畢京斌，賈智軍，孔宴偉，夏 猛

(1.中車青島四方車輛研究所有限公司, 青島 266112； 2.中國鐵路成都局集團有限公司成都動車段, 成都 610000)

0 引 言

永磁系統(tǒng)能夠準確跟蹤或復現(xiàn)輸入指令，憑借其良好的動態(tài)響應性能、高的準確性和穩(wěn)定性，在各行各業(yè)中得到了廣泛應用[1]。近年來，隨著科學技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)控機床的精確定位，導彈武器的精確制導，零件器件的精密加工以及大功率設(shè)備的拖動等各個領(lǐng)域，都對永磁系統(tǒng)提出了更高更嚴格的指標要求。有關(guān)永磁控制研究熱點的主要方面有：低速爬行問題、振蕩抑制問題、快速精確定位、減速再起動等。這些都是永磁精確控制的關(guān)鍵問題，想進一步提高永磁系統(tǒng)的性能，就必須解決以上問題，本課題主要針對永磁控制中的振蕩抑制問題進行研究。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)工作的前提，機械諧振導致永磁統(tǒng)在諧振頻率處不穩(wěn)定，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，應使諧振頻率在閉環(huán)帶寬以外，即需嚴格控制系統(tǒng)的帶寬。機械諧振不僅限制了系統(tǒng)閉環(huán)帶寬，也限制永磁系統(tǒng)的控制器增益，導致動態(tài)性能下降，降低了系統(tǒng)的控制精度[2-3]。機械諧振導致系統(tǒng)不穩(wěn)定，設(shè)備發(fā)生強烈振動產(chǎn)生噪音的同時也對機械部件造成磨損，大大縮短了設(shè)備使用時間。機械諧振還會使永磁電機產(chǎn)熱增加，造成不必要的能源損耗。由此可見，機械諧振的危害極大，在投入使用前必須對其進行有效抑制。

如果系統(tǒng)長時間工作在振蕩狀態(tài)下，會對機械系統(tǒng)中的聯(lián)軸節(jié)、傳動齒輪、傳動軸、軸承等零件造成嚴重損傷，特別針對中高壓大功率電機驅(qū)動系統(tǒng)，如果諧振抑制不當產(chǎn)生斷軸等事故，后果十分嚴重。對于數(shù)控機床、激光加工設(shè)備等加工精度要求較高的應用場合，機械諧振會對產(chǎn)品的加工質(zhì)量造成嚴重影響，無法滿足生產(chǎn)要求。為了提高永磁驅(qū)動系統(tǒng)帶寬、快速減小階躍響應的偏差，需要提高控制環(huán)路的增益，而機械諧振的存在限制了控制環(huán)路增益的提高。機械振蕩還會發(fā)出噪聲，在其工作環(huán)境中產(chǎn)生噪聲污染。

諧振頻率是影響永磁系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制性能非常重要的參數(shù)，對永磁系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬、動態(tài)性能以及穩(wěn)定性都有很大影響，所以機械諧振的抑制對于保證系統(tǒng)性能尤為重要。抑制機械諧振首先要檢測出系統(tǒng)的諧振點的位置，在測得系統(tǒng)的諧振頻率點之后再加入相應的控制環(huán)節(jié)的方法加以抑制，因此，如何快速準確得檢測諧振頻率點變得尤為關(guān)鍵，對后續(xù)的諧振抑制也有重要指導意義。隨著對永磁系統(tǒng)機械諧振研究的不斷深入，在諧振頻率檢測方面也取得了較大進展。根據(jù)諧波檢測的發(fā)展歷程，已經(jīng)存在了幾種檢測方法[4-5]：基于模擬濾波器進行諧波檢測；基于傅里葉變換的諧波測量方法[6-8]；基于小波變換方法的諧波測量[9]；基于神經(jīng)網(wǎng)絡的檢測方法[10]。為抑制檢測到的諧振頻率，文獻[11]采用數(shù)字陷波濾波器來抑制機械諧振，但是這種陷波器的在中心頻率點的陷波幅值很大，會對系統(tǒng)性能造成較大影響，此外陷波幅值和寬度由同一參數(shù)控制，不容易調(diào)節(jié)。文獻[12]在傳統(tǒng)的陷波器的基礎(chǔ)上，經(jīng)過擴展提出了一種改進的陷波器。通過參數(shù)的適當設(shè)置使陷波中心頻率點衰減的幅值與諧振引起的幅值大體抵消，在抑制諧振的同時盡量提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。

