王 琪，薛 紅，陳毛毛

西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710600

1 引言

破產(chǎn)概率是風(fēng)險(xiǎn)理論研究的核心內(nèi)容，至今已有一百多年的發(fā)展歷史。Lundberg和Cramer建立了風(fēng)險(xiǎn)理論與隨機(jī)過(guò)程理論之間的聯(lián)系，提出了經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，引入調(diào)節(jié)系數(shù)并得到了最終破產(chǎn)概率的近似表達(dá)式[1]，文獻(xiàn)[2]利用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，討論了有限時(shí)破產(chǎn)概率。考慮到現(xiàn)實(shí)生活中風(fēng)險(xiǎn)干擾因素對(duì)計(jì)算破產(chǎn)概率的影響，劉博濤等[3]利用標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)擾動(dòng)，通過(guò)Laplace逆變換方法，得到了標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率上界。然而對(duì)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程序列進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，相較于標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)，分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)所具有的長(zhǎng)程相依性以及自相似性使其更適合刻畫(huà)盈余過(guò)程序列。自1968 年首次提出“分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)”概念以來(lái)[4]，它已被廣泛應(yīng)用于金融研究領(lǐng)域[5-6]。近年來(lái)也在風(fēng)險(xiǎn)理論研究中有所應(yīng)用，文獻(xiàn)[7]討論了帶線性漂移的分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，文獻(xiàn)[8]研究了非線性漂移的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率上界，然而這些模型都是用分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬索賠并在此前提下得到的結(jié)果。在此用復(fù)合泊松分布來(lái)刻畫(huà)理賠過(guò)程，引入帶波動(dòng)系數(shù)的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)干擾因素，建立分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型。由于此類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率沒(méi)有解析表達(dá)式，故提出了一種有效的數(shù)值模擬算法，對(duì)有限時(shí)破產(chǎn)概率進(jìn)行Monte-Carlo模擬計(jì)算。

2 預(yù)備知識(shí)及模型建立

2.1 分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)

定義1[4]設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備的概率空間，H ∈(0,1) 為一常數(shù)。具有Hurst 參數(shù)H 的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是Gaussian過(guò)程，且滿(mǎn)足：

（1）對(duì)?t ≥0,BH(0)=E[BH(t)]=0；

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)重要的性質(zhì)是自相似性（self-similarity）：對(duì)任意的和任意的α ＞0 ，{BH(αt),t ≥0} 和{αHBH(t),t ≥0} 具有相同的分布。

2.2 模型建立

分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型：

其中，u 表示初始盈余，c 為單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入。{N(t),t ≥0} 表示[0,t]內(nèi)的理賠次數(shù)，服從參數(shù)為λ 的Poisson過(guò)程且均值為{Xi,i ≥1}表示第i 次的理賠額，具有同分布F 且均值為μB。σ ＞0 為波動(dòng)常數(shù)，{BH(t),t ≥0}是Hurst 指數(shù)為H 的分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)。假設(shè){N(t),t ≥0}，{Xi,i ≥1}及{BH(t),t ≥0}相互獨(dú)立。

當(dāng)σ=0 時(shí)，式（1）即為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型。文獻(xiàn)[9]對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型在有限時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了模擬計(jì)算。當(dāng)理賠額序列獨(dú)立同分布于指數(shù)分布時(shí)，文獻(xiàn)[10]得出了最終破產(chǎn)概率表達(dá)式：

其中R 是關(guān)于r 的方程-cr+λ[MX(r)-1]+的正根，MX(r)為索賠額序列的矩母函數(shù)。

3 分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)樣本軌道模擬

定義2[12]若矩陣A ∈Rn×n對(duì)稱(chēng)正定，則存在唯一對(duì)角元為正的下三角矩陣L ∈Rn×n，使得A=LLT，稱(chēng)L 為Cholesky分解因子，此分解方法為Cholesky分解。

