福建省詔安第一中學 江曉潔 許偉湘

為了構建更高教學質量的數學課堂，引導學生進行數學學科的能力提升，20 世紀80 年代，杜賓斯基等人提出了APOS 理論，旨在針對學生數學學習的特點，提出一些數學教學理論。在20 世紀90 年代，該理論流入國內，主要在我國高等學校數學課堂中應用，在中等學校并未得到普及?！白兪浇虒W”是另外一種教學方式，其在我國廣大學校教學工作中有著較多運用?；诖?，本文分析了APOS 理論與變式教學的性質特點，并通過分析研究出新的運作方式，以為中學數學教學提供更加多元化的教學方法。

一、APOS 理論的性質

杜賓斯基于20 世紀末發(fā)表《APOS：一種構建主義理論》一文，將該理論解釋為構建主義理論下的一種具體模式。他提出了概念心理圖式的構建主要會經歷以下四個階段：操作階段、過程階段、對象階段、圖式階段。操作階段是指個體通過學習來獲得知識，在外部條件的刺激下得到理論學習的突破。在這一階段，個體的計算、推理、回憶、總結等數學學習手段成為活動，其中不僅包含個體的肢體動作，也包含個體的思維邏輯內涵。過程階段是指個體不斷重復活動，通過個體的自我反省來將活動內化為過程，在獲得將數學概念一般化的能力后，構造更加復雜的活動內容。對象階段是指個體通過不斷學習進步，能夠將第二階段的過程看作一個數學學習整體，進而根據自身能力對整體進行變形分析。在這個時候，整體就變成了個體學習的整個對象。在圖式階段，個體對前三個階段的內容進行整合后，已經能夠在腦海中形成具有綜合心理圖式，包含數學概念的具體實例、完整定義、抽象過程以及和其他概念相區(qū)別、相聯系的心理圖式。總而言之，APOS 理論對數學學習有著重要的作用，而經過這四個階段的學習能夠更加完整地形成對數學概念的認識，實現數學思維的提升。

二、變式教學的性質

變式教學將變異學習理論作為研究數學教學的工具，在全世界的很多國家都有所應用。我國在課堂教學中運用變式教學進行教學評價，通過對教學進行觀摩來研究如何利用變異學習理論提升數學教育教學工作。在變式教學的發(fā)展中，很多專家學者對理論進行了補充。1991 年，顧泠沅教授在《學會教學》一書中首先對變式教學進行了解釋說明，開辟了變式教學在我國的應用前景，為后來的變式教學研究發(fā)展奠定了理論基礎。在隨后的十幾年間，國內很多專家學者、教育工作者對變式教學理論進行研究補充，對變式教學在各年級數學教學中的應用進行闡釋，深入地研究了理論對教學實際產生的影響，這對于各學年學生的數學學習能力提高有著深刻的作用。

在變式教學構建心理圖式的工作中，有著三個轉化階段：操作、對象階段；過程、對象階段；對象、圖式階段。

（一）操作階段轉變?yōu)閷ο箅A段

這個階段是指通過個體在生活中的思考，呈現數學概念的實例。這實質上是對實例的階段性呈現。在這個階段，通過對實例進行解析，可以幫助學生積累學習活動經驗，從而逐步提高到下一個階段。在這個階段，可以設計使用這樣的一組變式題型：

例1：請觀察下列數列有什么共同特點。

問題1：1，2，3，4，….（同學站成隊列依次報數）

7500，8000，8500，9000，9500，….（某品牌商品每個月的價格變化）

在這道題中，學生會發(fā)現一些問題。例如數字都是整數，數字的變化都伴隨著一定的規(guī)律，都是正數等。

問題2：-3，-6，-9，-12，-15，….

10，10.5，11，11.5，12，12.5，13，….

在這道題中，學生會將關注點轉移到對每一項的觀察中，尋找每一項之間的關聯規(guī)律。

問題3：a，b 是兩個常數

a，2a，3a，4a，5a，6a，….

b，b+a，b+2a，b+3a，b+4a，….

