【摘要】初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)實際問題常以行程問題呈現(xiàn),直觀展示甲、乙兩對象的行程、速度、時間的一次函數(shù)關(guān)系,速度為常數(shù)而常見于各類行程問題。PISA下以學(xué)生反饋為例,綜合分析學(xué)生思維過程,引導(dǎo)學(xué)生理解,并學(xué)會繪制函數(shù)圖象,培養(yǎng)表征基本能力。
【關(guān)鍵詞】PISA? 一次函數(shù)? 行程問題? 圖象? 表征
“基于PISA測評三角的初中數(shù)學(xué)測評模式研究”以課堂學(xué)習(xí)為基礎(chǔ),研究初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及其測評。表征,是PISA測評中數(shù)學(xué)七種基本能力之一,旨在解決問題的過程中,使用數(shù)學(xué)工具解釋、翻譯、描述數(shù)學(xué)問題和情境。
人教版數(shù)學(xué)八年級下冊P108頁有這樣一道復(fù)習(xí)題:A、B兩地相距25km。甲8:00由A地出發(fā)騎自行車去B地,平均速度為10km/h;乙9:30由A地出發(fā)乘汽車也去B地,平均速度為40km/h。①分別寫出兩個人的行程關(guān)于時刻的函數(shù)解析式;②乙能否在途中超過甲?如果能超過,何時超過?從反饋來看,學(xué)生不知如何畫函數(shù)圖象,其表征能力欠缺。復(fù)習(xí)課中要引導(dǎo)思考,提升表征能力。
一、確定計時起點,直觀表征題干信息
(一)以8:00為計時起點,求函數(shù)解析式
第(1)問,設(shè)甲、乙的行程分別為y1km、y2km,時間為xh。此題的一個難點之一就是學(xué)生不易確定計時起點,當(dāng)教師啟發(fā)學(xué)生確定8:00為計時起點0 h,那么9:30即為1.5 h,學(xué)生易得出:y1=10x(x≥0),y2=40(x-1.5)(x≥1.5),即:y1=10x(x≥0),y2=40x-60(x≥1.5),其圖象如圖1所示。
甲、乙的速度分別為v1=10km/h、v2=40km/h,即行程y1、y2是關(guān)于時間x的一次函數(shù),考慮到圖象繪制的便捷性,盡量使其中一條直線過原點,此時的一次函數(shù)即為正比例函數(shù),這樣就需要考慮“哪個函數(shù)圖象上的點(x,y),即點(時間,行程)的坐標(biāo)為(0,0)”,學(xué)生自然理解其含義為:當(dāng)時間x=0時,行程y=0,即計時開始時,甲(或乙)正準(zhǔn)備出發(fā)1。
(二)以0:00為計時起點,求函數(shù)解析式
雖然以8:00為計時起點比較科學(xué),但是仍有部分學(xué)生習(xí)慣以0:00為計時起點,于是引導(dǎo)學(xué)生思考討論得出:y1=10(x-8)(x≥8),y2=40(x-9.5)(x≥9.5),即:y1=10x-80(x≥8),y2=40x-380(x≥9.5)。
由于以0:00為計時起點,甲、乙均沒有“正準(zhǔn)備出發(fā)”,到了8 h時,甲才“正準(zhǔn)備出發(fā)”,所以甲的圖象過(8,0),并且在第一象限內(nèi)行程y1隨時間x的增大而增大,所以定義域為[8,+∞);到了9.5 h時,乙才“正準(zhǔn)備出發(fā)”,所以乙的圖象過(9.5,0),并且在第一象限內(nèi)行程y2隨時間x的增大而增大,所以定義域為[9.5,+∞)。這里有個繪圖小技巧:由于平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)橫軸和縱軸表示的含義不一樣時,單位一般是不一樣的,于是橫軸的單位1與縱軸的單位1可以不等長,于是可以在橫軸上運用“壓縮軸”符號表示,若縱軸需要,亦然。