利用MATLAB軟件對(duì)分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的協(xié)方差陣進(jìn)行Cholesky 分解[12-14]，將Cholesky 分解因子作用于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本點(diǎn)，得到分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)隨機(jī)數(shù)，進(jìn)一步畫(huà)出樣本軌道。步驟如下：

（2）確定分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的有限維分布BH( t) =N( 0,COV )，其中COV=

（3）對(duì)COV 進(jìn)行Cholesky分解，分解因子矩陣為：

（4）用MATLAB 軟件生成一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)列向量Y ，且Y=( )Y1,Y2,…,YN′～

（5）生成分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)隨機(jī)數(shù)BH( t)=B*Y ，即：

（6）用MATLAB 軟件畫(huà)出分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)的樣本軌道。

例1 假設(shè)T=10, 將[0,T]等分為N=200 份，則小區(qū)間長(zhǎng)度為Δt=T/N=0.05。分別取Hurst指數(shù)H=0.5,H=0.7,H=0.9，利用MATLAB軟件模擬出相應(yīng)的樣本軌道，見(jiàn)圖1。

圖1 分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)樣本軌道

4 有限時(shí)破產(chǎn)概率模擬計(jì)算

本文提出一種有效的數(shù)值模擬計(jì)算方法，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型（1）在有限時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行Monte-Carlo 模擬計(jì)算。步驟如下：

（1）確定初始盈余u、單位保費(fèi)率c 的取值。

（2）設(shè)T 為研究時(shí)間總長(zhǎng)度，將時(shí)間區(qū)間[0,T]平均等分為N 份，s=T/N 為每一小時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度。

（3）假設(shè)理賠時(shí)間間隔序列服從均值為μA的指數(shù)分布，由MATLAB軟件生成[0,T]內(nèi)的一列參數(shù)為λA=的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)，此即理賠時(shí)間間隔序列{Wj,1 ≤j ≤n}，并記{τi,1 ≤i ≤n}為理賠發(fā)生時(shí)刻。

（4）假設(shè)理賠額序列服從F 分布且均值為μB，則由MATLAB軟件生成理賠額序列{Xi,i=1,2,…,n}。

（5）考慮每一時(shí)間節(jié)點(diǎn)的盈余值Uk(k=1,2,…,N)。 若τi∈[(k-1)s,ks]，則在時(shí)間區(qū)間[(k-1)s,ks]內(nèi)發(fā)生了理賠，那么計(jì)算盈余值Uk時(shí)不僅要加入分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)，也要減去理賠額Xi，表達(dá)式為：Uk=Uk-1+c ?s+σ ?BHk-Xi；反之，若區(qū)間[(k-1)s,ks]內(nèi)并未發(fā)生理賠，則計(jì)算Uk時(shí)只需加入分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)，表達(dá)式為：Uk=Uk-1+c ?s+σ ?BHk。如果一旦有Uk＜0，就意味著本次模擬計(jì)算發(fā)生破產(chǎn)，那么終止本次循環(huán)，破產(chǎn)次數(shù)加1，進(jìn)入下一次的循環(huán)模擬計(jì)算。

（6）總共進(jìn)行M 次循環(huán)模擬計(jì)算，若其中發(fā)生破產(chǎn)的次數(shù)為m，則p=m/M 為破產(chǎn)概率模擬值。

例2 對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型（1）中的參數(shù)進(jìn)行如下假設(shè)：初始盈余u=100，單位時(shí)間保費(fèi)收入c=5；理賠時(shí)間間隔序列{Wj,j ≥1}服從均值為μA=5 的指數(shù)分布；理賠額序列服從均值為μB=15 的指數(shù)分布；取時(shí)間總長(zhǎng)度為3年即T=3，將時(shí)間區(qū)間[0,T]等分為N=50 份，則小區(qū)間長(zhǎng)度為s=0.06 年。

