非球度 Δ 的值越大,表明粒子分布的各向異性越明顯,當(dāng)非球度 Δ=1 時粒子基本分布在一條直線上.

圖3 改變噪聲強度 η和彈性環(huán)中自驅(qū)動桿粒子數(shù) Nr 得到的相圖(a)比較徑向極性序參 Sp 大小得到的熱力圖;(b)比較非球度 Δ 大小得到的熱力圖,其中轉(zhuǎn)變區(qū)域具有極大值Fig.3.Phase diagrams for self-propelled rods in elastic-ring with varying the noise strength η and the number of selfpropelled rods Nr,and the order parameter corresponding to(a)the radial polarity SP and(b)the asphericity Δ .We have maximal asphericity Δ in the transition region.

通過計算各參數(shù)點的非球度 Δ,可以得到如圖3(b)的熱度圖,在有序相和無序相區(qū)域,系統(tǒng)的非球度 Δ 都是接近0,這兩個相區(qū)內(nèi)粒子的位置分布都是各項同性的.無序區(qū)由于粒子取向的無序性,各向同性的粒子位置均勻分布在柔性環(huán)內(nèi);而有序區(qū)柔性環(huán)中心雖然也存在類似無序區(qū)的粒子均勻分布,但它的極性序 SP主要由聚集在柔性環(huán)邊界層狀分布粒子貢獻.這部分粒子在邊界高密度堆積形成穩(wěn)定的層狀液晶分布,使系統(tǒng)整體處于類似汽液共存的動態(tài)平衡中.而過渡區(qū)具有相對較大的非球度 Δ,這是由于粒子數(shù)限制以及噪聲影響,外層的自驅(qū)動粒子很難在環(huán)邊界處形成完整的層狀結(jié)構(gòu).在這個區(qū)間外層粒子由于角度上的偏離和數(shù)量上的減少,以及轉(zhuǎn)變區(qū)間漲落的增強,對整體的徑向極性序 SP貢獻會有所降低.

內(nèi)部自驅(qū)動粒子的位置分布除了在過渡相區(qū)會有明顯的各向異性外,也容易在柔性環(huán)邊界位置聚集,形成類似吸附相分離的密度分布差異.我們將柔性環(huán)邊界附近聚集形成的比較高密度分布的粒子排布區(qū)域劃分為高密度態(tài).而中間比較無序分布的區(qū)域,劃分為低密度區(qū).由圖 2可以看到,在有序區(qū)和過渡區(qū)(圖2(a)和圖2(b)),內(nèi)外側(cè)粒子分布存在明顯的密度差異,而在無序區(qū)則不明顯.通過比較兩種密度態(tài)的密度差異,來表征粒子分布的相分離程度和粒子在環(huán)邊界的聚集情況.

由于柔性環(huán)的形狀易變,以及桿狀粒子自身的各向異性,直接用桿的質(zhì)心位置計算粒子密度不太合適.我們根據(jù)桿的質(zhì)心位置先得到每個粒子的泰森多邊形,計算各粒子相應(yīng)的占據(jù)面積 Si,該面積對應(yīng)每個粒子相對自由的運動范圍.然后定義粒子的數(shù)密度,

其中ω 為符合高密度區(qū)或低密度區(qū)的粒子序號集合,|ω|為集合ω中的元素個數(shù).相應(yīng)的 ψin=表示系統(tǒng)的中心粒子數(shù)密度,ωin是沿環(huán)邊界等比例收縮后中心氣態(tài)區(qū)域內(nèi)的粒子集合.是系統(tǒng)的外層粒子數(shù)密度,ωout即桿質(zhì)心在沿環(huán)一圈寬度為桿長 Lr的環(huán)狀區(qū)間內(nèi)的粒子集合.由于內(nèi)部自驅(qū)動粒子在環(huán)邊界聚集排列,或低粒子數(shù) Nr時與柔性環(huán)碰撞,環(huán)邊界附近 ωout區(qū)域長時間尺度上穩(wěn)定有粒子存在,而靠近環(huán)邊界粒子的泰森多邊形面積會明顯小于內(nèi)部粒子,最后得到的會 稍大于

