劉 植, 王楚涵, 陳曉彥, 邢 燕

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

汽車的車燈設(shè)計直接決定了汽車的整體“氣質(zhì)”,圓形的車燈顯“呆萌”,柳葉形和三角形的車燈顯“狂野”。20世紀(jì)30年代,汽車車燈形狀主流為圓形,20世紀(jì)80年代起,汽車車燈形狀開始與整個車身的造型相協(xié)調(diào),出現(xiàn)了矩形、橢圓、菱形等各種風(fēng)格。汽車車燈形狀的多樣化,使車燈從一輛汽車的基本配置,變成了一個更加能夠體現(xiàn)個性化的因素。因此,汽車車燈形狀的設(shè)計會直接影響汽車的銷售及品牌效應(yīng),個性化的需求需要產(chǎn)生足夠多的設(shè)計樣本以供設(shè)計師參考。

20世紀(jì)60年代后期,法國雷諾(Renault)汽車公司的工程師皮埃爾·貝塞爾(Pierre Bézier)結(jié)合數(shù)學(xué)方法描繪出了Bézier曲線。該方法首先建立曲線的特征多邊形,通過修改控制頂點的位置改變曲線的收斂方向,可以達(dá)到快速獲得多種設(shè)計形狀的目的,具有極強(qiáng)的直觀性和便利性。與傳統(tǒng)手繪方法相比,雖然Bézier方法已經(jīng)極大提高了設(shè)計師的工作效率,但在光滑連接問題和細(xì)節(jié)調(diào)整方面仍有不足。為了改善此問題,眾多研究者利用Bézier曲線的幾何不變性提出一系列基于帶參數(shù)多項式的曲線優(yōu)化設(shè)計方法。

文獻(xiàn)[1]用三次Q-Bézier曲線描述了汽車車燈造型輪廓;文獻(xiàn)[2]用四次帶參Bézier曲線統(tǒng)一描述了汽車前臉各造型設(shè)計元素輪廓;文獻(xiàn)[3]討論了一類雙參數(shù)三次Bézier曲線的形狀;文獻(xiàn)[4]提出基于四次帶參廣義Bézier曲面的汽車造型設(shè)計方法;文獻(xiàn)[5]提出一種加權(quán)Lupasq-Bézier曲線,和傳統(tǒng)方法相比,在相同控制點下的逼近性有一定程度提升;文獻(xiàn)[6]提出帶有多個形狀參數(shù)的擴(kuò)展Bézier類曲面及其連續(xù)性條件;文獻(xiàn)[7]提出帶2個形狀參數(shù)的同次Bézier曲線;文獻(xiàn)[8]研究了一類基于三次擬Bézier方法的汽車車燈輪廓設(shè)計,該方法描述形狀的調(diào)配函數(shù)是4個線性無關(guān)的三次多項式函數(shù),對圖形的張力表示和流暢性均有所加強(qiáng),其不足之處在于,G2連續(xù)時和已有方法存在同樣的弊端——確定控制頂點時需要求解大型方程組,計算量大,不利于設(shè)計后期細(xì)節(jié)的調(diào)整,且難以滿足整體C2連續(xù)性要求。

本文在已有設(shè)計方法基礎(chǔ)上,提出了汽車車燈形狀設(shè)計的一種新算法。首先,結(jié)合四次廣義Bézier曲線定義及性質(zhì),研究分析了曲線的參數(shù)連續(xù)條件;然后,討論了控制點以及參數(shù)的改變對車燈形狀的影響;最后給出幾種設(shè)計實例。本文算法通過調(diào)整控制頂點的位置和修改形狀參數(shù)的取值來獲得車燈形狀設(shè)計的多種方案,該算法可以應(yīng)用于汽車造型設(shè)計中的其他造型元素,拓展性較強(qiáng)。

1 四次廣義Bézier曲線

定義1[9]給定1組控制頂點{D0,D1,…,D4},記

r(t)=r(t;λ,μ)=

則稱r(t)為帶形狀參數(shù)λ、μ(λ,μ∈(-3,1])的四次廣義Bézier曲線,簡稱四次廣義Bézier曲線,其中調(diào)配函數(shù)為:

特別地,當(dāng)形狀參數(shù)λ、μ均取1時,四次廣義Bézier曲線即是四次Bézier曲線?？梢则炞C上述調(diào)配函數(shù)具備線性無關(guān)性,且等價于四次Bernstein基函數(shù),因此四次廣義Bézier曲線是建立在四次Bézier曲線基礎(chǔ)上的推廣。對于給定的控制頂點,要得到不同形狀的曲線只需要相應(yīng)調(diào)節(jié)控制參數(shù)的值。

