汪曉勤 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

數(shù)學(xué)史是一個(gè)寶藏，其中蘊(yùn)含了豐富多彩的問(wèn)題．將有關(guān)問(wèn)題用于課堂教學(xué)，可以為學(xué)生提供應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)．在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師也可獲得考察數(shù)學(xué)史多元教育價(jià)值的機(jī)會(huì)．

圖1 淤積地分配問(wèn)題

在14世紀(jì)的意大利，曾經(jīng)產(chǎn)生過(guò)這樣一個(gè)法律案例[1]：如圖1，具有公共邊界OC的甲、乙兩塊土地的主人都想獲得洪水過(guò)后所產(chǎn)生的一塊肥沃的淤積地OAB(其中甲、乙兩塊土地與淤積地接壤的邊界線OA和OB均為線段，河岸線AB為不規(guī)則曲線)，雙方爭(zhēng)執(zhí)不下，最終對(duì)簿公堂．假如你是律師，請(qǐng)問(wèn)你會(huì)提出怎樣的分配方案，讓兩人都能接受？

筆者曾在多個(gè)不同場(chǎng)合給不同年級(jí)的初中生講授數(shù)學(xué)史課.課上讓學(xué)生解決上述土地分配問(wèn)題,學(xué)生給出了很多種方案，且低學(xué)段學(xué)生的方案通常更加豐富多彩．本文對(duì)這些方案進(jìn)行總結(jié)和分類，并對(duì)探究活動(dòng)的德育價(jià)值進(jìn)行分析，最后，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展，為初中平面幾何教學(xué)提供參考．

1 淤積地的分配方案

1.1 平均分配

一些學(xué)生認(rèn)為兩人應(yīng)該均分淤積地．但由于淤積地的形狀不規(guī)則，分割線不易確定，于是他們提出以下方法來(lái)完成分割．

(1)共同擁有整塊土地，一起種植，收獲的糧食平均分.

(2)播撒種子，根據(jù)種子的數(shù)量進(jìn)行均分.

(3)將土地分割成許多相同的單元(如三角形、正方形)，根據(jù)單元的數(shù)目進(jìn)行均分.

(4)制作一塊“縮微版”的土地模型，將模型涂上油漆，根據(jù)所用的油漆量，來(lái)確定分割線．

1.2 按比例分配

很多學(xué)生提出按比例分配的方案．具體有以下幾類．

(1)按照甲、乙兩塊土地的面積之比S甲∶S乙進(jìn)行分配.

(2)按照甲、乙兩塊土地與淤積地接壤的邊界線長(zhǎng)度之比OA∶OB進(jìn)行分配.

(5)按照甲、乙兩塊土地主人家的人口數(shù)量之比進(jìn)行分配.

(6)按照甲、乙兩塊土地主人家經(jīng)濟(jì)狀況之反比進(jìn)行分配．

1.3 補(bǔ)差分配

有學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該按照所得淤積地與原土地面積之和相等的方式來(lái)分配，即甲、乙主人所得到的面積P,Q應(yīng)滿足S甲+P=S乙+Q．

1.4 作分割線

一些學(xué)生通過(guò)幾何作圖來(lái)找分割線．具體有以下幾類作圖法．

(1)延長(zhǎng)甲、乙公共邊界CO，交河岸線于D，則OD即為淤積地的分割線(圖2).

(2)作淤積地端點(diǎn)連線AB的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD并延長(zhǎng)，交河岸線于E，則OE即為淤積地的分割線(圖3).

圖2 作圖方案1 圖3 作圖方案2 圖4 作圖方案3

(3)測(cè)得河岸線的中點(diǎn)D，則OD即為淤積地的分割線(圖4).

(4)分別作甲、乙邊界線OA和OB的垂直平分線，其交點(diǎn)為D，則OD即為淤積地分割線所在的直線(圖5).

(5)作甲、乙共線的邊界線MN的垂直平分線，分別交甲(或乙)與淤積地接壤的邊界線以及河岸線于E,F兩點(diǎn)，則EF為淤積地的分割線(圖6)．

圖5 作圖方案4 圖6 作圖方案5 圖7 作圖方案6

(6)找到淤積地的重心，重心與點(diǎn)O的連線就是分割線所在的直線．

(7)作∠AOB的平分線OD，交河岸線于點(diǎn)D，則OD即為分割線(圖7)．

1.5 其他方案

一些學(xué)生采用人們十分熟悉的分蛋糕方法：甲、乙兩塊地的主人中，一人確定分配方案，另一人先挑選．另一些學(xué)生提出兩家輪流種一年，或通過(guò)決斗武力解決問(wèn)題，或通過(guò)抽簽的方式?jīng)Q定誰(shuí)單獨(dú)擁有整塊淤積地，或通過(guò)兩家結(jié)成兒女親家而共同擁有淤積地．還有一位學(xué)生則提出：國(guó)有土地，不容私分．

