周秀梅 (江蘇省蘇州市振華中學校 215004)

1 問題的提出

“數(shù)學建模”是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，之所以突出其核心地位，是因為數(shù)學建模的教學目標、教學方法和教學原則都將圍繞著培養(yǎng)創(chuàng)新人才的教育目標而進行，讓學生真正地學到“有用的數(shù)學”，懂得數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學是聯(lián)系人類與現(xiàn)實世界的橋梁．模型思想是修訂的《義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》新增的核心概念，具體表述為：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界的基本途徑．建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識．[1]

初中數(shù)學建模教學一般是先提出問題，然后引導學生在探究質(zhì)疑、合作交流的活動中發(fā)展數(shù)學思維．實踐表明，課堂的轟轟烈烈并沒有從根本上提升學生數(shù)學建模的能力[2].因此，我們應該從對教學內(nèi)容的價值與功能進行分析，以此提升數(shù)學建模教學的有效性．本文擬以蘇科版數(shù)學教材七年級下冊第11章第1節(jié)“生活中的不等式”為例，談談初中數(shù)學建模教學如何對教學內(nèi)容進行分析．

2 基于“三個理解”對教學內(nèi)容的分析

2.1 充分挖掘教學內(nèi)容的教學價值

本節(jié)課的核心知識是“不等式”，教學重點是“通過實例感受到生活中存在大量的不等關(guān)系，探索和建構(gòu)刻畫不等關(guān)系的數(shù)學模型——不等式，并初步學會運用不等式表示常見的不等關(guān)系”.教學難點是從現(xiàn)實情境中抽象出表示不等關(guān)系的符號語言，以及對數(shù)學符號理解與運用．當然，在小學階段學生已經(jīng)了解了“<”“>”的表征意義，但對于“≥”“≤”和“≠”的意義卻可能是模糊不清的．

由于學生已有認知結(jié)構(gòu)中對等式已經(jīng)形成穩(wěn)定的理解，而且“等式”與“不等式”是具有“同構(gòu)”特征的兩類數(shù)學模型(無論是數(shù)量關(guān)系、概念還是表示方法以及性質(zhì))，所以，我們完全可以通過本課的教學，讓學生從結(jié)構(gòu)的角度站在更抽象的高度感受兩個不同系統(tǒng)之間的共性特征．正是由于不等式與等式之間有著如此強烈的“對應”屬性，運用已有活動經(jīng)驗(“等式”的相關(guān)建構(gòu)活動經(jīng)驗)進行類比建構(gòu)，形成對不等式的數(shù)學建構(gòu)理論以及數(shù)學理解．“等式”是刻畫相等關(guān)系的數(shù)學模型，而“不等式”是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學模型，因此，不等式的學習過程是數(shù)學建模的又一次經(jīng)歷，是使學生感受“模型化”這一數(shù)學重要特征的最佳時機．本節(jié)課的教學就應該讓學生充分經(jīng)歷“類比”這一重要的合情推理過程，感受合情推理在探索與發(fā)現(xiàn)“不等關(guān)系”中的作用，當然這也是從一個模型向另一個模型過渡和突破的思維進階過程．

另外，不等關(guān)系的引入，使學生還認識到了數(shù)量之間除了相等關(guān)系外，還可以存在著不等關(guān)系．于是，從集合的觀點看，刻畫相等關(guān)系的數(shù)學模型(等式)與刻畫不等關(guān)系的數(shù)學模型(不等式)就各自形成了自己的集合，這兩個集合既不相交，又存在密切聯(lián)系．教學過程中滲透集合思想也就成了隱性的教學維度，學生在這樣的認知系統(tǒng)感受到數(shù)學建模中蘊含著深刻的數(shù)學思想．對于很多的不等關(guān)系，在進行數(shù)學表示時需要先引入字母表示相關(guān)的量，于是這樣的過程就自然地成為了滲透代數(shù)思想的極好契機．

綜上所述，“生活中的不等式”雖然內(nèi)容不是很多，也不是很難，但在數(shù)學建模的過程中蘊含的數(shù)學思想方法卻十分豐富，其教學價值也就不可低估了．

2.2 重視數(shù)學對學生的已有認知的研究

(1)從認知基礎層面考察

在教學設計時，需要對學生的認知基礎進行全面的分析與研究．就知識層面而言，首先，學生知識結(jié)構(gòu)中已有與本節(jié)課的學習內(nèi)容有關(guān)的事實性知識包括“相等關(guān)系”“用等式表示相等關(guān)系”“方程是通過相等關(guān)系建立的數(shù)學模型”“不等號‘<’和‘>’”等等．其次，學生已經(jīng)有了建構(gòu)“等式”“代數(shù)式”“方程”等數(shù)學對象、數(shù)學模型的過程性知識，經(jīng)歷過從相等關(guān)系到建構(gòu)刻畫相等關(guān)系的數(shù)學模型(等式)的過程，這樣的認知基礎對于學生自主建構(gòu)刻畫不等關(guān)系的數(shù)學模型(不等式)是非常重要的．