在實際永磁系統(tǒng)中，諧振頻率點的位置及其幅值受外界環(huán)境變化、負載慣量變化和以及系統(tǒng)自身特性變化的影響，經(jīng)常會發(fā)生變化，采用傳統(tǒng)的濾波器具有很大的局限性。永磁系統(tǒng)的諧振頻率點的偏移通常會導致陷波濾波器抑制諧振的失效，因此又有人提出了自適應陷波器的方法。自適應陷波器能夠?qū)崟r監(jiān)測系統(tǒng)諧振頻率的變化，并根據(jù)諧振頻率點的變化修正濾波器參數(shù)達到機械諧振抑制的目的，彌補了傳統(tǒng)陷波器的不足。文獻[13,14]提出了一種自適應陷波器，將其加入控制器中在一定程度上抑制了永磁系統(tǒng)的機械諧振。文獻[15]提出了一種諧波檢測和傳統(tǒng)陷波濾波器相結(jié)合構(gòu)成自適應陷波器進行在線抑制諧振的方法。

本論文主要研究使用陷波濾波器抑制機械諧振。針對實際系統(tǒng)中發(fā)生的機械諧振，需要研究運行過程中在線自動辨識其諧振特征的方法，并根據(jù)諧振辨識出的諧振情況，自動配置陷波濾波器參數(shù)，實現(xiàn)自動抑制機械諧振的目的。

1 永磁電機控制振蕩系統(tǒng)模型搭建

1.1 交流永磁電機數(shù)學模型

交流永磁同永磁電機的數(shù)學模型比直流電機要復雜的多，為了便于分析，在建立數(shù)學模型之前，做了如下假設(shè)：

(1)忽略磁滯損耗的影響。(2)不考慮鐵心飽和。(3)不計渦流損耗。(4)轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組。(5)永磁材料的電導率為零。

交流永磁永磁電機在A-B-C坐標系上的電壓方程為

(1)

式中，ua、ub、uc為三相定子相電壓的瞬時值，ia、ib、ic為三相定子相電壓的瞬時值，Rs為定子電阻，ψa、ψb、ψc為定子相繞組磁鏈瞬時值。

以矩陣形式表示電壓方程，可得：

(2)

式中，p為微分算子。永磁體磁鏈的幅值為ψf，其在三相繞組中可以表示為

(3)

式中，ψra、ψrb、ψrc為轉(zhuǎn)子相繞組磁鏈瞬時值，θ為永磁體磁鏈與定子繞組夾角。定子磁鏈方程為

(4)

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(5)

式中，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，np為電機極對數(shù)。

1.2 雙慣量振蕩系統(tǒng)數(shù)學模型

雙慣量系統(tǒng)又稱為雙質(zhì)量系統(tǒng)，在工業(yè)應用中十分常見，如工業(yè)機器人、軋鋼機等，一般由永磁電機、被驅(qū)動負載以及連接二者的傳動軸等組成，雙慣性系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 雙質(zhì)量系統(tǒng)模型

圖中，JM、JL、Ks分別為永磁電機的慣性矩、負載端的慣性矩和傳動軸的彈性系數(shù)、Tm、Tl、ωm、ωl分別為電機轉(zhuǎn)矩、擾動轉(zhuǎn)矩、電機轉(zhuǎn)速和負載轉(zhuǎn)速。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

(6)

其中，Jall=JM+JL，wp為共振頻率，wz為反共振頻率，表達式如式(7)和式(8)：

(7)

(8)

從公式可看出，雙慣性系統(tǒng)的共振頻率和反共振頻率是由電機和負載端的轉(zhuǎn)動慣量以及軸的剛度產(chǎn)生。當負載端轉(zhuǎn)動慣量很大時共振頻率約等于反共振頻率，當電機和負載轉(zhuǎn)動慣量固定時，系統(tǒng)共振頻率只與軸的剛度有關(guān)，軸剛度為

(9)

式中，r0為軸半徑，G為剪切模量，L為軸的長度。

根據(jù)圖1可知，雙慣性系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(10)

式中，Ts為連接永磁電機與被驅(qū)動負載的軸的轉(zhuǎn)矩，BL、BM為負載和電機的粘滯系數(shù)。

2 基于陷波器的共振抑制方法設(shè)計

陷波中心頻率，陷波寬度以及陷波深度是影響陷波濾波器的3個重要參數(shù)。陷波中心頻率是指需要濾除的頻率點，深度參數(shù)是指陷波濾波器在中心頻率處提供的幅值衰減，寬度參數(shù)則是陷波器幅值衰減到-3dB時前后兩個頻率點的差值。合理設(shè)置陷波濾波器中心頻率，深度參數(shù)和寬度參數(shù)可以很好地對永磁系統(tǒng)的機械諧振進行補償。

