范曉冬 紀(jì)思南
摘? ?要:目前本科數(shù)學(xué)專業(yè)的解析幾何課程教學(xué)內(nèi)容基本上沿用我國二十世紀(jì)七八十年代出版的教材內(nèi)容。近年來,在教學(xué)實踐中,教學(xué)內(nèi)容陳舊已經(jīng)成為影響教學(xué)質(zhì)量的嚴(yán)重問題。以往的教學(xué)內(nèi)容,只注重解析幾何課程本身,而忽略了其與其他課程的融合性和貫通性。總結(jié)近幾年的解析幾何教學(xué)經(jīng)驗,文章對教學(xué)內(nèi)容做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,刪減了與其他課程的重復(fù)內(nèi)容,增加了與其他課程融合的知識點,并在教學(xué)方法和教學(xué)手段方面做了相應(yīng)的改革,取得了良好的教學(xué)效果。
關(guān)鍵詞:解析幾何;教學(xué)內(nèi)容;獨立性;融合性
解析幾何、數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)一起構(gòu)成大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程。該課程的思想方法在研究數(shù)學(xué)及其他自然科學(xué)時具有方法論的作用。學(xué)習(xí)解析幾何是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、高等幾何、微分幾何及拓?fù)鋵W(xué)等課程的基礎(chǔ),也是對中學(xué)幾何知識的深入與提升,其重要性不言而喻。然而,解析幾何課程教學(xué)內(nèi)容較為陳舊,多數(shù)教材只是知識點的羅列,只注重課程內(nèi)部的獨立性,而忽略了知識點的歷史背景以及與其他課程的融合性,與前瞻和后續(xù)課程在內(nèi)容上銜接不夠緊密。且其對高等幾何和微分幾何課程的支撐作用發(fā)揮得不夠順暢。因此,在教學(xué)上不可避免地只集中具體的知識點講解,并未兼顧與其他課程在思想和方法上的聯(lián)系,不利于學(xué)生對知識的融會貫通。基于此,教學(xué)方法僅限于機(jī)械地“填鴨”,致使學(xué)生感覺學(xué)習(xí)比較枯燥,從而喪失學(xué)習(xí)興趣,導(dǎo)致教學(xué)效果下降。此外,目前多數(shù)高校在研究生初試考試中僅考察數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)兩門課程,而解析幾何在復(fù)試中進(jìn)行,這也在一定程度上反映了上述問題的嚴(yán)重性。因此,研究團(tuán)隊主張在教學(xué)內(nèi)容上加入知識點的人文背景,講授定義、定理的來龍去脈。同時去除一些主要定理的推論和變形,以精煉教學(xué)內(nèi)容。其主要的指導(dǎo)思想是不追求知識的寬度,而是加強(qiáng)重要知識點精講。
1? ? 教學(xué)內(nèi)容的融合性
1.1? 知識點的融合性
高等代數(shù)的方法為學(xué)習(xí)解析幾何提供了強(qiáng)有力的工具,因此,確定解析幾何的獨立性,需要從幾何體系的整體性、連續(xù)性以及從服務(wù)于基礎(chǔ)教學(xué)的實際出發(fā),將高等代數(shù)與解析幾何同時進(jìn)行探究處理。通過用近現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)語言,而不是以傳統(tǒng)的幾何學(xué)來審視現(xiàn)代的幾何學(xué),從而為處理幾何內(nèi)容提供有力的工具。在探究解析幾何時,需側(cè)重解析幾何與經(jīng)典幾何、線性代數(shù)的有機(jī)結(jié)合和相互滲透[1]。通過對傳統(tǒng)內(nèi)容的精煉、融合和體會,增強(qiáng)同線性代數(shù)實質(zhì)內(nèi)容和形式的密切聯(lián)系。因此,在講授解析幾何時,在應(yīng)用代數(shù)工具的同時,要注重幾何為代數(shù)提供的直觀詮釋。
1.2? 教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的融合性
在學(xué)習(xí)中需要不斷更新知識,既要掌握現(xiàn)有知識,又要掌握其發(fā)展規(guī)律,在此形勢下,體現(xiàn)出了教學(xué)改革的緊迫性。以改革教學(xué)的內(nèi)容和方法為起始點,進(jìn)而逐步進(jìn)行全面的教學(xué)改革。改革最為重要的部分是教學(xué)內(nèi)容,因為其是教學(xué)活動的基礎(chǔ),教學(xué)活動的目的就是將教學(xué)內(nèi)容傳授給學(xué)生。如何將知識點精煉,使講解深入淺出是教學(xué)方法改革核心。力爭做到教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法互相滲透、相得益彰,解析幾何課程改革是一項系統(tǒng)的任務(wù)。
1.3? 基本思想和方法的融合性
解析幾何的基本思想決定了其基本研究方法。在教學(xué)中,應(yīng)注重基本思想和方法的相互促進(jìn)作用。例如,由解析幾何直觀問題到代數(shù)化,從而轉(zhuǎn)到代數(shù)形式,通過代數(shù)計算,得到代數(shù)結(jié)果,再由代數(shù)方程到解析幾何直觀圖形的研究方法等[2]。若要合理地統(tǒng)籌解析幾何各章節(jié)的內(nèi)容,就要領(lǐng)會這些思想和方法,抓住改革的關(guān)鍵。
2? ? 在幾何學(xué)科背景下推進(jìn)教學(xué)內(nèi)容改革
2.1? 結(jié)合后續(xù)幾何課程確定教學(xué)內(nèi)容
