顧 君 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校 215000)

1 基本情況

本節(jié)課是蘇州數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)課，授課對(duì)象為九年一貫制學(xué)校初三普通班學(xué)生.

內(nèi)容分析 運(yùn)動(dòng)問題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱門話題，此類問題涉及化歸、數(shù)形結(jié)合、圖形變換等數(shù)學(xué)思想和方法.本節(jié)課從圖形變換的角度對(duì)一類運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，探究動(dòng)點(diǎn)之間的變換關(guān)系與路徑之間的聯(lián)系，歸納此類動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題的本質(zhì)，總結(jié)得到“瓜豆原理”.學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，積累相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)利用“瓜豆原理”解決此類問題相比于其他方法更具優(yōu)越性.

教學(xué)目標(biāo) (1)從圖形變換角度觀察定點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)三者之間的變換關(guān)系，感受動(dòng)點(diǎn)變換規(guī)律與路徑之間的聯(lián)系，歸納得到“瓜豆原理”；

(2)應(yīng)用“瓜豆原理”解決運(yùn)動(dòng)問題中一類與動(dòng)點(diǎn)路徑有關(guān)的問題；

(3)經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)和感悟化歸、數(shù)形結(jié)合、圖形變換等數(shù)學(xué)思想和方法.

2 教學(xué)過(guò)程

為了探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課的設(shè)計(jì)分為以下四個(gè)板塊：在情境創(chuàng)設(shè)中發(fā)展學(xué)生動(dòng)機(jī)；在主動(dòng)嘗試中優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)；在變式探究中形成數(shù)學(xué)思維；在綜合應(yīng)用中提升學(xué)生能力.

2.1 板塊一：情境創(chuàng)設(shè)

活動(dòng)1俗話說(shuō)“種瓜得瓜，種豆得豆”，數(shù)學(xué)上同樣可以將一個(gè)圖形進(jìn)行放大或者縮小，此類變換是什么？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)生活情境聯(lián)系數(shù)學(xué)中的位似變換，由數(shù)學(xué)外部情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)，旨在喚醒學(xué)生對(duì)位似變換知識(shí)的記憶，揭示本節(jié)課的主題.

圖1

活動(dòng)2如圖1，已知線段AB，其中A為定點(diǎn)，且滿足AC∶AB=1∶2.

(1)從位似變換的角度看，點(diǎn)C如何由點(diǎn)B變換而來(lái)？

(2)任意拖動(dòng)點(diǎn)B，點(diǎn)C位置會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

2.2 板塊二：主動(dòng)嘗試

活動(dòng)3如圖2，如果點(diǎn)B在線段MN上運(yùn)動(dòng)，其他條件保持不變.

(1)點(diǎn)C的路徑是什么？它可以看作是由點(diǎn)B的路徑如何變換而來(lái)？

(2)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度PQ和點(diǎn)B的路徑長(zhǎng)度MN之間有何數(shù)量關(guān)系？

(3)將點(diǎn)C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C′，則點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑是什么？

圖2 圖3 圖4

2.3 板塊三：變式探究

活動(dòng)4如圖5，將點(diǎn)B在“定線段MN”改為在“定圓O”上運(yùn)動(dòng)且滿足AC∶AB=1∶2，其他條件保持不變.

(1)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？它可以看作是由點(diǎn)B的路徑如何變換而來(lái)？

(2)點(diǎn)C路徑所在圓的圓心和半徑如何確定？

(3)將點(diǎn)C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C′，點(diǎn)C′的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？

圖5 圖6 圖7

活動(dòng)5由活動(dòng)3和活動(dòng)4積累的經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)思考：

(1)在圖3和圖6的前提下，若改變主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的位似比，如AC∶AB=1∶3，則從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)所在的路徑長(zhǎng)度之間有何變化？若繼續(xù)改變位似比，由此類推，你可以得到什么結(jié)論？

(2)在圖4和圖7的前提下，若改變旋轉(zhuǎn)角α，如∠α=30°，則從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)所在的路徑長(zhǎng)度之間有何變化？若任意改變旋轉(zhuǎn)角α，由此類推，你可以得到什么結(jié)論？

(3)當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)在三角形、四邊形或者其他圖形上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？從動(dòng)點(diǎn)路徑與位似比、旋轉(zhuǎn)角之間有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖本活動(dòng)是學(xué)生經(jīng)歷了操作、觀察和思考，對(duì)已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納，總結(jié)得到以下結(jié)論：①兩動(dòng)點(diǎn)之間的變換關(guān)系和路徑的變換關(guān)系是一致的，主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)之間保持“步調(diào)一致，集體行動(dòng)”；②從動(dòng)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度是主動(dòng)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)乘以相應(yīng)的位似比，即確定從動(dòng)點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間連線段的比值；③旋轉(zhuǎn)變換只改變路徑的位置，并不改變路徑形狀和大小.