2.1 陷波器原理

對于一個存在機械諧振的永磁系統(tǒng)，可以通過向系統(tǒng)控制中加入陷波濾波器減小諧振頻率點處的幅值以達到諧振補償?shù)哪康?。抑制方法的基本原理如圖2所示。可以看出通過合理設(shè)計陷波器的參數(shù)，將諧振頻率點處的幅值大致抵消，最后使系統(tǒng)頻率響應趨近平滑，達到諧振抑制目的。

圖2 基于陷波器的動態(tài)諧振抑制原理框圖

陷波器是無限沖擊響應(IIR)數(shù)字濾波器，該濾波器可以用以下常系數(shù)線性差分方程表示：

(11)

式中,x(n)和y(n)分別為輸人和輸出信號序列，ai和bi為濾波器系數(shù)。對式(11)兩邊進行z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為

(12)

式中,zi和pi分別為傳遞函數(shù)的零點和極點。

這樣零點、極點配置的濾波器稱為單一頻率陷波器，在頻率ω0(ω0為要消除的頻率)處出現(xiàn)凹陷。而把極點設(shè)置在零的的徑向上距圓點的距離為l-μ處，陷波器的傳遞函數(shù)為

(13)

式中,μ越小，極點越靠近單位圓，則頻率響應曲線凹陷越深，凹陷的寬度也越窄。當需要消除窄帶干擾而不能對其他頻率有衰減時，陷波器是一種去除窄帶干擾的理想數(shù)字濾波器。

2.2 陷波器設(shè)計

實際永磁系統(tǒng)大都是采用向控制系統(tǒng)中加入濾波器的方法來進行諧振補償。陷波器可有效地濾除信號中諧振成分，陷波器的傳遞函數(shù)：

(14)

式中，f為陷波中心頻率，Hz；ξ為深度參數(shù)，表征了中心頻率處幅頻特性的深度，在中心頻率處可提供-20lgξdB的幅值衰減；k為寬度參數(shù)，Hz，表示以陷波中心頻率為中心幅值下降3dB時的兩側(cè)寬度；通過調(diào)整濾波器的ξ，k兩個參數(shù)，可以得到不同陷波幅值和帶寬的頻率特性，兩個參數(shù)的整定原則:

(1)當0<ξ<1時，且寬度參數(shù)k不變時，其頻率特性曲線是凹陷的，且當ξ越小時陷波中心頻率處提供的幅值衰減越大，如圖3所示。

(2)當深度參數(shù)ξ固定不變時，隨著寬度參數(shù) 值的增加，頻率特性曲線凹口的范圍逐漸大，如圖4所示。

圖3 不同ξ下陷波器幅相頻率特性曲線

圖4 不同k下陷波器幅相頻率特性曲線

圖3和圖4為參數(shù)整定原則的效果圖。圖3是在中心頻率f=10Hz，寬度參數(shù)k=8時，深度參數(shù)分別為x=0.5、x=0.25、x=0.05時的陷波濾波器的頻率特性曲線?？梢钥闯鲭S著深度參數(shù)的減小，中心頻率處衰減的幅值逐漸增加。圖4是在中心頻率f=10Hz，深度參數(shù)x=0.05時，寬度參數(shù)分別為k=1、k=4、k=8時的陷波濾波器的頻率特性曲線。隨著寬度參數(shù)k值的增加，頻率特性曲線凹口的范圍逐漸增大。從兩個圖中也可以看出陷波濾波器的寬度參數(shù)和深度參數(shù)可以單獨調(diào)節(jié)，這就克服了傳統(tǒng)形式的濾波器只能通過調(diào)節(jié)一個參數(shù)完成深度和寬度調(diào)節(jié)存在的問題。

2.3 陷波器主要參數(shù)對陷波效果的影響探究

為了驗證陷波器的正確性，模擬了一個幅度為1，頻率為10kHz的正弦波，其中摻雜著幅度為1，頻率為20kHz的正弦噪聲，用Matlab設(shè)計一個20kHz的陷波器，將摻雜了20kHz噪音的10kHz信號經(jīng)過濾波器，利用FDATool導出Matlab程序驗證陷波器的正確性并導出陷波器系數(shù)，其濾波器前后的波形及放大波形如圖5所示。

從上面的正確性驗證波形可知，陷波器的理論設(shè)計及仿真設(shè)計都是可行的，在永磁振蕩系統(tǒng)中，同樣需要陷波器對諧振頻率進行抑制，消除閉環(huán)系統(tǒng)中的諧振信號，達到諧振消除的目的。由表1可知，僅改變apass參數(shù)由小變大，調(diào)節(jié)時間依次減小，但是對應的濾波范圍變寬，“點”阻效果變差。由表2知，僅改變bw參數(shù)，帶寬越大，雖然抑制越快，但窄帶會變寬，即可濾頻率增多，單一性差。