在教學(xué)實踐中,不再像以前那樣獨立地看待解析幾何這門課程。解析幾何歷來強(qiáng)調(diào)兩個功能:作為初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁及代數(shù)與幾何綜合性的橋梁學(xué)科?;诖耍m各有差異,但本質(zhì)不變。首先,從中學(xué)階段的幾何教學(xué)內(nèi)容出發(fā),保證解析幾何課程的內(nèi)容和中學(xué)幾何教學(xué)內(nèi)容的連貫性。其次,從高等數(shù)學(xué)教育出發(fā),教學(xué)內(nèi)容應(yīng)能夠培養(yǎng)高校學(xué)生系統(tǒng)的空間幾何概念、提高學(xué)生的空間想象能力、促進(jìn)學(xué)生掌握系統(tǒng)的幾何理論,以此才能夠提高學(xué)生的幾何修養(yǎng)。研究團(tuán)隊認(rèn)真研究了解析幾何、高等幾何、微分幾何等幾何課程的教學(xué)內(nèi)容,將其整合、呼應(yīng)和優(yōu)化,從而比較系統(tǒng)地界定了解析幾何課程的內(nèi)容[3]。同時增加幾何概論課程相關(guān)內(nèi)容,促進(jìn)學(xué)生對現(xiàn)代幾何學(xué)概貌性了解。教學(xué)內(nèi)容的指定務(wù)必注重學(xué)生實際情況的分析,從實際情況出發(fā),制定貼合實際的教學(xué)內(nèi)容,保證教學(xué)內(nèi)容引起學(xué)生興趣。例如,討論歐氏幾何與仿射幾何、射影幾何的區(qū)別、聯(lián)系和傳承等內(nèi)容。
2.2? 對研究方法相同的內(nèi)容優(yōu)化整合
教學(xué)的目的在于傳授解決問題的方法。對研究方法相同的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行大幅度的刪減,選取具有代表性的且能體現(xiàn)基本方法的經(jīng)典知識點予以保留,并增加該知識點的人文背景,以加深學(xué)生對其的理解,例如,在二次曲面的教學(xué)中,對柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等知識點進(jìn)行內(nèi)容精煉。旋轉(zhuǎn)曲面與柱面錐面產(chǎn)生曲面的方法相同,從而研究方法也近似。教學(xué)內(nèi)容整合,有利于集中教學(xué)精力重點傳授思想和方法,提高教學(xué)效率[4]。
2.3? 系統(tǒng)精煉知識點
教師在備課過程中不能拘泥于教材,更不能全部照搬教材的說法,因為有些平面解析幾何的內(nèi)容可以挖掘更深,部分解法還可以更簡易。例如二次曲線理論中的中心、切線、漸近線等知識都在處理以上說法。不僅要刪減重復(fù)的內(nèi)容,而且要合理設(shè)計,盡量采用高等幾何的觀點。實際教學(xué)中著重研究了內(nèi)容的整合,淡化了復(fù)雜的討論過程,尋求更簡潔的思路來處理教材。
2.4? 關(guān)聯(lián)矢量知識點
解析幾何的精髓是用代數(shù)方法把幾何問題定量化,也就是從形到數(shù)的一個統(tǒng)一,這其中要使用的重要工具就是矢量,因此矢量代數(shù)的引入和坐標(biāo)的建立必不可少,所以在處理教材時應(yīng)把矢量和坐標(biāo)作為全書的工具和基礎(chǔ),要求精講、細(xì)講和重點講[5]。
3? ? 貫徹系統(tǒng)性思想進(jìn)行教學(xué)方法改革
3.1? 啟發(fā)思維教學(xué)法
啟發(fā)式教學(xué)法是在授課時給學(xué)生一定的想象空間,讓其帶著問題思考,挑戰(zhàn)其思維底線。這種方法在分析和解決問題的同時,能夠提升學(xué)生的創(chuàng)造力。教學(xué)內(nèi)容上可以選取研究方法相同或數(shù)學(xué)思想相同的內(nèi)容,先全面細(xì)致地講解主要知識點,然后采用啟發(fā)法,將剩余內(nèi)容交給學(xué)生在適當(dāng)時間探討,讓學(xué)生自主完成知識建構(gòu)[6]。
3.2? 自我創(chuàng)新教學(xué)法
引導(dǎo)學(xué)生采用創(chuàng)新式方法去學(xué)習(xí)各種知識,以學(xué)生為主體,鼓勵其主動探究知識,形成自我認(rèn)知體系,并能夠在深入理解的基礎(chǔ)上形成自己的認(rèn)識和創(chuàng)新結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過程中,教師要注重基本方法和數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵的滲透,引導(dǎo)學(xué)生自我創(chuàng)新學(xué)習(xí)[7]。
3.3? 圍繞問題趣味性教學(xué)法
教學(xué)過程中緊緊圍繞學(xué)生興趣點展開,提出諸多有探索性、動手操作性強(qiáng)、能夠激發(fā)學(xué)習(xí)熱情的幾何問題,使學(xué)生通過自我認(rèn)知來感受數(shù)學(xué)的美。在課堂實踐中,鼓勵學(xué)生多做、多想,將理論與圖形擬合在一起,培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的獨立自主能力[8]。在自主探究問題時,教師適當(dāng)插入相關(guān)的數(shù)學(xué)典故和歷史,并恰當(dāng)講授相關(guān)知識點的應(yīng)用,讓學(xué)生了解所授知識的“來龍去脈”,緩解學(xué)生壓力,開闊其眼界,激發(fā)學(xué)生的求知欲、探索精神和學(xué)習(xí)幾何的興趣,使學(xué)生自主地提出問題、探究問題并解決問題,以使學(xué)生對知識的認(rèn)識不斷升華。