（1）令Hurst指數(shù)H=0.7，波動(dòng)常數(shù)取不同值，對(duì)每一情形進(jìn)行M=104次模擬，破產(chǎn)概率模擬值見(jiàn)表1。

表1 波動(dòng)常數(shù)對(duì)破產(chǎn)概率的影響

當(dāng)σ=0 時(shí)，即為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型。此時(shí)破產(chǎn)概率模擬數(shù)值為p1=0.02，由式（2）計(jì)算得最終破產(chǎn)概率為Ψ1=0.04。 p1＜Ψ1，即3年內(nèi)的破產(chǎn)概率小于最終破產(chǎn)概率，說(shuō)明了模擬計(jì)算的有效性。

由表1 知，當(dāng)其他參數(shù)的取值不變時(shí)，波動(dòng)常數(shù)σ取值越大，破產(chǎn)概率模擬值越大，說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)干擾強(qiáng)度的增大會(huì)加大保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率。進(jìn)一步反應(yīng)了保險(xiǎn)公司在面對(duì)現(xiàn)實(shí)中的風(fēng)險(xiǎn)干擾時(shí)，應(yīng)及時(shí)采用合理調(diào)控手段，以達(dá)到規(guī)避破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的目的。

（2）令波動(dòng)常數(shù)σ=0.04，Hurst指數(shù)H 分別取不同值，對(duì)每一情形進(jìn)行M=104次模擬，破產(chǎn)概率模擬值見(jiàn)表2。

表2 Hurst指數(shù)對(duì)破產(chǎn)概率的影響

當(dāng)H=0.5 時(shí)，即為帶標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型。此時(shí)破產(chǎn)概率模擬數(shù)值為p2=0.08，由式（3）計(jì)算得出風(fēng)險(xiǎn)模型的最終破產(chǎn)概率為Ψ2=0.32。 p2＜Ψ2，即3年內(nèi)的破產(chǎn)概率小于最終破產(chǎn)概率，再次說(shuō)明了模擬計(jì)算的合理有效性。

由表2 知，當(dāng)固定其他參數(shù)取值時(shí)，Hurst 指數(shù)的取值對(duì)破產(chǎn)概率模擬值有顯著影響。

5 實(shí)證分析

5.1 數(shù)據(jù)選取

以中國(guó)太平洋財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)股份有限公司（簡(jiǎn)稱(chēng)太平洋財(cái)險(xiǎn)）為研究對(duì)象，通過(guò)查找《中國(guó)保險(xiǎn)年鑒》[15]，選取該公司2008—2017年的數(shù)據(jù)，見(jiàn)表3。

5.2 模型選取

根據(jù)表3 中的數(shù)據(jù)，記年末盈余過(guò)程序列為{Ui,i=1,2,…,10} ，盈余增量序列為{U ′j,j=1,2,…,10} ，且{Ui,i=1,2,…,10} 和{U ′j,j=1,2,…,10} 各為一組時(shí)間序列。利用SPSS 16.0軟件中的DW檢驗(yàn)方法來(lái)分析盈余增量序列的獨(dú)立性，檢驗(yàn)在顯著性水平α=0.05 下進(jìn)行，圖2最后一列結(jié)果顯示DW的值為2.335。根據(jù)判定方法，增量序列呈現(xiàn)出較弱的負(fù)相關(guān)性，即盈余過(guò)程序列{ }Ui的增量不獨(dú)立，不具有Markov性，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型或標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型不能刻畫(huà)此盈余過(guò)程，故需要用分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型來(lái)刻畫(huà)盈余過(guò)程。

表3 太平洋財(cái)險(xiǎn)2008—2017年基本數(shù)據(jù)信息 百萬(wàn)元

圖2 DW獨(dú)立性檢驗(yàn)

進(jìn)一步考慮平均其他營(yíng)業(yè)支出μ 對(duì)盈余過(guò)程的影響，盈余過(guò)程為：

參數(shù)意義同模型（1）。

5.3 模型的參數(shù)估計(jì)及分布檢驗(yàn)

