秦明山

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生的疑問往往會讓數(shù)學(xué)課堂精彩紛呈。關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)除法中的“余數(shù)”問題，筆者從一道錯題入手，啟發(fā)學(xué)生探究，把握除法與余數(shù)的學(xué)習(xí)真諦。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);“余數(shù)”探秘;指引“真學(xué)”

解答小學(xué)數(shù)學(xué)問題時需要把握邏輯關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生探究，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在學(xué)習(xí)“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”時，筆者因一道錯題而引發(fā)學(xué)生疑惑，以此為教學(xué)突破口，從問題探究中挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能。

一、以不同的“余數(shù)”為辨析起點，引出除法意義的反思

對于108÷28，其正確的解法是108÷28=3……24。但有學(xué)生提出質(zhì)疑，認(rèn)為108÷28與108÷4÷7應(yīng)該相等的，但兩者的結(jié)果卻不同。前者的余數(shù)為“24”，而后者的余數(shù)為“6”。為什么？對于上述問題，學(xué)生運用“a÷b=a÷c÷d”（b=c×d）的公式進(jìn)行解答。顯然，“28”與“4×7”是相等的。但兩者的結(jié)果卻迥然不同。先看108÷28，其結(jié)果為3，余數(shù)為24，整個計算過程沒有錯誤。同樣，對于108÷4÷7，其結(jié)果為“3”，余數(shù)為“6”，計算過程也是沒有錯的。但兩者的“余數(shù)”為何不同？很多學(xué)生都將目光聚焦到“余數(shù)”上，認(rèn)為一定是“余數(shù)”出問題了。有問題，就要反思算理。在108÷28中，其結(jié)果與算理沒有異議。但在108÷4÷7中，其算理與前者是不同的。為了讓學(xué)生能夠清晰、準(zhǔn)確、明白的辨析兩種不同算理的差異性，我們先給學(xué)生自主思考、討論的空間，學(xué)生通過探究有了不同的發(fā)現(xiàn)。以108÷28為例，該題為三位數(shù)除以兩位數(shù)，既然是除法，就是要進(jìn)行平均分。對于108，我們平分108顆米粒，每份分28粒，最后分成了3份，還剩下24粒不夠分，所以余數(shù)為“24”。同樣，以108÷4÷7為例，重取108粒米，先分成4份，每份得到27粒，再將“27”分成7份，每份為3粒，還有“6”粒不夠分，所以余數(shù)為“6”。對比這兩種分法，很顯然，第一種分法，是將“108”看作“被除數(shù)”，得到的余數(shù)為“24”。而第二種分法，是將“27”作為“被除數(shù)”，得到的余數(shù)為“6”。所以，因為“被除數(shù)”的變化，“余數(shù)”也發(fā)生了變化。

二、圍繞“余數(shù)”問題，展開“真學(xué)”探究

從前面所討論的除法結(jié)果與余數(shù)問題思考中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了拓展，但為了更好地厘清數(shù)學(xué)思路，我們結(jié)合“余數(shù)”問題展開深入探究。前面的余數(shù)問題，我們暫且稱之為“大余數(shù)”與“小余數(shù)”。學(xué)生通過實踐認(rèn)識到數(shù)學(xué)除法的算理變化。與之相關(guān)的其他數(shù)學(xué)除法還有很多。如252÷32=7……28與252÷4÷8=7……7;570÷35=16……10與570÷5÷7=16……2。觀察并分析這些除法算式，“大余數(shù)”是原來的被除數(shù)除以除數(shù)得到的?！靶∮鄶?shù)”則是對平分后的數(shù)再進(jìn)行第二次除法運算得到的。以999÷12=83……3對照999÷3÷4=333÷4=83……1為例?！按笥鄶?shù)”為3，被除數(shù)是“999”，除數(shù)是“12”;“小除數(shù)”是將“333”作為被除數(shù)，余數(shù)為“1”。有學(xué)生提出質(zhì)疑，對于428÷63與428÷7÷9，在428÷7時，就產(chǎn)生了余數(shù)，這種情況還能繼續(xù)計算嗎？這種情形顯然是新問題。我們重新結(jié)合分米實驗，讓學(xué)生嘗試將“428”粒米先分成7份，得到每份為61，余數(shù)為1。接下來，對7個“61”按每“9”個一份進(jìn)行平分，得到“6”個9，余數(shù)為“7”。最后商為“6”，余數(shù)為“7×7+1=50”，這樣的答案，與428÷63的結(jié)果是一樣的。也就是說，對于被除數(shù)與除數(shù)之間，分次除法，所用的“被除數(shù)”是第一次得到的“商”，余數(shù)可以放一邊，等到計算“大余數(shù)”時，一定要加上這個“小余數(shù)”。

三、鼓勵學(xué)生對照算法，發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力

通過前面對“大余數(shù)”“小余數(shù)”問題的探究，學(xué)生可以對兩種不同的算法比較優(yōu)劣與差異，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力、思維力、運算力。數(shù)學(xué)課堂上，對問題的探究更有助于學(xué)生激活數(shù)學(xué)思維，深化對數(shù)學(xué)問題的理解。接著，請同學(xué)們思考，哪種算法更簡便？為什么？有學(xué)生認(rèn)為，列豎式計算比較好;有學(xué)生認(rèn)為，分開計算更簡便。結(jié)合對相關(guān)例題的解法對比，雖然學(xué)生都能夠理解兩種算法，但如何讓兩種計算結(jié)果轉(zhuǎn)化為同樣的形式？如對于“108÷28”，可以直接寫成3……24;也有學(xué)生認(rèn)為可以寫成3……6×4。通過討論，同學(xué)們一致認(rèn)為，利用小數(shù)來表示最為合理。對于108÷28與108÷4÷7，在利用計算器計算后，結(jié)果都是相同的。也就是說，對于不能分下去的“余數(shù)”，還可以繼續(xù)平分為“小數(shù)”。

總之，在本次課堂探究中，學(xué)生從一道錯題認(rèn)識了數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)，獲得了真學(xué)，提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

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（責(zé)任編輯：朱福昌）