圖5 20kHz陷波器陷波前后效果對比波形

表1 陷波器apass參數(shù)對陷波效果的影響

表2 陷波器bw參數(shù)對陷波效果的影響

研究證明了陷波器參數(shù)需要尋優(yōu)，即參數(shù)apass和bw之間需要折中值以滿足系統(tǒng)靜動態(tài)響應。

3 實驗驗證

永磁同步電機參數(shù)：額定功率PN=2kW，額定線電壓UN=380V，額定電流IN=7.5A，定子電阻Rs=0.1Ω，直軸電感Ld=2430mH，交軸電感Lq=2430mH，轉(zhuǎn)動慣量J=0.23kg·m2，額定負載TL=7.5N·m，極對數(shù)p=2，額定轉(zhuǎn)速nN=2500r/min。

在上一節(jié)陷波器理論設(shè)計部分已經(jīng)對陷波器本身進行了正確性驗證，可實現(xiàn)特定頻率的消除，并分析和驗證了陷波器不同參數(shù)對陷波效果的影響規(guī)律，基于以上研究，尋優(yōu)了一組合適的參數(shù)設(shè)計陷波器，將其應用于永磁定位振蕩抑制系統(tǒng)中。由末端振蕩引起的諧波頻率一般在100～1000Hz之間，屬于中頻范圍。針對500Hz振蕩頻率，引入頻率為500Hz，幅值為10V的正弦干擾，加在速度環(huán)的反饋回路上，陷波器設(shè)計參數(shù)如下：采樣頻率fs=10000Hz，陷波頻率fnotch=500Hz，帶寬bw=400，通帶apass=15。導出陷波器系數(shù)后，經(jīng)雙線性變換得到S域的傳涵，將其置于速度環(huán)與電流環(huán)之間，首先仿真驗證了雙閉環(huán)情況下，陷波器對500Hz諧波的抑制，有效減小了轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差，如圖6所示。

圖6 500Hz陷波器對轉(zhuǎn)速的影響

圖6中給定轉(zhuǎn)速為100rad/s，轉(zhuǎn)速的上升時間為0.04s，由于陷波器的影響，在放大圖中可見超調(diào)了28rad/s，即超調(diào)量由20%上升到了28%。在0.4s和0.7s之間加了50%額定負載，經(jīng)過陷波器濾波后的系統(tǒng)能快速跟隨轉(zhuǎn)速響應，可滿足快速性要求。在0.9s時轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，由原來的0.6rad/s減小到了0.1rad/s，轉(zhuǎn)速振蕩得到了抑制。

同理，針對300Hz振蕩頻率，引入頻率為300Hz，幅值為10V的正弦干擾，相應的陷波器設(shè)計參數(shù)如下：采樣頻率fs=10000Hz，陷波頻率fnotch=300Hz，帶寬bw=200，通帶apass=15。仿真驗證了3環(huán)情況下，陷波器對300Hz諧波的抑制，有效減小了轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差，如圖7所示。

圖7 300Hz陷波器對位置的影響

由圖7可知，在300Hz諧振干擾的系統(tǒng)中，給定位置信號50rad，在2s和4s之間加了50%額定負載，經(jīng)過陷波器濾波后的系統(tǒng)能快速跟隨位置響應，可滿足快速性要求。速度環(huán)速度穩(wěn)定在20rad/s，轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差明顯減小，由原來的2rad/s減小到了0.3rad/s，轉(zhuǎn)速振蕩得到了有效抑制。同時對A相電流濾波前后進行了FFT分析。

圖8 300Hz陷波信號FFT分析

如圖8所示。由圖8可知，陷波前300Hz頻率含量很高，達到了基頻的160%，經(jīng)過陷波器濾波后，300Hz頻率含有量減小為20%，有效抑制了振蕩頻率。

4 結(jié) 語

本論文主要研究使用陷波濾波器抑制機械諧振。針對實際系統(tǒng)中發(fā)生的機械諧振，需要研究運行過程中在線自動辨識其諧振特征的方法，并根據(jù)諧振辨識出的諧振情況，自動配置陷波濾波器參數(shù)，實現(xiàn)自動抑制機械諧振的目的。為了驗證效果，設(shè)計一個可以改變諧振頻率的實驗平臺，并在平臺上驗證諧振抑制效果。首先，詳細分析交流永磁永磁電機的數(shù)學模型、矢量控制系統(tǒng)的基本思路。其次，建立諧振模型，并推導諧振頻率表達式，通過理論分析得出引起永磁系統(tǒng)機械諧振原因。進而針對在線諧振抑制問題，采用陷波濾波器消除機械諧振的設(shè)計方法，設(shè)計數(shù)字化陷波器，研究濾陷波器的諧振抑制效果。最終對基于陷波器的永磁定位末端振蕩檢測及抑制進行了驗證。