【摘要】平面和直線是空間直角坐標系下最簡單也是最重要的點的軌跡.以向量為工具，建立平面和直線的方程，以此來研究直線和平面的相關(guān)問題，是重要的方法之一.在這篇文章里，我們將用四種完全不同的方法來研究空間直角坐標系下定點到定直線的距離問題，以此來強調(diào)空間直角坐標系下直線和平面的問題中經(jīng)常用到的一些方法，比如解平面束方程的方法、點落在直線上的參數(shù)表示法、兩向量垂直則這兩個向量的數(shù)量積為零等等.

【關(guān)鍵詞】點;直線;平面;距離

前 言

著名的作家培根說過：“歷史使人賢明，詩造就氣質(zhì)高雅的人，數(shù)學使人高尚，自然哲學使人深沉，道德使人穩(wěn)重，而倫理學和修辭守則則使人善于爭論.”物理學家倫琴說過：“第一是數(shù)學，第二是數(shù)學，第三是數(shù)學.”愛因斯坦說過：“數(shù)學之所以比一切其他學科受到尊重，一個理由是因為它的命題是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學經(jīng)常處于被發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險.”數(shù)學，在任何時期都是自然科學的基礎(chǔ).數(shù)學幾乎滲透任何一門學科，是物理學，天文學等重要科學的必要準備.在經(jīng)濟騰飛，科技發(fā)展迅猛的當今社會，認真學好數(shù)學不僅能培養(yǎng)我們對事物的正確判斷能力，還可以分析和解決現(xiàn)實生產(chǎn)生活中遇到的問題.數(shù)學從古至今，產(chǎn)生的作用都是不可估量的.

當下，人工智能和大數(shù)據(jù)空前發(fā)展，而人工智能和大數(shù)據(jù)的發(fā)展依賴于數(shù)學的計算能力、抽象能力和計算機語言的編寫能力.這就讓數(shù)學的教與學得到了前所未有的重視，學好數(shù)學和計算機在人生的道路當中會多上許多的可能.大學數(shù)學的教學主要集中在《高等數(shù)學》《線性代數(shù)》《概率與數(shù)理統(tǒng)計》這三大基礎(chǔ)數(shù)學課程.高等數(shù)學更是大學數(shù)學基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，學好《高等數(shù)學》，不僅僅可以為后續(xù)學習《概率與數(shù)理統(tǒng)計》打下堅實的基礎(chǔ)，還可以為很多工科的專業(yè)課做良好的鋪墊.一些學術(shù)型的高校，甚至在全校開設(shè)高等數(shù)學課程，包括了看似與數(shù)學毫無關(guān)系的中文系和外文系.《高等數(shù)學》除了研究一元函數(shù)和多元函數(shù)的微積分之外，也研究空間幾何向量問題、級數(shù)問題.高等數(shù)學中研究的空間解析幾何部分是數(shù)學史上一個劃時代的成就，它開創(chuàng)了人們用代數(shù)方法研究幾何問題的新時代，其中數(shù)形結(jié)合方法是后續(xù)許多課程，比如多元函數(shù)微積分的重要基礎(chǔ).

在空間直角坐標系下，點、直線、平面是最基本的也是最重要的點的軌跡.點、空間直線和空間平面之間存在很多看似簡單的問題，比如點到直線的距離、直線與直線的共面問題、直線與直線的夾角問題、點到平面的距離問題、異面直線的距離問題、直線和平面的夾角問題、平面與平面的夾角問題等，大部分問題都能推導(dǎo)出簡單的計算公式，但是點到直線的距離問題看似簡單，卻不能根據(jù)點的坐標和直線的方程，直接給出一個比較簡潔的公式，但這并不表示這個問題是難以解決的，相反地，解決這個問題的方法多種多樣.也正是這種非公式化處理問題的方式，為學生學習空間解析幾何提供了很多動力.在這篇文章里，我們將用多種不同的方法來求解空間直角坐標系下點到直線的距離問題，并以此來介紹空間直角坐標系下直線和平面的一些問題在解決時候常用到的一些方法：比如解平面束方程的方法，直線的參數(shù)方程，兩平面垂直當且僅當其法向量垂直等等.為了描述與理解方便，我們這里給出具體點的坐標和直線的方程.

四種解法之間各有優(yōu)劣，所使用的方法也各有側(cè)重.從過程的復(fù)雜程度來看，解法一和解法二較為簡潔，解法三過程較為煩瑣，解法四過程的復(fù)雜程度居中.從知識結(jié)構(gòu)來看，解法一突出平行四邊形的面積等于相鄰兩邊所對應(yīng)的向量的叉積的模;解法二突出點落在直線上時，點的坐標可以用直線的參數(shù)方程明確地表示出來;解法三是把點到直線的距離轉(zhuǎn)化為點到面的距離問題，利用點到平面的距離公式求解，而且解法三當中用到的過定直線的平面束的方程，在直線與平面的關(guān)系當中是非常重要的;解法四突出把點到線的垂足轉(zhuǎn)化為點到面的垂足.通過研究同一問題的不同解法，可以掌握相關(guān)問題的不同理論及其應(yīng)用，這點在空間平面和空間直線的問題上尤為突出.

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