當然，教師不僅應該了解這一年齡段的學生的認知基礎的一般性狀況，而且要分析所教班級學生的學習基礎和學習能力的實際情況，通過合理的前測活動進行復習與補位，以確保學生在本節(jié)課的活動中不能因為“前相關(guān)知識”而影響新知識的學習．

(2)從表征層面分析

盡管我們強調(diào)學生的充分的認知基礎，但這并不影響學生所應該經(jīng)歷的必要的心理表征過程，即感受背景(不等關(guān)系的情境)，產(chǎn)生反映，激發(fā)需求(數(shù)學地刻畫不等關(guān)系的認知傾向)，形成問題，探究分析，再數(shù)學建構(gòu)的過程．因此，有層次地展開教學過程是遵循學生認知規(guī)律的必然要求．根據(jù)皮亞杰發(fā)生認識論原理，初一下學期學生的認知水平已到了具體運演階段的后期，并進入形式運演階段.在這個階段，學生已經(jīng)有能力“處理假設而不只是單純地處理客體”；其提出的假設“并不只是客體，而可以是命題，假設的內(nèi)容則是類、關(guān)系等等的能夠直接予以證實的命題內(nèi)運演”．這說明，這一時期的學生應該有能力進行數(shù)學抽象以及形式化的思維活動，完全能夠自主建構(gòu)“不等式”這樣的數(shù)學模型．我們不僅要了解這一年齡段的學生的認知能力的一般狀況，也要明確所教班級的學生的實際情況，以使教學設計更加適合“具體”的學生群體．

3 細化教學活動的設計

對教學內(nèi)容、學生認知結(jié)構(gòu)分析后，接著就是針對具體情況進行教學活動與教學過程的設計了．筆者認為，在活動設計上要結(jié)合細化教學活動的每個環(huán)節(jié)，重視活動設計的可操作性和有效性．

3.1 問題鏈的設計

由于核心概念是教學的中心，因此教學設計的首要問題就是圍繞核心概念設計一節(jié)課的問題鏈．問題鏈中的第一個環(huán)節(jié)是初始問題，這個初始問題應該是基于學生已有認知結(jié)構(gòu)而“自然”提出來的，比如：

我們學習過相等關(guān)系，相等關(guān)系可以用等式表示，那么，在自然與生活中，“兩個量之間除了相等關(guān)系是否存在不等的關(guān)系呢？”

在充分感受不等關(guān)系的基礎上提出本節(jié)課的主問題：“如何數(shù)學地刻畫不等關(guān)系？”

在引入并充分認識用不等式刻畫不等關(guān)系后，我們還可以通過合適的問題提出后續(xù)教學的研究主問題：“怎樣用不等式解決與不等關(guān)系有關(guān)的實際問題？”

3.2 概念呈現(xiàn)方式的設計

一般而言，呈現(xiàn)方式取決于新知識的生長點，設置的情境應具有知識生成的導向功能.如果是那種陌生、語言啰嗦的情境，學生是很難從中找出表達不等關(guān)系的詞與句的：由于其中蘊含的不等關(guān)系較為隱蔽(如“從多少到多少”的句子中讓學生看不等關(guān)系是不容易的，因為從學生的認知習慣看，這就是個范圍，與不等關(guān)系還難以對接)而使學生“感受”的難度加大．

圖1

由前文中對教學內(nèi)容的分析可知，就邏輯關(guān)系上看，等式應是不等式的自然生長點．因此，完全可以先設計一個簡單的情境(如天平兩邊分別放有質(zhì)量相同的3只蘋果與質(zhì)量相同的2只梨，天平平衡)，讓學生回憶起相等關(guān)系，并回顧與此相關(guān)的知識建構(gòu)過程(圖1)．