在這道題中，已經完全脫離了具體的數值，學生要通過對以上幾個數列的特點進行總結，提煉等差數列的含義，這樣就通過抽象的字母完成了對數列定義的探索，形成了操作階段向對象階段的轉變。

（二）過程階段轉變?yōu)閷ο箅A段

過程階段主要是指引導學生在思考中提煉學習概念內涵，經過思維模式的內化，把過程進行壓縮，產生較為抽象的內涵，建立概念模型，最終達到對象階段。在這個轉變階段中，要運用變式教學明確公式的教學合理性，注意對關鍵之處進行把握分析，從而達到良好的階段轉化效果。

這樣的變式訓練能引導學生將此當成一個對象，獲得在復雜問題中解決、運算的能力。在實際的教學中，這樣的過程通常需要大量的提煉，需要用大量的變式題型加以分析，最終使學生在不同的變式情境中都能夠獲得問題的答案，從而達到過程階段的轉變目的。

（三）對象階段轉變?yōu)閳D式階段

在這一階段中，注重將數學概念的圖式通過操作、過程、對象在學生頭腦中形成一定的認知，包括概念的實例、抽象的過程、完整的定義以及符號的聯系。

例1：根據橢圓的相關知識點判斷正誤。

變式1：在平面內到兩定點F1、F2距離之和等于常數2a（2a ＞|F1F2|時），動點P 的軌跡是橢圓。

這樣的變式訓練能夠使學生有效地找到解決問題的方法，將其中的思想納入已經建立的思想方法體系中，從而完成對象階段到圖式階段的轉變。

三、APOS 理論下變式教學方法的實施

（一）加強概念理解，深化理論應用

當前我國的數學教學通常使用較為保守的教學方法，采取“小步走”的教學路線，教學內容按照教師的規(guī)劃循序漸進地進行，教師與學生能夠互動和配合，適應大多數學生的學習要求。但針對APOS理論而言，這樣的教學意義不大。傳統教學方法中，往往不具備深層次的教學意義探究，導致很多課堂活動成為“面子工程”，僅僅是為了活動而活動，成為看似絢爛卻空有其表的教學方式。因此，教師應當在數學教學中注重對教學內容的分析理解，在教學工作中加入過程性的變式，通過反映知識的演變過程來引導學生學習其中的本質聯系，在活動中真正利用變式訓練，讓學生充分理解概念的抽象含義，一步步地拓寬學生的知識儲備，有層次地提高學生的學習水平。

（二）構建教學情境，貫徹實際經驗

數學教學中的教學情境，能夠通過提出問題、導入課程來吸引學生進行學習。在具有差異化、現實化、趣味化的教學情境中，發(fā)揮APOS 理論下變式教學的積極作用，在一定程度上能刺激學生對概念的理解和分析。教師可以創(chuàng)設現實化的情境，將現實中常見的問題與教學內容相結合，盡可能地使用現實中的場景，更容易讓學生接受。在一些較為復雜的知識教學中，教學情境可以幫助學生更好地理解知識內涵，在實際生活中還能夠回想起教學情境中的內容，在遇到實際問題時，聯想到知識點加以分析解決?；诖?，教師應當充分理解所教授的課堂知識，研究分析APOS 理論及變式教學方法，思索出理論與課堂相結合、變式與教學相結合的方法，探究豐富的教學模型，準備充實的活動材料，將生活中的實際經驗傳授給學生。在課余時間，為學生創(chuàng)造更多的探究機會，讓學生能夠進行觀察、分析、試驗、總結、證明，引導學生通過自身努力將知識生活化，從而提高學生的核心素養(yǎng)。在此過程中，教師要關注學生對概念的掌握能力，達到教學目的。

綜上所述，我國教育教學工作不斷發(fā)展完善，出現了很多行之有效的教學方法。當下，APOS 理論與變式教學相結合，能夠對教學工作產生一定的積極影響。通過本文的分析能夠得知，當前的數學教學從加強概念理解、深化理論應用、構建教學情境、貫徹實際經驗等方面入手，能夠在一定程度上提高教學工作水平，讓學生在更好的教學環(huán)境中獲得良好思維的養(yǎng)成和學習能力的提升。