2 分配方案的辨析

一個(gè)合理的分配方案需要滿足以下條件：一是公平公正，雙方都能認(rèn)可；二是可以實(shí)施，具有可操作性．雖然學(xué)生給出了各種各樣的方案，但是絕大多數(shù)方案并不滿足上述條件．

平均分配方案雖然表面上看是公平的，但沒(méi)有考慮與甲、乙兩塊地的位置關(guān)系，兩者未必都能接受．另一方面，由于河岸線是不規(guī)則的，要將淤積地準(zhǔn)確地二等分，僅利用14世紀(jì)人們所知道的數(shù)學(xué)知識(shí)是不可能完成的；而學(xué)生給出的方法或難以實(shí)施或誤差太大．

按比例分配諸方案也都存在面積測(cè)量的難題．此外，按邊界線長(zhǎng)度之比或甲、乙兩塊地的面積之比的方案雖然考慮了淤積地與甲、乙的位置關(guān)系，但可能會(huì)產(chǎn)生“多上加多”的結(jié)果，面積小的一方顯然不會(huì)接受；按邊界長(zhǎng)度或甲、乙面積之反比來(lái)分配，或按兩家人口數(shù)之比分配，或按經(jīng)濟(jì)收入之反比來(lái)分配，只能讓其中一方滿意，而法律所追求的公平公正并不等同于濟(jì)貧扶困．補(bǔ)差分配也存在同樣的問(wèn)題．

幾何作圖諸方案中，前六種方案所依據(jù)的原則并不清楚，無(wú)法令人信服．第七種方案的依據(jù)最為清楚：淤積地中的任何一個(gè)區(qū)域，離誰(shuí)家原有土地的邊界線更近，就歸屬誰(shuí)家，因此，角AOB平分線的其中一段就是淤積地的分割線．事實(shí)上，這正是14世紀(jì)意大利法律教授巴托魯斯(Bartolus,1313～1357)的分配方案．這一分配方案既能為兩家所接受，又易于實(shí)施．

“分蛋糕方案”表面上比較合理，但最終還是繞不開(kāi)如何分割的問(wèn)題；“決斗”這樣的方案簡(jiǎn)單粗暴，與法律背道而馳；“和親”方法雖頗具想象力，但并不現(xiàn)實(shí)．

3 德育價(jià)值的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)學(xué)科的德育價(jià)值包含理性、情感、信念、品質(zhì)等維度．淤積地分配問(wèn)題用于課堂教學(xué)，有著豐富的德育價(jià)值．

首先，分配淤積地時(shí)，不能憑感情用事，不能僅看分割的便利性，不能局限于表面的公平，不能顧此失彼，更不能隨心所欲．古希臘哲學(xué)家亞里士多德云：“法律所事，在保持群益．”需要確立一種保持雙方利益的公平合理的原則，據(jù)此來(lái)實(shí)施分配．學(xué)生所給出的均分方案、按比例分配方案、絕大多數(shù)作圖方案都缺乏讓雙方都感到信服的依據(jù)．角平分線方案之所以令人心服口服，是因?yàn)樗罁?jù)了公平合理的“距離原則”．可見(jiàn)，淤積地分配問(wèn)題的探究有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和規(guī)則意識(shí)．

其次，學(xué)科關(guān)聯(lián)乃是基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵之一[2].但在傳統(tǒng)的平面幾何教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)文化的缺失，學(xué)生很少感受到數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域之間的密切聯(lián)系，正如美國(guó)學(xué)者Bidwell指出的那樣：“在課堂里，我們常常這樣看待數(shù)學(xué)，好像我們是在一個(gè)孤島上學(xué)習(xí)似的．我們每天一次去島上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，埋頭鉆進(jìn)一個(gè)純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒(méi)有骯臟角落的書(shū)房．學(xué)生們覺(jué)得數(shù)學(xué)是封閉的、呆板的、冰冷無(wú)情的、一切都已發(fā)現(xiàn)好了的．”[3]

淤積地分配問(wèn)題揭示了數(shù)學(xué)與法律之間的聯(lián)系，可以幫助學(xué)生樹(shù)立積極的數(shù)學(xué)信念．角平分線的概念、性質(zhì)與作圖法也因?yàn)橛辛爽F(xiàn)實(shí)應(yīng)用而變得生動(dòng)有趣．

