杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例1 (2018全國(guó)Ⅰ，理5文6)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax．若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為( ).

A．y=-2xB．y=-xC．y=2xD．y=x

解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x.所以f(0)=0，f′(x)=3x2+1，所以f′(0)=1.所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y-0=1×(x-0)，即y=x.故選D.

點(diǎn)評(píng)本小題以三次函數(shù)為背景，考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程，考查方程的數(shù)學(xué)思想、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).做本題的關(guān)鍵是知道曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率就是該曲線表示的函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值.

二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

例2 (2018天津，文11)已知函數(shù)f(x)=exlnx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為_(kāi)___．

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算以及導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值. 做本題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)f(x)正確求導(dǎo).

三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例3 (2017全國(guó)Ⅰ，理21第1問(wèn))已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.討論f(x)的單調(diào)性.

解析因?yàn)閒(x)=ae2x+(a-2)ex-x，所以f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，aex-1<0，2ex+1>0，從而f′(x)<0恒成立.所以f(x)在R上單調(diào)遞減. (2)當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)=0，從而aex-1=0，得x=-lna.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(-∞,-lna)-lna(-lna,+∞)f '(x)-0+f(x)↘極小值↗

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式恒成立問(wèn)題等知識(shí)，考查了分類討論思想以及計(jì)算能力.做本題的關(guān)鍵是要熟知f′(x)>0，f′(x)<0，分別對(duì)應(yīng)單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.

四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值

例4 (2018江蘇，文理11)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為_(kāi)___.

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查了零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了運(yùn)算求解能力、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).做本題的關(guān)鍵是由已知求出f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值.

五、定積分及其應(yīng)用

例5 (2014山東卷，理6)直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( ).

點(diǎn)評(píng)本題考查的是定積分的應(yīng)用.解決此類問(wèn)題分三步：一畫(huà)，即畫(huà)出曲線和直線的大致圖象；二定，即定被積函數(shù)定積分的上、下限；三求，即利用微積分基本定理求出定積分的值.

六、利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍

例6 (2018北京，理18第2問(wèn))設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

解析因?yàn)閒(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex，所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，令f′(x)=0，得x=2.可知當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x(-∞,2)2(2,+∞)f '(x)+0-f(x)↗極大值↘

所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值，不符合題意.

x(-∞,1a)1a(1a,2)2(2,+∞)f '(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘

所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值，不符合題意.

(3)當(dāng)a>0時(shí)，

x(-∞,1a)1a(1a,2)2(2,+∞)f '(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極小值，符合題意.

x(-∞,2)2(2,1a)1a(1a,+∞)f '(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得極大值，不符合題意.

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).求解本題的關(guān)鍵是對(duì)a進(jìn)行分類討論，分析x=2處是否取得極小值.

七、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式

例7 (2018全國(guó)Ⅱ，理21第1問(wèn))已知函數(shù)f(x)=ex-ax2，若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1.

證明當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)e-x-1≤0.設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.當(dāng)x≠1時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，而g(0)=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1.

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查了運(yùn)算求解能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).證明不等式的關(guān)鍵在于直接求導(dǎo)，利用單調(diào)性證明不等式.

八、利用導(dǎo)數(shù)解決綜合問(wèn)題

例8 (2018天津，理20)已知函數(shù)f(x)=ax，g(x)=logax，其中a>1.

(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間；

(3)證明當(dāng)a≥e1/e時(shí)，存在直線l，使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

分析(1)先求出h′(x)，令h′(x)=0,再判斷h′(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上的正負(fù)即可.

(2)利用兩點(diǎn)處的切線的斜率相等建立等式后進(jìn)行化簡(jiǎn).

(3)先分別求出f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線方程和g(x)在點(diǎn)(x2,g(x2))處的切線方程，再利用切線重合建立等式，消元后轉(zhuǎn)化為方程的解的存在問(wèn)題.

(1)解由已知，得h(x)=ax-xlna，則有h′(x)=axlna-lna.令h′(x)=0，解得x=0.

由a>1，可知當(dāng)x變化時(shí)，h′(x)，h(x)的變化情況如下表：

x(-∞,0)0(0,+∞)h'(x)-0+h(x)↘極小值↗

所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

(2)證明由f′(x)=axlna，可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線斜率為ax1lna.

(3)證明曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,ax1)處的切線l1：y-ax1=ax1lna(x-x1).

因此，只需證明當(dāng)a≥e1/e時(shí)，關(guān)于x1的方程③有實(shí)數(shù)解.

由此可得u(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.u(x)在x=x0處取得極大值u(x0).

下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得u(t)<0.由(Ⅰ)可得h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(0)=1，即ax-xlna≥1，所以ax≥1+xlna.

所以，當(dāng)a≥e1/e時(shí)，存在直線l，使l是曲線y=f(x)的切線，也是曲線y=g(x)的切線.

點(diǎn)評(píng)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想、抽象概括能力、綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).