江蘇省海門中學(xué) (226100) 樊陳衛(wèi)

數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在他的名篇《怎樣解題》一書開篇中提到，數(shù)學(xué)教師最重要的任務(wù)——幫助學(xué)生.“學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn).但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高.而如果教師的幫助太多，就沒有什么工作留給學(xué)生了.教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生，但不能太多，也不能太少，這樣才能使學(xué)生有一個(gè)合理的工作量.”這個(gè)“合理的工作量”在建構(gòu)主義教學(xué)理論中便是學(xué)生知識(shí)體系的自主建構(gòu)，在新課程教學(xué)理念中便表現(xiàn)為“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”，用一線教師的通俗說法就是讓學(xué)生動(dòng)起來，讓課堂氣氛活起來.這就需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生狀況有充分的了解，對(duì)數(shù)學(xué)探索方法充分掌握，然后對(duì)教學(xué)內(nèi)容根據(jù)以上兩個(gè)“充分”進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生獲得合理的工作量，讓課堂活起來的意圖.現(xiàn)以“兩角和與差的余弦公式”這一節(jié)的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)為例，與讀者一道分享設(shè)計(jì)思路演進(jìn)過程.

一、初始設(shè)計(jì)

總體設(shè)計(jì)思路為情境創(chuàng)設(shè)與提出問題——猜想與否定——公式探究與推導(dǎo)——公式應(yīng)用——回顧小結(jié).具體過程：

(1)設(shè)置如下問題情境：某圓錐形機(jī)械元件，底面半徑為5，母線與地面所成的角為15°，求該圓錐的母線長(zhǎng).從這個(gè)實(shí)際問題中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題“cos15°如何求”.

(2)猜想：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°，驗(yàn)證是否成立.

(3)公式探究

兩角差 讓學(xué)生完成如下填空：

圖1

兩角和 你能根據(jù)兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式嗎？比較歸納兩個(gè)公式的異同特征.

(4)公式應(yīng)用

正用：不用計(jì)算器求cos75°和cos105°.

逆用：cos55°cos35°-sin55°sin35°=;

cos87°cos27°+sin87°sin27°=;

cos53°cos8°+sin53°sin8°=;

cos18°cos27°-sin18°sin27°=;

cos(27°+α)cos(33°-α)-sin(27°+α)sin(33°-α)=.

(5)歸納

二、評(píng)價(jià)與反思

對(duì)于初始的教學(xué)設(shè)計(jì)，從教學(xué)過程中學(xué)生的思維活動(dòng)深度與廣度這個(gè)角度出發(fā)，分析各個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生的工作量，第一個(gè)環(huán)節(jié)中需要學(xué)生建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，但這個(gè)模型比較簡(jiǎn)單，思維工作量屬于初等；第二個(gè)環(huán)節(jié)有學(xué)生通過計(jì)算器計(jì)算驗(yàn)證等式是否成立，如果沒有計(jì)算器，需要從數(shù)值的正負(fù)角度判斷等式是否成立，存在少量思維量；在第三個(gè)環(huán)節(jié)公式探究中，學(xué)生只需沿著已經(jīng)安排好的思維路徑完成系列計(jì)算，就能得到兩角差的余弦公式，學(xué)生的思維活動(dòng)量就是完成基本的代數(shù)運(yùn)算，仍屬于初等階段；第四環(huán)節(jié)應(yīng)用階段，存在公式的正用、逆用、綜合性正用等，思維量屬于中等。通過以上分析，可以看出作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)新授課，應(yīng)用環(huán)節(jié)學(xué)生思維的工作量屬正常，但在整個(gè)知識(shí)點(diǎn)的生成環(huán)節(jié)學(xué)生缺少明顯的思維工作量.這樣的教案設(shè)計(jì)屬于常規(guī)設(shè)計(jì)，在日常教學(xué)中非常普遍，體現(xiàn)了教學(xué)的實(shí)際工作主要以應(yīng)試為目標(biāo)，但從新課程教學(xué)理念，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)角度看，顯然不太到位.如何讓學(xué)生獲得更多的工作量，基于從波利亞的教學(xué)思想(《怎樣解題》)，對(duì)初次教學(xué)設(shè)計(jì)中缺乏學(xué)生思維活動(dòng)的環(huán)節(jié)進(jìn)行再次設(shè)計(jì).

三、再次設(shè)計(jì)

(1)情境引入

由于原設(shè)計(jì)中的情境問題實(shí)質(zhì)僅僅由一個(gè)立體幾何問題產(chǎn)生一個(gè)“cos15°如何求”的問題，對(duì)本課題產(chǎn)生引導(dǎo)、啟迪作用不太明顯，也缺乏一定的新意.所以直接選擇開門見山的方式：判斷下列各式是否成立？

①cos(0°-60°)=cos0°-cos60°；

②cos(60°-30°)=cos60°-cos30°；

③cos(60°-45°)=cos60°-cos45°.