為比較高低密度兩相的分離程度,可以定義約化密度差為

約化密度差P的值越大說明系統(tǒng)內(nèi)外兩側(cè)粒子分布的密度差異越大,P值越接近0則對應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)部的粒子分布越均勻.通過計算系統(tǒng)的約化密度差可以得到如圖4(a)所示的熱度圖,低噪聲有序區(qū)域明顯對應(yīng)的區(qū)域約化密度差P值較高,高低密度兩相分離明顯.高噪聲無序相區(qū)域的P值很低,接近均勻分布.這與圖2快照中的粒子分布是一致的.可以看到約化密度差P與極性序 SP有類似的分布,隨著噪聲強度 η 的減弱,系統(tǒng)從無序相進入有序相的過程中,柔性環(huán)附近內(nèi)部粒子的堆積程度也相應(yīng)增強.極性序 SP主要由環(huán)附近堆積的粒子貢獻,而自驅(qū)動粒子在環(huán)邊界的堆積程度由約化密度差P刻畫,所以極性序 SP的大小一定程度上與約化密度差P正相關(guān).

圖4 (a)改變噪聲強度 η和自驅(qū)動桿粒子數(shù) Nr,比較約化密度差P得到的熱力圖;(b)不同噪聲強度 η 下,彈性環(huán)中心附近粒子數(shù)密度隨自驅(qū)動桿粒子數(shù) Nr 的變化趨勢Fig.4.(a)Phase diagram of the reduced density difference P for self-propelled rods with varying the noise strength η and the number of self-propelled rods Nr;(b)density of central particles,ψ in,versus the particle number N r for different noise strength η .

注意到約化密度差的相圖在高噪聲強度 η和低粒子數(shù) Nr區(qū)域,P的值會有反向的變化.此處的約化密度差P隨粒子數(shù) Nr的增長而減小.單獨比較中心粒子數(shù)密度 ψin的變化,由圖4(b)可以看到,不同噪聲下隨粒子數(shù) Nr的 增加 ψin值最終都會有一個穩(wěn)定的平臺出現(xiàn),對應(yīng)一個飽和密度的中心低密度態(tài)的存在.該飽和密度與噪聲強度有關(guān),噪聲越強飽和密度越高.而 ψin在達到飽和密度前隨粒子數(shù) Nr線性增加.在相圖右側(cè)高噪聲區(qū)域,粒子數(shù)Nr比較小的情況下,自驅(qū)動桿狀粒子很難在環(huán)邊界附近形成穩(wěn)定的集聚,此時外層區(qū)域 ωout內(nèi)的粒子是與環(huán)邊界碰撞的少數(shù)自驅(qū)動桿,因而外層粒子數(shù)密度 ψout比較穩(wěn)定.此時中心粒子數(shù)密度 ψin未達到飽和,增加粒子數(shù)Nr會減小內(nèi)部粒子的泰森多邊形面積,即中心粒子數(shù)密度 ψin會隨粒子數(shù)Nr增加而迅速增大.整體的約化密度差P主要受中心粒子數(shù)密度ψin的影響而減小.而當(dāng)中心粒子數(shù)密度ψin達到飽和后,繼續(xù)增加粒子數(shù) Nr,中心粒子數(shù)密度 ψin基本保持穩(wěn)定.柔性環(huán)附近的粒子受擠壓,導(dǎo)致外層粒子數(shù)密度 ψout小幅增大.此時約化密度差P的值會相應(yīng)有所增大.所以約化密度差相圖中P值變化的極值位置,應(yīng)該對應(yīng)系統(tǒng)中心粒子數(shù)密度 ψin剛達到飽和密度的參數(shù)點,比較發(fā)現(xiàn)這兩者基本是符合的.