再次，關(guān)于淤積地分配的探究活動(dòng)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的品質(zhì)也有重要意義．?dāng)?shù)學(xué)課堂上的探究活動(dòng)由“準(zhǔn)備與聚焦”“探究與發(fā)現(xiàn)”“綜合與交流”以及“評(píng)價(jià)與延伸”諸環(huán)節(jié)組成[4]．在“綜合與交流”環(huán)節(jié)，每一位學(xué)生都有機(jī)會(huì)展示自己的解決方案，每一位學(xué)生也都是傾聽(tīng)者、反思者和獲益者．因此，探究活動(dòng)有助于培養(yǎng)學(xué)生傾聽(tīng)、尊重和包容的品質(zhì)．在“評(píng)價(jià)與延伸”環(huán)節(jié)，教師呈現(xiàn)古今聯(lián)系，14世紀(jì)的法律教授仿佛成了班里的一名“額外”學(xué)生，而那些給出角平分線方案的學(xué)生又仿佛成了14世紀(jì)的法律教授，其自信心得到了提升．

4 問(wèn)題的拓展

在淤積地分配問(wèn)題中，一旦確定了公平合理的“距離”原則，教師可以采用有關(guān)提出問(wèn)題策略，來(lái)提出各種不同的問(wèn)題．例如，如果采用條件操作策略(即改變已知情境中的一個(gè)或若干個(gè)條件)或目標(biāo)操作策略(改變已知情境中的目標(biāo))，可以提出一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題．

問(wèn)題1如圖8，若河岸線AB為線段，淤積地OAB為三角形，OA∶OB=2∶3，則甲、乙兩塊地的主人所分得的淤積地面積之比為多少？

問(wèn)題2如圖8，河岸線AB為線段，淤積地OAB為三角形，已知AB的中點(diǎn)與點(diǎn)O的連線為淤積地的分割線，試判斷△OAB的形狀．

問(wèn)題3如圖8，河岸線AB為線段，淤積地AOB為三角形，作OA與OB的垂直平分線，其交點(diǎn)為O′，淤積地的法定分割線恰為OO′的一部分，試判斷△AOB的形狀．

圖8 拓展問(wèn)題1 圖9 拓展問(wèn)題2 圖10 拓展問(wèn)題3

問(wèn)題4如圖9，河岸線AB為線段，四邊形AMNB為矩形，淤積地AOB為三角形，其頂點(diǎn)O位于MN上，甲、乙兩塊地的主人所得淤積地連同原有土地面積之和恰好相等．試判斷△AOB的形狀．

問(wèn)題5如圖10，河岸線AB為線段，淤積地AOB為三角形，其頂點(diǎn)O位于MN上，測(cè)得∠AOM=∠BON，MO∶ON=m∶n(m>0,n>0)，問(wèn)：甲、乙兩塊地的主人所分得的淤積地面積之比為多少？

問(wèn)題6如圖11，若邊界線OA和OB位于同一直線上，則如何分配淤積地？

圖11 邊界共線 圖12 邊界共線、 圖13 邊界為圓弧河岸線為圓弧

問(wèn)題7如圖12，邊界線AOB為線段，且河岸線為半徑等于50米的四分之一圓弧，若AO∶OB=1∶2，則淤積地的法定分割線有多長(zhǎng)？

問(wèn)題8如圖13，若邊界線AOB為圓弧，則如何分配淤積地？(提示：先求圓弧AOB的圓心，圓心與點(diǎn)O的連線即為淤積地的分割線)

問(wèn)題9如圖14，邊界線AOB為四分之一圓弧，其半徑為80 m．若河岸線AB為線段，且圓弧AO和圓弧OB的長(zhǎng)度之比為1∶2．求甲、乙兩地主人所分得的淤積地面積之比．

圖14 弓形淤積地 圖15 圓弧所圍淤積地

問(wèn)題10如圖15，邊界線AOB與和河岸線為半徑相同的圓弧．已知淤積地分割線恰好位于CO的延長(zhǎng)線上，求甲、乙兩塊地的主人所分得的淤積地面積之比．

我們甚至可以將邊界線換成更一般的曲線(如拋物線)，從而產(chǎn)生更為復(fù)雜的問(wèn)題．

5 結(jié)語(yǔ)

不同形狀淤積地的分配問(wèn)題蘊(yùn)含著豐富的平面幾何知識(shí)，涉及垂線、角平分線的概念與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、弧長(zhǎng)與扇形面積、梯形面積、垂徑定理及其逆定理、相交弦定理、勾股定理、相似三角形性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理等，是初三平面幾何復(fù)習(xí)課的理想素材．教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對(duì)該問(wèn)題有著濃厚的興趣，通過(guò)有關(guān)的探究活動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)豐富的德育價(jià)值；同時(shí)，該問(wèn)題又為學(xué)生在課堂上提出新問(wèn)題提供了理想的情境．因此，我們可以借助該問(wèn)題的教學(xué)，探索初三復(fù)習(xí)課的新策略，讓初三復(fù)習(xí)課實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融合、營(yíng)造探究的樂(lè)趣、促成思想的交流、傳遞創(chuàng)新的精神、洋溢文化的芬芳．