（1）以年為單位，根據(jù)表3 中各年的保費(fèi)率估計(jì)得出年平均保費(fèi)率為c?=71 536.49 百萬(wàn)元/年，根據(jù)各年的其他營(yíng)業(yè)支出估計(jì)得年平均其他營(yíng)業(yè)支出為17 981.49 百萬(wàn)元/年，將每年的賠付支出看作一個(gè)整體，則理賠次數(shù)序列{N(t),t ≥0} 服從參數(shù)?=1 的Poisson過(guò)程。

（2）假設(shè)索賠額序列{Xi,i ≥1}服從指數(shù)分布，運(yùn)用SPSS軟件估計(jì)參數(shù)，并利用單樣本K-S檢驗(yàn)[16]來(lái)驗(yàn)證這一假設(shè)。檢驗(yàn)在顯著性水平α=0.05 下進(jìn)行，圖3 結(jié)果表明漸近顯著性（雙側(cè)）值α′=0.226 ＞α ，不能拒絕原假設(shè)，即{Xi,i ≥1} 服從均值為=39 763.813 的指數(shù)分布。

（4）對(duì)各年的年末盈余值進(jìn)行 計(jì)算，記為{Uk′,k=1,2,…,10} ，計(jì)算公式為：

圖3 指數(shù)分布K-S檢驗(yàn)

年末盈余的計(jì)算值{Uk′ }與真實(shí)值{Uk} 之間存在偏差，偏差代表了保險(xiǎn)公司在現(xiàn)實(shí)中遇到的風(fēng)險(xiǎn)干擾。記偏差值序列為{ εk,k=1,2,…,10 }，且εk=Uk′-Uk，結(jié)果見(jiàn)表4。

用分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)刻畫(huà)偏差，則εk～N(0,σ2t2H)，研究期限為一年即t=1。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中正態(tài)總體的無(wú)偏方差估計(jì)方法[18]，參數(shù)σ 的估計(jì)式為：

5.4 有限時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率模擬計(jì)算

結(jié)合5.3 節(jié)，可確定分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型（4）中的參數(shù)估計(jì)值。取2018 年初的盈余值為初始盈余值，則u=144 119.95 百萬(wàn)元，為提高模擬精度，把一年分為N=200等份即每一小時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度為s=0.005年，利用MATLAB軟件對(duì)太平洋財(cái)險(xiǎn)公司在有限時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率值進(jìn)行Monte-Carlo模擬計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表5。

由表5 可知，隨時(shí)間推移，一年內(nèi)破產(chǎn)概率模擬值呈逐年下降趨勢(shì)，反映了中國(guó)太平洋財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)股份有限公司近年來(lái)經(jīng)營(yíng)狀況良好，經(jīng)營(yíng)策略穩(wěn)健，破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)逐年降低。

表4 太平洋財(cái)險(xiǎn)年末盈余偏差值 百萬(wàn)元

表5 有限時(shí)破產(chǎn)概率模擬值

6 結(jié)束語(yǔ)

與經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型及標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型相比，分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)一步考慮到現(xiàn)實(shí)中保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程具有長(zhǎng)程相依性的特點(diǎn)，故更適合刻畫(huà)盈余過(guò)程序列。本文引入帶波動(dòng)系數(shù)的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)風(fēng)險(xiǎn)干擾因素，并提出了一種有效的數(shù)值算法來(lái)對(duì)有限時(shí)破產(chǎn)概率進(jìn)行Monte-Carlo模擬計(jì)算，彌補(bǔ)了此類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率無(wú)解析表達(dá)式的缺陷。并結(jié)合保險(xiǎn)公司的實(shí)際數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)對(duì)該公司有限時(shí)破產(chǎn)概率的Monte-Carlo 數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行分析，可反映出風(fēng)險(xiǎn)控制管理狀況，對(duì)公司經(jīng)營(yíng)具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。