在圖 4(b)中,低噪聲如 η=0.10 時,系統(tǒng)的中心粒子數(shù)密度 ψin會先有個小幅回落才能穩(wěn)定在飽和密度.這是因為低噪聲區(qū)域,粒子數(shù) Nr較小時,內(nèi)部的桿狀粒子在自驅(qū)動作用下容易聚集在環(huán)邊界位置,但未能形成完整的層狀排列.噪聲和粒子間的碰撞都參與到兩側(cè)的粒子交換中.當(dāng)粒子數(shù)Nr增大到形成完整序列時,只有內(nèi)側(cè)層狀排列的粒子在噪聲作用下,與環(huán)中心區(qū)域的低密度態(tài)的粒子發(fā)生交換.此時的中心粒子數(shù)密度 ψin會有所降低.隨噪聲強度的增加,粒子碰撞貢獻的交換逐漸減少,該密度回落過程也逐漸減弱,ψin達到飽和平臺的曲線也愈加平滑.而當(dāng)噪聲較大時,如噪聲強度 η=0.4,0.5對應(yīng)的ψin曲線幾乎重合,且沒有明顯水平的飽和平臺.此時由于噪聲太大,粒子很難在環(huán)邊界形成有效的堆積,主要依靠粒子間排斥將柔性環(huán)撐開.且隨粒子數(shù)增大,柔性環(huán)拉伸后對內(nèi)部粒子的壓力也相應(yīng)增大,中心粒子數(shù)密度 ψin會隨粒子數(shù)變化而有一個小幅的增長.

3.3 整體遷移

由于內(nèi)部自驅(qū)動粒子分布的不均勻性,系統(tǒng)整體會有一定遷移運動,為分析系統(tǒng)整體的動力學(xué)行為,我們測量了柔性環(huán)質(zhì)心的均方位移,

圖5 彈性環(huán)及桿狀粒子質(zhì)心均方位移隨時間的變化(a)粒子數(shù)Nr 為 1500 時,噪聲大小η為0.10,0.20和0.50所在三個區(qū)區(qū)域 的比較;(b)粒 子數(shù) Nr =1000,η 為0.25,0.30和0.50下無序態(tài)時的對比Fig.5.Mean-squared displacement(MSD)for the center of mass of particle and elastic ring:(a)Noise levels η=0.10,η=0.20,and η=0.50 for Nr=1500;(b)noise levels for η=0.25,η=0.30,and η=0.50 with particle number Nr=1000 in the disordered regime.

其中 R(t)是柔性環(huán)質(zhì)心的位置.如圖5(a)所示,我們測量了足夠長時間尺度下,三個相區(qū)各自的均方位移及其斜率(補充材料movie1.mov,movie2.mov,movie3.mov,分別對應(yīng)η=0.10,0.20,0.50),其中有序相和過渡相的均方位移斜率均接近2.無序相在長時間尺度時的均方位移斜率則接近1.系統(tǒng)在有序相和過渡相區(qū)域幾乎都是在做整體的定向遷移運動,而在無序區(qū)則接近隨機游走.由于中心低密度態(tài)的粒子數(shù)比較少,且在角度上均勻分布,其對系統(tǒng)整體的運動影響很弱,系統(tǒng)的整體移動主要由沿環(huán)附近堆積排列的粒子貢獻.當(dāng)有序相和過渡相在形成穩(wěn)定分布后,其沿環(huán)附近堆積的粒子不會有很大的變化.由于很難實現(xiàn)完全的對稱,未被完全相互抵消的自驅(qū)動貢獻,會導(dǎo)致系統(tǒng)整體沿某一方向定向遷移.從圖5(a)可以看出,由于有序相具有更高的對稱性,多余的自驅(qū)動貢獻比過渡相要低很多,其均方位移的尺度也要低一個數(shù)量級左右.而無序態(tài)的粒子分布和角度上的分布都很均勻,所以其瞬時的多余自驅(qū)動貢獻在長時間尺度上是類似高斯白噪聲的分布,其整體的運動也接近隨機游走.