3.4? 探究與理解相結(jié)合教學(xué)法
對于教師的授課內(nèi)容,學(xué)生習(xí)慣于理解和接受的學(xué)習(xí)方式,即在新知識與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間建立起一種非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系。而探究式是從數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)課題出發(fā),激發(fā)學(xué)生主動去思考問題的解決方案,不一定要求結(jié)果正確,主要目的是要突出學(xué)習(xí)過程[9]。布魯納說過,知識學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)的是過程而非結(jié)果。故此,探究式學(xué)習(xí)法必須以基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握為前提,將接受式學(xué)習(xí)和探究式學(xué)習(xí)結(jié)合,二者應(yīng)該優(yōu)勢互補(bǔ),不可偏廢。開展研究性教學(xué),為學(xué)生創(chuàng)造探究的環(huán)境,培養(yǎng)和增強(qiáng)創(chuàng)新意識、提高整理信息和處理信息的能力,探索數(shù)學(xué)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律等。
4? ? 滲透數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)手段改革
數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教學(xué)有著積極的作用,將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)過程是本研究團(tuán)隊近年來研究的一個重要課題。數(shù)學(xué)史融入大學(xué)數(shù)學(xué)教育已有許多研究,但融入解析幾何的案例并不多,如何將之融入教學(xué)過程、如何具體實施,仍有很大的探討空間。教研組在授課中嘗試將數(shù)學(xué)家的名人趣事和數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)匹配交代給學(xué)生。比如講畢達(dá)哥拉斯時與勾股定理進(jìn)行聯(lián)系、講笛卡爾時密切關(guān)聯(lián)解析幾何的誕生、海倫對三角形面積公式的完善、伯努利兄弟如何提出最速下降線的故事等。充分應(yīng)用Maple,Matlab等數(shù)學(xué)與計算軟件建立幾何直觀圖形。圖形教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必不可少的,尤其在空間解析幾何的教學(xué)中,建立空間概念,研究各種空間曲面,建立各種方程都缺少不了圖形。為了引導(dǎo)學(xué)生自己編寫簡單的程序,來實現(xiàn)解析幾何問題的自動運算,在相關(guān)教學(xué)內(nèi)容后,安排數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容,以Maple軟件為基礎(chǔ)平臺,來完成幾何圖形的制作和演示[10]。自己繪制出幾何圖形,會激發(fā)學(xué)生的求知欲,既鍛煉了學(xué)生的實踐能力,又在一定程度上提高了教學(xué)效果。相比傳統(tǒng)的只用筆和紙來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的單調(diào)模式,動手實踐學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的模式更生動有趣。
5? ? 改革成效
充分考慮解析幾何教學(xué)內(nèi)容的相對獨立性以及與其他課程的連貫性、融合性,是研究團(tuán)隊在總結(jié)歷年教學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上得到的一致共識。近年來,解析幾何教學(xué)內(nèi)容陳舊已經(jīng)成為一個突出的問題。課程內(nèi)容改革以后,注重與其他課程的銜接與融合,剔除重復(fù)內(nèi)容,加強(qiáng)特色內(nèi)容的講解,突出了解析幾何課程的重點,又避免了多門課程重復(fù)同一個概念,在實質(zhì)上提高了教學(xué)效率。同時,在教學(xué)內(nèi)容上增加了與其他課程銜接的內(nèi)容,便于學(xué)生融會貫通,加深對知識點的理解。另外,對學(xué)生滲透數(shù)學(xué)史知識可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣,也促進(jìn)了學(xué)生對知識點的掌握。在課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)實驗,增加教學(xué)內(nèi)容直觀性的同時還可以調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性。課堂上互動的增加可以提升作業(yè)完成的質(zhì)量。數(shù)學(xué)軟件的操作可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、動手能力和團(tuán)隊合作精神。這些體現(xiàn)在課堂氣氛要比改革前活躍,同時考試成績平均分也提高了5個百分點。
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