賈欣欣

(杭州電子科技大學計算機學院，浙江杭州 310018)

因果關系作為事物之間發(fā)展變化的重要聯(lián)系，揭示了事物發(fā)展變化過程中的本質特征。因果關系是科學探索的基本內容之一，無論是自然現(xiàn)象、社會關系還是科學理論中均存在著因果關系。

因果關系的研究方法中一個運用廣泛的分析方法是格蘭杰因果關系(Granger Causality)。近年來，隨著格蘭杰因果關系應用的不斷發(fā)展，其成為生命科學領域特別是計算神經(jīng)科學應用方面的重要研究方法。

1 格蘭杰因果關系及研究現(xiàn)狀

在神經(jīng)科學領域，國內外對格蘭杰因果關系的研究主要集中在時域格蘭杰因果關系分析、頻域格蘭杰因果關系分析及非線性格蘭杰因果關系3個方面。

1．1 格蘭杰因果關系

格蘭杰因果關系起源于經(jīng)濟領域，近年來在生命科學領域特別是神經(jīng)科學領域有所發(fā)展，成為揭示時間序列之間因果影響的主要方法之一。格蘭杰因果關系的思想最初源于數(shù)學家維納(Wiener)在1956年提出的關于兩個時間信號之間的因果性，其核心思想是對一個變量的預測在加入另一個變量后更準確，則后者稱為前者的原因［1］。1969年，格蘭杰基于維納時間信號因果性的想法［2］，提出了經(jīng)濟領域中的隨機過程因果性，用于分析經(jīng)濟變量之間的格蘭杰因果關系，這就是著名的時域格蘭杰因果關系。

對于兩個時間序列X、Y，其之間的格蘭杰因果關系可具體表述為:若根據(jù)X的過去值對X的當前時刻值進行預測時產(chǎn)生的預測誤差的方差，大于根據(jù)時間序列X、Y的過去值預測X的當前值時產(chǎn)生的預測誤差的方差，則Y對X有格蘭杰因果影響［2－3］。

假設Xt、Yt為兩個平穩(wěn)的時間序列，且其均值為0，其中 t=1，2，…，N，二者的線性自回歸模型可表示如下［4］

其中，a1j、d1j表示自回歸模型的擬合系數(shù);ε1t、η1t為預測誤差;∑1、Γ1表示 ε1t、η1t的方差。二者的聯(lián)合回歸模型可描述如下

其中，a2j、b2j、c2j和 d2j表示聯(lián)合回歸模型的擬合系數(shù)，預測誤差ε2t、η2t與時間無關，其同期協(xié)方差矩陣為

其中，∑2=var(ε2t)、Γ2=var(η2t)、γ2=cov(ε2t，η2t)，此時估計Xt、Yt當前時刻值產(chǎn)生的預測誤差取決于兩者過去時刻的值。

對于式(1)和式(2)中的第一個方程，方差∑1的值代表根據(jù)Xt自身過去時刻的值對當前時刻值進行預測的準確度，方差∑2的值表示根據(jù)Xt、Yt的過去時刻值對Xt當前時刻值的預測準確度。如果在某種統(tǒng)計意義上＜∑

1，那么就稱Yt對Xt有因果影響。若=∑2，即加入Yt值后無法提高模型的預測精度，則稱Yt對Xt沒有因果影響。這種因果關系就叫做格蘭杰因果關系，Yt對Xt的格蘭杰因果關系定義如下

當 FY→X＞0 時，Yt對 Xt存在因果關系;當 FY→X=0時，Yt對Xt不存在因果關系。類似的，Xt對Yt的格蘭杰因果關系為

當 FX→Y＞0 時，Xt對 Yt存在因果關系;當 FX→Y=0時，Xt對Yt不存在因果關系。

1．2 時域格蘭杰因果關系在神經(jīng)科學的發(fā)展

因果關系分析方法在神經(jīng)科學領域的應用始于上世紀80年代，幾十年來，對具有復雜神經(jīng)網(wǎng)絡的不同大腦區(qū)域之間因果關系的研究已經(jīng)取得了一定的成果。Freiwald等［5］(1999)通過格蘭杰因果關系揭示獼猴顳下皮層神經(jīng)組織之間存在單向和雙向的因果影響。Hesse等［6］(2003)研究了格蘭杰因果關系的自適應估計，并根據(jù)時變格蘭杰因果性分析了來自斯特魯(stroop)任務的腦電圖(EEG)數(shù)據(jù)，分析發(fā)現(xiàn)沖突情形會產(chǎn)生從后皮質位置向前皮質位置相互作用的密網(wǎng)，這一帶有方向性的相互作用網(wǎng)主要在刺激后400 ms開始，并持續(xù)到任務結束。Roebroeck等［7］(2005)基于格蘭杰因果關系映射的方法，利用功能磁共振成像(fMRI)數(shù)據(jù)來探索神經(jīng)元群之間有效連接的直接影響，通過視覺運動任務仿真實驗，發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元群體之間存在定向因果影響關系。Oya等［8］(2007)使用格蘭杰因果關系分析聽覺事件相關電位(ERP)的相互作用，采用神經(jīng)外科病人大腦皮層的兩個生理上和功能上互相相連的聽覺區(qū)域的直接記錄，通過聲音刺激的顱內誘發(fā)電位來展示人類聽覺皮質區(qū)區(qū)域之間的因果互動關系。Gow等［9］(2008)將格蘭杰分析應用到有約束的核磁共振成像腦磁圖和腦電圖數(shù)據(jù)中，以探索詞匯表達對模糊語音感知的影響，通過對文字、非文字和發(fā)音含糊不清的條目的反應，揭示出從后上顳回到整個腹側通路處都表現(xiàn)出一致的直接影響。

