朱 海，楊曉芳

(成都師范學院 數(shù)學學院，成都 611130)

1 引言

房價是影響國民經濟全局的重要變量，在過去的10年，房價的大幅度攀升引起了人們的廣泛關注。全國各大中城市如上海、北京、成都等一線城市儼然成為房價上漲的領頭羊。根據(jù)國家統(tǒng)計局的數(shù)據(jù)顯示，從2009—2018年，成都市平均房價從5 400元/m2上升到13 200元/ m2，上漲近兩倍。房價持續(xù)高速增長，無論對城市人口的增長、還是對國民經濟健康發(fā)展乃至整個社會的和諧穩(wěn)定，都將產生一定的負面影響。因此，對于大中型城市，尤其是一線城市的房價進行研究分析和預測，具有很強的實際意義。在2017年黨的十九大報告中，習近平總書記重點指出：貫徹“房住不炒”，堅持房子是用來住的，不是用來炒的定位。認為要找到房價與人口數(shù)量的動態(tài)平衡，增加城市人口數(shù)量，建設穩(wěn)定長期有效的機制，實現(xiàn)我國經濟可持續(xù)發(fā)展。事實上，現(xiàn)有文獻對房價預測已經做了不少研究，例如，文獻[1]借助于遺傳算法和BP神經網(wǎng)絡對房價進行了預測分析；文獻[2-3]借助于(灰色)馬爾可夫模型對房價進行了預測分析；文獻[4]利用時間序列分析法對房價進行了預測分析；文獻[5]對房價預測模型做了比較研究。與上述研究者不同的是，本研究運用Logistic模型和格蘭杰因果關系來探究它們之間存在的聯(lián)系。

2 研究與結論

2.1 數(shù)據(jù)的來源及模型的假設

數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局官方網(wǎng)站，新房成交均價來自于市場成交信息，所有數(shù)據(jù)真實有效。建立模型時，為確保模型的合理性，做出以下假設：(1)所有數(shù)據(jù)來源真實可靠，無虛報假報數(shù)據(jù)；(2)人口增長率r是常數(shù)；(3)r為人口x(t)的函數(shù)r(x)，定為r(x)=r-sx,r,s>0；(4)資源和環(huán)境條件下最多容納人口為xm；(5)文中主要考慮人口數(shù)量，不涉及其他影響因素。

2.2 研究思路

成都市是四川省的經濟、文化中心，其很大程度上反映了四川省人口數(shù)量與房價之間的關系，因此以成都市為例, 研究房價漲幅與人口數(shù)量之間的關系。首先，繪制散點圖，計算相關系數(shù)，對房價與人口因素之間的關系做出直接判斷。然后，通過Logistic模型找出人口數(shù)量與時間的關系式，再得到滿足房價、人口數(shù)量影響的方程組，并進行格蘭杰因果關系檢驗，判斷模型的實用性和穩(wěn)定性。最后，繪制圖形，分析房屋價格與人口數(shù)量之間的關系。

2.3 模型的準備

記時刻t=0時，人口數(shù)量為x0。當x=x0時，增長率為0。將s=r/xm代入s=r-sx，得：s=r(1-x/xm)。將方程代入馬爾薩斯人口模型[3]x′=rx，得x′=r(1-x/xm)。解該方程，得x(t)=xm/[1+e-rt(xm/x0-1)]。為對非線性人口模型的數(shù)值求解，先對人口模型進行離散化，得x(t+1)=x(t)+r(1-x(t)/xm)x(t)。人口數(shù)量和房價在t時刻分別記作x(t),u(t)，人口數(shù)量的增長會使房價增加，設房價增長的程度與人口數(shù)量成正比，于是x(t)滿足方程x′=(r+λ1u)(x+r-2x/xm) ，其中比例系數(shù)λ1反映人口對住房的需求能力。若房屋不足，人口數(shù)量的增長率為r2，即(x2)′=r2u，而房屋為人們提供了居住的作用，相當于使房價的增長率增加或降低。設這個作用與人口數(shù)量成正比，于是u(x)滿足u′=u(r2+λ2u) ，其中，比例系數(shù)λ2反映了房屋對人口的供求能力。

2.4 研究方法

經計算，相關系數(shù)大于0，這表明房價與人口數(shù)量成線性正相關關系。利用格蘭杰因果檢驗判斷人口、政策與房價之間的因果關系。如表1所示，在5%的顯著性水平下，人口數(shù)量與房價之間存在雙向的格蘭因果關系。

表1 格蘭杰因果關系檢驗結果Tab.1 Granger causality test results

2.5 模型求解

針對上面數(shù)據(jù)用MATLAB軟件進行計算得：x(0)=1 139.6，u(0)=5 400，λ1=0.2，r1=1，λ2=0.04，r2=0.5。則國家政策調整前和調整中的模型分別為：x′=(x+1-2x/xm)(1+0.2u)，u′=u(0.5+0.04x)，u(0)=5400，x(0)=1139.6。

2.6 結果分析

房價與人口數(shù)量為正相關影響關系，高房價對人口數(shù)量成抑制作用，意味著城市勞動力減少，會對社會經濟動態(tài)平衡造成影響，因此政府會降低房價來維持城市所需要的人口數(shù)量。而人口數(shù)量的暴增刺激著房價過高，因此，為促進房地產市場持續(xù)穩(wěn)步健康發(fā)展，城市需要引入更多優(yōu)質勞動力來改善社會經濟市場結構，從而達到抑制房價過快走高的趨勢。

3 基于線性回歸對未來房價預測

4 結語

以成都市為例，分析房價與人口數(shù)量之間的關系并預測未來房價的走勢。在人口流動沒有大的波動和國家對房地產沒有較大政策的改變下，可以推廣到全國大部分城市，預測各城市未來房價的走勢。根據(jù)Logistic模型計算結果分析來看，高房價對城市人口增長成抑制作用，國家可以通過頒布一些政策來調控房價在一定范圍內變化，從而增加城市人口，促進國內經濟的發(fā)展。通過線性回歸方程對成都市未來房價進行預測可看出，雖然我國未來平均房價的趨勢有一定的被動，但總體上仍然為上升趨勢。