3.3 問題情境的設計

接著，將情境作適當變化，將相等的關(guān)系“打破”，提出新的問題(如將放蘋果的一邊拿去一只蘋果，使天平發(fā)生傾斜，提出問題：天平為什么傾斜了)，并用自然語言表述其原因(例如，2只蘋果的質(zhì)量不等于2只梨的質(zhì)量、2只蘋果的質(zhì)量小于2只梨的質(zhì)量等)．接著再舉一些學生易于感受的不等關(guān)系的例子，并用自然語言予以表述．這個過程中，所舉的例子要豐富，要貼近學生的生活與認知，而且要力求包含各種情形，以便于運用或引入幾種常用的不等號．至此，給出說明：同類量之間除了具有相等關(guān)系外，還存在大量的“不相等”的情形，這些不相等的情形所反映的同類量之間的關(guān)系就是不等關(guān)系，讓學生經(jīng)歷了數(shù)學抽象和建模的初始階段后再讓學生列舉其所熟悉的不等關(guān)系的例子．在學生對不等關(guān)系有較充分的認識后，提出本節(jié)課的主問題：怎樣用數(shù)學的語言表示不等關(guān)系呢？

3.4 突出重點的過程性設計

圖2

“用不等式表示不等關(guān)系”是本節(jié)課的教學重點，因此讓學生充分經(jīng)歷其形成過程就顯得尤為重要．上面已經(jīng)設計了從相等關(guān)系開始的“用等式表示相等關(guān)系”的知識結(jié)構(gòu)的復習過程，再到不等關(guān)系的感受過程和用自然語言表示不等關(guān)系的過程，再到如何用數(shù)學語言刻畫不等關(guān)系的過程，到此，可以讓學生充分活動(思維活動、嘗試將已列出的不等關(guān)系用數(shù)學式子表示、相互討論、合作交流等)，使其借助相等關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)建構(gòu)起不等關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)(圖2)．

在上述過程中，教師應該在關(guān)鍵的時候介入學習、研究的過程，如新不等號的引入、其意義的說明等，必要時還應該作細致的講解．如對“≠”，可以說明a≠b，意思是a可能大于b，也可能小于b，但不可能與b相等，甚至可以讓學生判別對a,b取確定值的情況下不等式是否成立．同時，教師還應該讓學生將自然語言表示的不等關(guān)系與用不等式表示的不等關(guān)系進行比較，讓學生感受數(shù)學的“簡潔美”．然后，給出一些式子，讓學生進行分類：哪些是不等式？哪些是等式？最好以韋恩圖的方式讓學生將相應的元素移入相應的框圖內(nèi)，再次滲透分類思想與集合思想．

為了強化用不等式表示不等關(guān)系的能力，可以再做一些相關(guān)練習，如數(shù)學表示公路限速標記等．這些練習中有些是可以直接表示的，有些需要設出相應的量才能表示出來．最后再進入到用連不等式表示不等關(guān)系的問題．

4 數(shù)學建模教學的幾點建議

4.1 數(shù)學建模必須讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程

一般而言，數(shù)學建模教學的組織方式有先進行模型教學，再利用模型解決實際問題；或者先將實際問題進行抽象，再對抽象的問題進行知識教學，最后解決具體的數(shù)學問題.無論是哪種方式，都有必要讓學生參與到原始的模型抽象中來，讓他們用簡化的數(shù)學模型表達原始問題，這樣，才能使他們的建模經(jīng)驗完整.在對模型進行解讀的過程中，也要尊重學生已有的認知經(jīng)驗，要對他們的理解中不合理之處進行解釋與糾正，這是對他們知識經(jīng)驗的補充，也是對學生已有經(jīng)驗的重整．

4.2 建模中要重視代數(shù)模型與幾何模型相結(jié)合

從問題的抽象角度看，學生往往對幾何模型的疑惑或困難要多于代數(shù)模型，因此，在代數(shù)模型的教學中可以針對同一模型設置不同的情境(如本節(jié)課)，對模型加以訓練；幾何模型的教學中，則可以將重點放在對同一問題的不同抽象效果的評價上．從認知經(jīng)驗的角度看，學生的代數(shù)經(jīng)驗主要依賴于數(shù)值計算以及歸納推理，幾何經(jīng)驗則受到生活經(jīng)驗的影響，素材比較豐富，問題容易表征，因此，在活動中更應多考慮幾何模型問題．但從成果來看，問題解決的時候卻往往不僅僅用了一類模型，更多地是兩者的相結(jié)合．

4.3 重視學生自主的建?；顒优c評價

誠然，課堂中要重視數(shù)學建模的教學，但數(shù)學建模素養(yǎng)的形成是一個長期的由外而內(nèi)的過程．學生通過課堂學習已經(jīng)獲得了進行數(shù)學建?；顒拥幕净顒咏?jīng)驗，但還需要他們在課余時間運用自己的經(jīng)驗對所遇到的生活問題進行有意識的建模，運用數(shù)學的眼光看問題，運用數(shù)學的方法解決問題，久而久之，形成真正意義上的數(shù)學建模素養(yǎng)．