另外還比較了無序相區(qū)域不同噪聲下的均方位移曲線,如圖5(b)所示,隨著噪聲強度 η 的增加,系統(tǒng)自身對稱性更高,其均方位移尺度的數(shù)量級會相應(yīng)降低,同時其長時間的擴散系數(shù)也相應(yīng)減小,接近無規(guī)的隨機運動.在無序相中,系統(tǒng)沒有穩(wěn)定的外層堆積分布,其整體的遷移主要來自噪聲和極性漲落的競爭.當(dāng)噪聲較弱時系統(tǒng)的整體運動趨向于定向遷移,而噪聲很強時系統(tǒng)會有類似隨機游走的運動行為.值得指出的是質(zhì)心的運動有兩種可能,一種是整個彈性環(huán)形變導(dǎo)致質(zhì)心運動而整體可能并沒有發(fā)生明顯的遷移,另一種是系統(tǒng)整體的遷移.在目前的體系中,系統(tǒng)的形變帶來的影響遠遠小于整體遷移的作用,形變導(dǎo)致的質(zhì)心遷移對均方位移的貢獻是可以忽略的.

4 結(jié) 論

本文研究了在二維條件下,自驅(qū)動桿狀粒子受限在一條可伸縮的柔性環(huán)中的動力學(xué)行為.通過隨機動力學(xué)模擬,發(fā)現(xiàn)根據(jù)內(nèi)部自驅(qū)動粒子整體的徑向極性,可以從低噪聲的有序區(qū)過渡到高噪聲低密度時的無序區(qū).同時粒子的空間分布也會產(chǎn)生變化.最主要的區(qū)別在于柔性環(huán)附近內(nèi)部粒子的堆積方式: 有序區(qū)內(nèi)部自驅(qū)動粒子可以在環(huán)附近形成完整的層狀排布,而無序區(qū)則由于高噪聲影響,自驅(qū)動粒子無法在相應(yīng)區(qū)域形成穩(wěn)定的高密堆積.特別地,我們發(fā)現(xiàn)無序和有序轉(zhuǎn)變的過渡區(qū)間環(huán)上有穩(wěn)定的粒子堆積,但由于粒子數(shù)限制無法形成完整的層狀排列,分散的堆積集團會導(dǎo)致柔性環(huán)明顯形變.

除此之外,根據(jù)約化密度的異常轉(zhuǎn)變,發(fā)現(xiàn)中心粒子數(shù)密度存在一個與噪聲相關(guān)的飽和密度,該密度對應(yīng)環(huán)邊界附近位置開始形成穩(wěn)定的粒子堆積.

系統(tǒng)整體的運動與這些邊界集聚的粒子分布有關(guān).在有序區(qū)和過渡區(qū)域中,環(huán)心的運動接近定向遷移.但由于有序相環(huán)邊界位置粒子的層狀分布更均勻,其整體定向遷移的強度會非常小.而當(dāng)噪聲增大,環(huán)邊界附近穩(wěn)定的粒子堆積逐漸減少,系統(tǒng)整體的運動也逐漸趨向無規(guī)則的隨機游走.在我們的模型中,柔性環(huán)在過渡區(qū)會有明顯形變,且此時系統(tǒng)整體的定向遷移最為顯著.研究這類受限條件下的活性物質(zhì)體系的動力學(xué)行為,對探討細胞形變遷移方面的機制具有一定的參考意義[37].目前在一些人工受限體系,比如將分子馬達與桿狀的微絲、微管系統(tǒng)受限到液滴表面,研究其中活性液晶態(tài)的動力學(xué)演化也正受到越來越多人的關(guān)注[38,39].