三個(gè)等式成立與否的判斷中，等式③中cos15°不容易求得，如何判斷？學(xué)生需要一定的分析，從應(yīng)用計(jì)算器和三角函數(shù)值符號(hào)兩個(gè)角度入手進(jìn)行判斷.判斷結(jié)果中三個(gè)等式成立、不成立兩種情形都存在，在此基礎(chǔ)上判斷命題：如果α,β為兩個(gè)任意角，則cos(α-β)=cosα-cosβ是否成立.再順勢(shì)提出問題：如何根據(jù)60°,45°兩個(gè)角的三角函數(shù)值求cos15°，引出課題“兩角和與差的余弦公式”.

(2)公式猜想與探究

原設(shè)計(jì)中，學(xué)生沒有獲得一定的思維工作量，如果直接讓學(xué)生去推導(dǎo)公式，學(xué)生很難有這個(gè)能力完成，教師提供恰當(dāng)?shù)膸椭?，探究中引?dǎo)學(xué)生先猜再驗(yàn)證.怎樣讓學(xué)生猜出來？設(shè)計(jì)活動(dòng)如下：

觀察表中的數(shù)據(jù)，你能利用表中前4個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算出最后一個(gè)數(shù)據(jù)嗎？

cos90°cos60°sin90°sin60°cos(90°-60°)01213232cos120°cos60°sin120°sin60°cos(120°-60°)-1212323212

玩過類似游戲嗎？24點(diǎn)游戲怎么算的？根據(jù)學(xué)生的進(jìn)展?fàn)顩r，教師在合適的時(shí)機(jī)可以給部分學(xué)生如下提示：

思考：能否對(duì)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ進(jìn)行檢驗(yàn)？

意圖：對(duì)猜想出來的公式進(jìn)一步進(jìn)行檢驗(yàn)，讓學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)得以強(qiáng)化，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

(3)公式推導(dǎo)

任務(wù)1:課前提供向量數(shù)量積相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)任務(wù).

意圖：一方面考慮部分學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，公式證明過程中所需的向量數(shù)量積有關(guān)知識(shí)有所遺忘.另一方面由于兩角差的余弦公式推導(dǎo)方法思考的角度很多，由于角度太多學(xué)生往往無從下手，而利用向量數(shù)量積的方法推導(dǎo)是眾多方法中比較簡(jiǎn)捷易掌握的方法。通過知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，為學(xué)生順利發(fā)現(xiàn)并利用向量方法成功推導(dǎo)公式作了鋪墊.

任務(wù)2:課中提供如圖1單位圓，及角α,β的終邊，對(duì)于具體的推導(dǎo)工作，留給學(xué)生探索完成.在探索的過程中，學(xué)生可能會(huì)在各個(gè)環(huán)節(jié)遇到思維的阻塞，教師給出合適的思維提示：

①盯住目標(biāo)，即要證明的公式，如何將問題與這個(gè)圖形對(duì)應(yīng)起來？

②能否從圖中尋找角α-β的終邊，在圖中那些幾何對(duì)象可以對(duì)應(yīng)公式中的量cosα,cosβ,sinα,sinβ？

③回憶曾經(jīng)學(xué)過哪些知識(shí)點(diǎn)中用到角的余弦值？

④觀察要求證的公式，向量的數(shù)量積有不同的表示方法嗎？

意圖：教師給學(xué)生的提示性問題，如果指向性弱、普適性強(qiáng)，學(xué)生需要自身的思維活動(dòng)量就較多，同時(shí)解決問題的難度也較大；反之，指向性強(qiáng)而普適性弱，學(xué)生自身思維活動(dòng)量減少，解決問題的難度也減少.這里設(shè)計(jì)的4個(gè)提示性問題普適性逐步減弱，指向性逐步增強(qiáng)，通過四個(gè)提示性問題的逐步依次呈現(xiàn)，不同層次的學(xué)生再不同提示階段找到了解決問題的方案，最終使得盡可能多的學(xué)生獲得合理的工作量和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

任務(wù)3:課中小組活動(dòng)，教師提供如下思維視角來擴(kuò)展學(xué)生思維：嘗試?yán)脠D2推導(dǎo)公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖2

任務(wù)4:課后進(jìn)一步探究?jī)山遣畹挠嘞夜降钠渌C明方法.

通過經(jīng)歷層層遞進(jìn)的公式探究推導(dǎo)過程，讓不同層次的學(xué)生都能實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的自我建構(gòu)，同時(shí)又獲得數(shù)學(xué)思維方法的運(yùn)用體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

四、一點(diǎn)啟發(fā)

學(xué)生之間存在知識(shí)儲(chǔ)備、數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力等各個(gè)方面的差異，教師在教學(xué)中如何能照顧不同層次的學(xué)生，讓所有同學(xué)在自身基礎(chǔ)上獲得相應(yīng)的發(fā)展，這是實(shí)際教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，需要教師對(duì)不同層次的學(xué)生給予相應(yīng)恰當(dāng)?shù)膸椭?，需要教師在把握學(xué)生具體學(xué)習(xí)狀態(tài)的基礎(chǔ)上，善于借助波利亞教學(xué)思想，設(shè)計(jì)不同層次的提示性問題，調(diào)控?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)的廣度與深度，讓學(xué)生真正的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)得到激活，在這個(gè)前提下配合適當(dāng)?shù)男〗M活動(dòng)，從而真正地讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的自主建構(gòu)，學(xué)會(huì)自主的思考，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.