2.4 板塊四：綜合應(yīng)用

圖8

設(shè)計(jì)意圖本活動(dòng)是一個(gè)開放性探究活動(dòng)(可以設(shè)計(jì)求點(diǎn)E和點(diǎn)D的路徑)，是對(duì)所得“瓜豆原理”經(jīng)驗(yàn)的綜合應(yīng)用.學(xué)生通過(guò)交流和討論，厘清“瓜豆原理”本質(zhì)，關(guān)鍵是尋找“瓜豆三點(diǎn)”：定點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn).

3 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上經(jīng)歷歸納推理形成新的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和技能之外，還能形成一定的數(shù)學(xué)思維模式，應(yīng)用這種數(shù)學(xué)思維模式在解決問題過(guò)程中對(duì)問題作出直觀的判斷，是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的關(guān)鍵.學(xué)生經(jīng)歷本節(jié)課的學(xué)習(xí)，從圖形變換的角度探究此類動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的本質(zhì)，是相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的激活、積累、遷移和升華的完整過(guò)程.

3.1 在情境創(chuàng)設(shè)中激活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累不是簡(jiǎn)單被動(dòng)的接受，而是自己主動(dòng)參與知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程.作為學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的參與程度直接影響著數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲取程度.因此，調(diào)動(dòng)學(xué)生的需求、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)至關(guān)重要.在活動(dòng)1中,通過(guò)數(shù)學(xué)外部的情境激活數(shù)學(xué)內(nèi)部的已有經(jīng)驗(yàn)，以生活中“種瓜得瓜，種豆得豆”直接經(jīng)驗(yàn)類比圖形變換中的位似變換；在活動(dòng)2中激活位似變換的相關(guān)知識(shí)，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)機(jī)，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索問題的主動(dòng)性.

3.2 在主動(dòng)嘗試中積累經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生只經(jīng)歷一次活動(dòng)，積累形成的經(jīng)驗(yàn)是具體的、單一的.只有經(jīng)歷多次類似的活動(dòng)，在不斷的反思、交流和歸納過(guò)程中才能形成系統(tǒng)的、有條理的經(jīng)驗(yàn).活動(dòng)3中經(jīng)驗(yàn)的積累分為兩個(gè)層次：當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)位似變換也在線段上運(yùn)動(dòng)，這是學(xué)生的直觀感受，屬于淺層次的經(jīng)驗(yàn)；當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)之間不僅存在位似變換還存在旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，雖然主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)之間的變換關(guān)系改變了，但本質(zhì)還是把握定點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)三點(diǎn)間的變換關(guān)系來(lái)分析.在這個(gè)活動(dòng)過(guò)程中學(xué)生逐漸將低層次的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成較高層次的經(jīng)驗(yàn)，并在推理過(guò)程中不斷優(yōu)化自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.3 在變式探究中遷移經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)思維

學(xué)生由具體的經(jīng)驗(yàn)層面上升到思維層面，需要從研究對(duì)象的空間形式和數(shù)量關(guān)系中抽取出共同的、本質(zhì)的屬性.例如，活動(dòng)3是點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)而活動(dòng)4是點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，雖然主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方式不同，但是主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)之間仍然保持“步調(diào)一致，集體行動(dòng)”.經(jīng)過(guò)對(duì)活動(dòng)5的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納和總結(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)從動(dòng)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度等于主動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)度乘以相應(yīng)的位似比，只要位似比確定，從動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)也隨之確定.在此過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，進(jìn)而形成處理此類問題的數(shù)學(xué)思維模式.

3.4 在綜合應(yīng)用中升華經(jīng)驗(yàn)，提升關(guān)鍵能力

在活動(dòng)探究過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)的激活、積累、遷移和應(yīng)用，教師除了關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和技能，更需關(guān)注每個(gè)學(xué)生的能力培養(yǎng).考慮到學(xué)生個(gè)體的差異性，所積累的經(jīng)驗(yàn)不盡相同，學(xué)生經(jīng)過(guò)活動(dòng)6的組內(nèi)交流和反思，進(jìn)行思維的碰撞和經(jīng)驗(yàn)的交流，彌補(bǔ)自身認(rèn)識(shí)的不足，在解決問題的過(guò)程中將自己內(nèi)化的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行應(yīng)用和升華，促進(jìn)相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升和發(fā)展.與此同時(shí)，學(xué)生的關(guān)鍵能力在應(yīng)用這種思維模式解決問題的過(guò)程中不斷得到提升.