(三)以9:30為計時起點,求函數(shù)解析式
經(jīng)過啟發(fā),學(xué)生提問:可否以乙的出發(fā)時間為起點呢?于是學(xué)生以9:30為計時起點,求甲、乙行程與時間的一次函數(shù)解析式,得:y1=10×1.5+10x(x≥0),y2=40x(x≥0),即:y1=10x+15(x≥0),y2=40x(x≥0)。
由于實際問題中的行程y和時間x均為非負(fù)數(shù),所以該函數(shù)圖象可以只用第一象限部分來表示。以9:30為計時起點時,乙的行程y=0,即乙的圖象是過(0,0)的一次函數(shù);而甲從8:00到9:30實際上已經(jīng)行駛了1.5小時,此時甲在乙的前方距離乙10×1.5=15(km)處,所以甲的圖象的截距b=15,二者均是增函數(shù),于是得出圖3。
二、由特殊到一般化,抽象表征題干信息
三輪啟發(fā)后,學(xué)生思維異?;钴S,開始思考以任意時間m為計時起點的情況。
(一)從計時起點分類來分析
通過學(xué)生的獨立思考、合作交流,將問題一般化,分類討論得出:
①當(dāng)0≤m≤8時,y1=10[x-(8-m)](x≥8-m),y2=40[x-(9.5-m)](x≥9.5-m),即:y1=10x+10m-80(x≥8-m),y2=40x+40m-380(x≥9.5-m)。
②當(dāng)8 ③當(dāng)m≥9.5時,y1=10×(m-8)+10x(x≥0),y2=40×(m-9.5)+40x(x≥0),即y1=10x+10m-80(x≥0),y2=40x+40m-380(x≥0)。 綜上,y1=10x+10m-80,y2=40x+40m-380(取第一象限部分的圖象)。 (二)從函數(shù)圖象平移來分析 實際上,學(xué)生在進(jìn)一步學(xué)習(xí)“左加右減”的坐標(biāo)平移法則后,不難得到圖1中的函數(shù)圖象向右平移p個單位后的函數(shù)圖象:y1=10(x-p),y2=40(x-p)-60。 ①當(dāng)p=0時,表示圖象未平移,即計時起點為8:00。 ②當(dāng)p>0時,表示圖象向右平移p個單位,即計時起點為8:00以前p小時。 ③當(dāng)p<0時,表示圖象向左平移p個單位,即計時起點為8:00以后p小時。 上述三種情況,兩條直線相交于點(p+2,20),即當(dāng)時間為(p+2)h時,乙趕上并開始超過甲,此時行程為20km,第(2)問得解。 三、“四步法”繪制行程問題的函數(shù)圖象 “四步法”的第一步是繪制橫軸、縱軸時,需明確橫縱軸表示的含義、用哪個字母表示,單位是什么;第二步,標(biāo)出橫縱軸的“特殊刻度”,比如橫軸上,以8:00為起點0,那么9:30記為1.5,甲、乙相遇時刻10:00記為2;第三步,確定函數(shù)圖象的“特殊點”:起點、終點、最低點、最高點、轉(zhuǎn)折點、交點等,特別是交點坐標(biāo)的求解;第四步,描點、連線即可。 綜上,由于橫縱軸表示的含義不一樣,自然就可以靈活調(diào)整橫縱軸“單位1”的長度,也可根據(jù)需要表征出壓縮軸。數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)對學(xué)生解碼文本,理解題干的含義,用直觀的符號、圖形語言轉(zhuǎn)換并表達(dá)出數(shù)學(xué)問題情境,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)起著關(guān)鍵作用。 基金項目:貴州省基礎(chǔ)教育科研重點課題(2016A005)基于PISA測評三角的初中數(shù)學(xué)測評模式研究。 作者簡介:高小軍,遵義師范學(xué)院附屬實驗學(xué)校高級教師,西南大學(xué)國培計劃項目培訓(xùn)教師,貴州省教育智庫專家成員、省名師工作室成員,遵義市教學(xué)名師、骨干教師,主要從事初中教育管理及研究。