1．3 頻域格蘭杰因果關系在神經(jīng)科學的發(fā)展

事實上，時域格蘭杰因果關系的頻域分解可以在震蕩的神經(jīng)活動中檢測因果影響。對于神經(jīng)數(shù)據(jù)，不同頻率段經(jīng)常表現(xiàn)出不同的特征，上述時域的格蘭杰因果關系方法被推廣到頻域上，發(fā)展出頻域格蘭杰因果關系或幾種形式的類似于頻率格蘭杰的因果關系方法［10－12］。

Geweke［13－14］(1982)對多元自回歸過程進行分解得到格蘭杰因果關系的頻域表示，即頻域格蘭杰因果關系，使格蘭杰因果關系的定義更加直觀。Bernasconi和Konig［15］(1999)運用Geweke的譜分析方法來檢測貓視覺皮層不同區(qū)域之間的因果互動。Brovelli等［16］(2004)通過對按壓杠桿的清醒著的猴子運用譜格蘭杰因果關系方法，來確定β頻率段為15～30 Hz時，從初級軀體感覺皮層到運動皮層的因果影響。Saito和Harashima［17］(1981)介紹定向相干性(DC)方法，研究兩個變量的自回歸模型中成對數(shù)據(jù)通道之間的相關性，并隨后將其應用于臨床問題。Wang和 Takigawa［18］(1992)根據(jù)DC方法研究大腦兩個半球之間的相互關系。Kaminski和 Blinowska［19］(1991)基于頻域傳遞函數(shù)矩陣，提出定向傳遞函數(shù)(DTF)法，用于進行多元數(shù)據(jù)集中任意給定的成對通道間的因果影響方向性分析。Baccal和 Sameshima［20］(2001)在頻域介紹偏定向相關性(PDC)分析方法，討論PDC的應用，并與其他根據(jù)神經(jīng)生理學信號確定大腦結構關系的方法進行比較。Sato等［21］(2009)將 PDC用于功能性磁共振成像，基于不同的頻域特征來區(qū)分生理和非生理元素。Yamashita等［22］(2005)運用相對功率貢獻(RPC)來評估血氧信號在不同分段頻率下的定向連接。Kaminski和 Liang［23］(2005)在 θ波帶頻率介于 3．7 ～5．6 Hz之間時，采用短時DTF來顯示海馬對前腦的主要影響關系。Korzeniewska等［24］(2008)采用短時 DTF，揭示在高頻下參與錄制語言任務的不同大腦區(qū)域的頻率依賴相互作用。

1．4 非線性格蘭杰因果關系的發(fā)展

格蘭杰因果關系用于分析線性時間序列，弱非線性信號也可通過近似成線性信號進行討論。研究表明，健康人的腦電信號表現(xiàn)出弱非線性的特征，但是在大腦受損等情況下，腦電信號則為非線性序列。因此，如何正確揭示非線性信號之間的因果性對研究大腦的信息流向極為重要［25］。

Marinazzo等［26］(2006)提出基于徑向基函數(shù)的非線性格蘭杰因果關系，并通過兩個實例說明該方法的有效性。Marinazzo等［27］(2008)還通過運用幾何中希爾伯特空間重構理論，提出處理過濾因果關系的策略，建立處理非線性因果關系的內核方法。Sugihara等［28］(2012)基于沒有噪聲項的非線性動態(tài)回歸模型，提出交叉收斂映射(CCM)方法作為格蘭杰因果關系分析方法的補充。

2 格蘭杰因果關系的局限

雖格蘭杰因果關系在眾多領域都有廣泛的應用，但該分析方法依然在許多方面受到研究人員的詬病，爭論的焦點就在于格蘭杰因果關系是否能揭示真實的因果關系，且格蘭杰本人也表示格蘭杰因果關系不一定能代表真正的因果關系。格蘭杰因果關系及其他基于格蘭杰因果關系的分析方法，在理論上存在如下局限性［29－31］:

在時間域上，對兩個時間序列而言，經(jīng)典格蘭杰因果關系與線性回歸模型的隨機噪聲項有關，而與兩時間序列的線性回歸模型的部分系數(shù)無關。這樣此定義會丟失線性回歸模型中的一部分重要信息，導致不能準確反映一個時間序列對另外一個時間序列的真實因果關系強度，也就是說，格蘭杰因果關系值的大小不一定代表著真實因果關系的強弱，甚至當格蘭杰因果關系值為零時也并不代表沒有真正的因果關系。換句話說，無論腦電數(shù)據(jù)是否來自同一個被試者，不同組對通道數(shù)據(jù)的格蘭杰因果關系值不具有可比較性。

在頻率域上，頻域格蘭杰因果關系的定義是基于線性回歸模型中的傳遞函數(shù)矩陣和隨機噪聲項。在研究過程中已經(jīng)意識到，頻域格蘭杰因果關系不能揭示兩個時間序列之間的真正因果關系。因此，在頻域中各種類似格蘭杰因果關系的定義被提出，其中最常用的定義有:偏定向相干性、相對功率貢獻和定向傳遞函數(shù)。頻域格蘭杰因果關系只能運用于兩個時間序列，偏定向相干性、相對功率貢獻和定向傳遞函數(shù)方法可以應用于高維時間序列，但是相對功率貢獻和定向傳遞函數(shù)不能辨別不同結構之間的直接或間接通路，偏定向相干性又缺少理論基礎。以上頻域格蘭杰因果關系分析方法或類似頻域格蘭杰因果關系方法都是基于線性回歸模型的傳遞函數(shù)矩陣或者它的逆矩陣，而傳遞函數(shù)矩陣與線性回歸模型的系數(shù)矩陣是完全不同的，不能真實反映出某些時間序列的因果關系強度。

3 格蘭杰因果關系在神經(jīng)科學的應用

腦電信號相互作用的方向揭示了神經(jīng)系統(tǒng)中信息流的路徑，近年來，如何確定神經(jīng)系統(tǒng)中腦電信號之間相互作用的方向已經(jīng)成為神經(jīng)科學領域研究的熱點。格蘭杰因果關系特別是頻域格蘭杰因果關系作為揭示時間序列之間因果影響的主要方法之一，在生命科學領域特別是神經(jīng)科學領域得到了廣泛應用。但格蘭杰因果關系在以下兩個方面的研究還很有限，還存在很大的應用空間。

一方面，在認知和神經(jīng)科學領域，多通道腦電信號數(shù)據(jù)的記錄和功能成像在研究認知和疾病診斷的網(wǎng)絡機制中越來越重要，研究人員不僅研究特定大腦區(qū)域的功能，還關注不同大腦區(qū)域塊之間的因果影響，根據(jù)多個腦區(qū)或整個大腦的信息從腦功能整合的角度探究人的大腦活動及工作機理。比如，可能會對不同的大腦區(qū)域塊中的因果關系信息流方向感興趣。即使兩個單變量信號之間不存在因果影響，但其所在的信號塊之間也可能會存在相互影響。經(jīng)典因果關系只適用于成對單變量之間因果關系分析，或者條件于第3個變量的因果關系分析，雖然通過對成對因果分析進行疊加來實現(xiàn)多變量之間的因果關系分析是可能的，但其計算結果并不穩(wěn)定。更加有效、理論上也更加可行的方法是，把不同大腦區(qū)域的時間序列記錄結合為塊，然后分析不同時間序列塊之間的因果影響。通過對經(jīng)典因果關系進行拓展和改進，研究塊對塊因果關系分析方法，不僅可定性的討論不同的腦區(qū)間是否存在因果影響及作用方向，還可定量給出相互影響程度，更為真實的揭示大腦內部的信息處理機制。

另一方面，格蘭杰因果關系基于線性回歸模型，適用于線性信號之間因果關系分析和弱非線性信號之間因果關系的研究。研究表明，健康人的腦電信號表現(xiàn)出弱非線性的特征，但在大腦受損等情況下，腦電信號則為非線性序列。為了將塊對塊因果關系分析的理論方法應用于實際問題中，揭示在病理情況下不同大腦區(qū)域塊之間的信息流向，更好地為人類服務，對非線性模型進行研究有更大的現(xiàn)實意義。目前的研究中對非線性模型的研究很有限，針對非線性模型的因果關系的研究工作有待進一步完善。

4 結束語

格蘭杰因果關系特別是頻域格蘭杰因果關系在神經(jīng)科學領域已得到了廣泛應用，證明了因果關系分析方法在神經(jīng)科學領域的應用價值，但格蘭杰因果關系先天的缺陷和局限性限制了其進一步的應用。所以，對經(jīng)典因果關系不斷改進，提出新的揭示因果關系的方法，并應用于神經(jīng)科學研究領域中具有重要的理論和實際意義。

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