王 龍 (江蘇省南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校 215000)

蘇科版數(shù)學(xué)教材每冊都有一本《數(shù)學(xué)實驗手冊》，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷實驗探索的過程，在動手操作中感悟數(shù)學(xué)．本文對平面圖形的密鋪的實驗教學(xué)進行整理，以供參考．

1 平面圖形的密鋪教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)1 欣賞生活實例

欣賞圖案(圖1).

圖1

課前學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)過教材，知道什么是平面圖形的密鋪(以下簡稱密鋪).課堂上,教師首先讓學(xué)生回答什么是密鋪.

平面圖形的密鋪：用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間沒有空隙、也沒有重疊地鋪成一片，叫做平面圖形的密鋪，也叫平面圖形的鑲嵌．

接著，學(xué)生欣賞生活中常見的圖案，感悟密鋪在生活中隨處可見、有研究的價值，為后面的實驗操作打好基礎(chǔ)．教師著重提問：你能說說你對“密鋪”中的“密”的理解嗎？學(xué)生自主提煉出關(guān)鍵點：圖形之間沒有空隙，圖形之間沒有重疊．

學(xué)生在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過對圖片的欣賞、觀察，發(fā)現(xiàn)生活中到處存在數(shù)學(xué)圖案之美；以此激發(fā)學(xué)生自主創(chuàng)作的熱情，為探究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)打下基礎(chǔ)．

教學(xué)環(huán)節(jié)2 實驗操作

活動1 只用同一種正多邊形圖形，哪些圖形可以密鋪？

學(xué)生利用手中的材料，在實驗單上粘貼拼圖，部分作品如下(圖2).

圖2

教學(xué)組織：學(xué)生展示拼圖，并總結(jié)出正三角形、正方形、正六邊形可以進行密鋪．

深度思考：你能發(fā)現(xiàn)這些拼在一起的角滿足什么數(shù)量關(guān)系嗎？(同一頂點處，各角之和為360°)

進一步說明：6×60°=360°，4×90°=360°， 3×120°=360°.對于x個正n邊形，若關(guān)于x的方程nx=360有整數(shù)解，則圖形能夠密鋪．

活動2 只用兩種正多邊形圖形，哪些組合可以進行密鋪？

學(xué)生小組合作拼圖，部分作品展示如下(圖3).

圖3

學(xué)生在拼圖時遇到多種情況，比如拼圖有空隙、拼圖有重疊，再重新操作，而有的小組先計算再進行拼圖．學(xué)生在實驗操作中感受到分類組合，有些小組試圖優(yōu)化實驗操作的方案，從而自發(fā)對圖形中角的數(shù)量關(guān)系進行思考．教師拿著學(xué)生的作品追問：“大家看這個拼圖，很美觀！但是有沒有一點縫隙或者一點重疊，你怎么能知道呢？”有學(xué)生回答可以看出來，但最后大家一致認(rèn)定要通過計算進行驗證.此時學(xué)生的思維趨于理性，思維也更加嚴(yán)謹(jǐn)，這就實現(xiàn)了從感性到理性的升華．

結(jié)論：正三角形和正方形、正三角形和正六邊形、正方形和正八邊形能組合密鋪．

第三，定價方法單一。正如上文所言，南通鵬越紡織有限公司堅持成本定價為主，市場競爭定價為輔，這是一種典型的成本定價法。但這種定價方法十分機械，不能囊括所有。且面對靈活多變的市場，也能有著較為全面客觀的掌控。

活動3 同一種任意三角形能否密鋪？

啟發(fā)學(xué)生從正多邊形到一般多邊形的研究．

學(xué)生通過小組合作，發(fā)現(xiàn)同一種任意三角形能夠密鋪．教師追問為什么,學(xué)生從問題的本質(zhì)出發(fā)，得出結(jié)論：在同一頂點處能拼成360°角．同樣地，在教師的追問下，學(xué)生易得：同一種任意四邊形也能密鋪，因為四邊形內(nèi)角和是360°．

問題：同一種任意五邊形能密鋪嗎？

教師展示目前發(fā)現(xiàn)的十六類五邊形的密鋪圖案(圖4)．

圖4

教學(xué)環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié)(圖5)

圖5

2 回顧與反思

反思這節(jié)課的教學(xué)，有以下幾點思考.

(1)從簡單實驗到理性思考.課前預(yù)習(xí)使學(xué)生對于本節(jié)課的內(nèi)容有了淺層的了解，目的是使課堂學(xué)習(xí)的針對性更強，也讓學(xué)生體會怎樣才能做到深度地學(xué)習(xí)．學(xué)生喜歡動手操作，感覺好玩，卻容易忽視實驗后的反思．教師及時引導(dǎo)，讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上更進一步，由感性到理性，揭示現(xiàn)象的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)的價值在于抽象歸納，要把直觀感受變成抽象的規(guī)律， 就像學(xué)生操作時能直觀感受看到密鋪，但通過理性思考(在同一個頂點拼成360°)則思維更加嚴(yán)謹(jǐn)．

(2)從問題研究到方法滲透.本節(jié)課的實驗操作設(shè)計簡單，學(xué)生易于獨立完成或小組合作完成.學(xué)生在實際操作中不知不覺地感受到研究問題的基本方法，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)．課堂上學(xué)生經(jīng)歷了由生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問題、由圖形能否密鋪到方程是否有解、由研究簡單圖形到探究復(fù)雜圖形之間的關(guān)系、由具體的實驗現(xiàn)象到抽象的數(shù)學(xué)模型、由特殊實驗素材到一般的幾何圖形問題研究的過程．問題在于學(xué)生能否在每個階段的實驗中歸納出抽象的結(jié)論，能否感悟研究問題的方法．學(xué)生先經(jīng)歷一種特殊圖形的拼圖操作，部分學(xué)生能從數(shù)量關(guān)系的角度總結(jié)，為接下來的深入研究提供參考.在后面的活動中，學(xué)生類比前面的經(jīng)驗很快總結(jié)出一般性的結(jié)論，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程，此時就實現(xiàn)了揭示問題本質(zhì)的目的．史寧中教授認(rèn)為，教學(xué)不僅要交給學(xué)生知識，更要幫助學(xué)生形成智慧．

(3)從數(shù)學(xué)知識到數(shù)學(xué)文化.從生活中隨處可見的建筑圖案就能聯(lián)想到在建筑師的設(shè)計中，不同的幾何元素可以表達不同的藝術(shù)理念，也表達了設(shè)計者的文化追求．學(xué)生在欣賞美的同時也產(chǎn)生出設(shè)計美的作品的愿望．?dāng)?shù)學(xué)文化不但是直觀的藝術(shù)形象，它還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美．在學(xué)生印象中，現(xiàn)在學(xué)的知識都是很古老的，早就被人們所熟知，現(xiàn)在只是拿過來重新學(xué)習(xí)一遍而已．本節(jié)課中展現(xiàn)的任意五邊形的例子給學(xué)生很大的觸動，原來這些研究在世界最著名的大學(xué)中正在進行著．我們能發(fā)現(xiàn)學(xué)生激動的眼神，有的已經(jīng)躍躍欲試，準(zhǔn)備自己嘗試找到第十七種方案．此時學(xué)生心里已經(jīng)埋下了數(shù)學(xué)的種子，這顆種子在某一個時刻就會破土發(fā)芽，這是一種數(shù)學(xué)文化，是一種數(shù)學(xué)精神、科學(xué)的精神．

(4)充分展現(xiàn)學(xué)生的思維.學(xué)生的思維是數(shù)學(xué)課堂上最美的花朵，或者說，學(xué)生不完美的思維展示才是課堂教學(xué)的意義所在.教師若能讓學(xué)生充分展示這種原生態(tài)的思維的過程，就能助推學(xué)生的真正發(fā)展．在本節(jié)課組合拼圖的過程中，有的小組發(fā)揮了集體智慧，創(chuàng)作出意想不到的圖案來.這樣的“意外”在課堂上要多一點，讓學(xué)生把知識靈活地應(yīng)用到自己的設(shè)計方案中去．