由調(diào)配函數(shù)的形式可以看出:

(1) 參數(shù)λ的值僅與b0,4(t;λ,μ)、b1,4(t;λ,μ)有關(guān)。λ越大,b0,4(t;λ,μ)越小,而b1,4(t;λ,μ)越大,此時生成的曲線更加靠近控制點D1。

(2) 參數(shù)μ的值僅與b3,4(t;λ,μ)、b4,4(t;λ,μ)有關(guān)。μ越大,b3,4(t;λ,μ)越大,而b4,4(t;λ,μ)越小,此時生成的曲線更加靠近控制點D3。

形狀參數(shù)不同取值對四次廣義Bézier曲線形狀的實際影響如圖1所示。

圖1 λ、μ取不同值時圖形不同偏向情形

定理1記di=Di-Di-1,則四次廣義Bézier曲線在端點處滿足:

(1)r(0)=D0,r(1)=D4。

(2)r′(0)=(λ+3)d1,r′(1)=(μ+3)d4,即四次廣義Bézier曲線插值首、末端點,且與首、末控制邊相切。

(3)r″(0)=6[2d2-(λ+1)d1],

r″(1)=6[(μ+1)d4-2d3]。

2 汽車車燈形狀曲線的設(shè)計

車燈輪廓曲線可看作在一定光滑性條件下的封閉曲線,因此可以把汽車車燈形狀設(shè)計問題歸類為在一定連續(xù)條件下四次廣義Bézier閉樣條曲線的構(gòu)造問題。具體步驟如下:① 根據(jù)車燈形狀設(shè)計的要求描繪車燈形狀草圖,也就是依次連接控制頂點獲得控制多邊形;② 根據(jù)算法選取每段曲線的控制頂點和形狀參數(shù),以便在控制多邊形凸包內(nèi)得到滿足一定光滑性要求的閉樣條曲線;③ 車燈設(shè)計要體現(xiàn)強(qiáng)烈的個性特點,并且要和整部車的風(fēng)格相符合,從而表現(xiàn)出汽車潛在的品牌效應(yīng)。通過以上設(shè)計步驟,繪制的車燈形狀線條往往比較粗糙,需要進(jìn)一步調(diào)整形狀參數(shù)數(shù)值或控制頂點坐標(biāo),以達(dá)到車燈形狀曲線的整體或者局部修正。這樣多次調(diào)整和修改后,得到的滿足設(shè)計初衷和需求的四次廣義Bézier閉樣條曲線即車燈形狀曲線。

在實際設(shè)計中,要保證插值樣條曲線間的光滑過渡,就需要考慮曲線光滑過渡的連續(xù)性。采用已有各種設(shè)計方法在繪制C1連續(xù)的輪廓曲線時快捷靈活,但對C2連續(xù)的情形,已有方法涉及得相對較少。為了說明本文方法的可行性,以下主要討論C2連續(xù)的車燈形狀曲線交互設(shè)計。

基于四次廣義Bézier方法的形狀可調(diào)C2連續(xù)汽車車燈輪廓設(shè)計步驟如下:

(1) 根據(jù)設(shè)計需求,選取車燈輪廓控制頂點Dj(j=0,1,…,n),其中Dn=D0,Dn+1=D1,繪制車燈輪廓閉多邊形{D0,D1,…,Dn}。

(3) 取形狀參數(shù)λj、μj,需滿足-1≤λj≤1和-1≤μj≤1。

其中,λn+1=λ1。

其中,μ0=μn。

國內(nèi)生產(chǎn)總值從0.37萬億元增長到82.7萬億元，國家財政收入從0.11萬億元增長到17萬億元，城鎮(zhèn)化率從17.92%增長到58.52%……

(8) 生成C2連續(xù)四次廣義Bézier閉樣條車燈輪廓曲線,即

為了生成車燈輪廓閉多邊形{D0,D1，…,Dn}保形的閉樣條曲線,同時為了簡化設(shè)計過程,上述步驟將形狀參數(shù)λj、μj限制在閉區(qū)間[-1,1]上。上述方法設(shè)計的車燈輪廓曲線的形狀調(diào)控簡單易行,對于給定的初始車燈輪廓閉多邊形{D0,D1,…,Dn},生成的車燈輪廓曲線形狀交互控制方法如下:

(1) 通過改變形狀參數(shù)的取值調(diào)整曲線的形狀。形狀參數(shù)的取值決定了其生成曲線的局部形狀特征,如前所述,形狀參數(shù)λj、μj(j=0,1,…,n)在定義范圍內(nèi)取值越大,生成曲線越靠近相應(yīng)控制頂點。

調(diào)整控制頂點與調(diào)整形狀參數(shù)相結(jié)合,相輔相成可以繪制出形狀更加豐富的車燈形狀曲線。每段曲線的控制點由初始輪廓控制點直接計算生成,計算方便簡潔。

3 造型設(shè)計實例

為了適應(yīng)現(xiàn)代汽車造型設(shè)計的豐富多樣和滿足人們不一而足的審美需求,設(shè)計師們需要一種便于操作、快速有效的程序化設(shè)計方法,并且要滿足后期修改有充分的自由度。本文方法可以生成滿足一定光滑性要求的車燈輪廓曲線,且容易實現(xiàn)輪廓曲線的整體與局部形狀修改。

為實現(xiàn)閉樣條曲線修改的目的,本文主要強(qiáng)調(diào)改變每段四次廣義Bézier曲線首、末控制頂點或切點的位置,也就是修改切點位置參數(shù)ωj的取值以及形狀參數(shù)λj、μj(j=0,1,…,n)的取值來實現(xiàn)形狀控制。

四次廣義Bézier樣條輪廓曲線及其不同調(diào)整方式的效果如圖2所示。圖2a所示為車燈形狀設(shè)計的第1次草圖,對應(yīng)參數(shù)ωj=0.15,λj=μj=0(j=0,1,…,n);圖2b～圖2e所示為調(diào)整λ、μ值后得到的效果圖。

比較圖2a和圖2b可知,相同條件下,λ增大,曲線更接近P點、Q點,遠(yuǎn)離S點,下凹明顯。

比較圖2b和圖2c可知,相同條件下,μ減小,曲線更接近S點,遠(yuǎn)離P點、Q點,較平滑。

比較圖2a和圖2d可知,相同條件下,μ增大,曲線更接近Q點、S點,遠(yuǎn)離P點,棱角明顯。

比較圖2d和圖2e可知,相同條件下,λ減小,曲線遠(yuǎn)離P點、Q點,更接近S點,線條較直。

比較圖2c和圖2d可知,相同條件下,λ減小,曲線遠(yuǎn)離P點、S點,更接近Q點,棱角明顯。

對相同控制點,固定λj=μj=0取值,調(diào)整ωj取值為0.35、0.50、0.65后的曲線如圖3所示。

比較圖2a和圖3可知,相同條件下,ω增大,曲線越來越接近Q點,線條也趨近平滑飽滿。圖3c的曲線更加飽滿,圖2a的曲線更具有流線型特點,可分別適用于不同的車型。

綜上所述,若要極大提高弧度感 ——“飽滿”的車燈形狀,則可通過增大ω值實現(xiàn);若只是讓車燈線條稍微圓潤一些,則可通過增大λ或者減小μ,實現(xiàn)局部微調(diào)而不影響車燈整體風(fēng)格。由于消費者審美具有多樣性,本文算法能實現(xiàn)通過修改1個參數(shù)值迅速獲得多種風(fēng)格設(shè)計圖,相比于傳統(tǒng)通過修改控制節(jié)點坐標(biāo)的方法,不僅極大地節(jié)省了人力,還能提供更多的設(shè)計靈感。

將生成的樣條曲線投影到汽車表面上,最后通過對引擎蓋板、前裙板、前翼子板這3塊曲面進(jìn)行修剪可以獲得車燈的輪廓造型。對于設(shè)計師而言,由于只需要在一個二維平面上對輪廓曲線進(jìn)行編輯和修改,以滿足不同的產(chǎn)品需求,比在三維空間中調(diào)節(jié)曲線曲面要方便很多。

采用本文算法對汽車車窗、車前蓋進(jìn)行設(shè)計,同樣可以通過調(diào)整參數(shù)取值和控制頂點改變設(shè)計形狀。對相同的控制點,相同的參數(shù)λj=μj=0,車窗設(shè)計如圖4所示,車前蓋設(shè)計如圖5所示。

圖4 車窗設(shè)計效果

圖4a、圖5a中ωj取值為0.1、0.5、0.1、0.5、0.1、0.5、0.1、0.5,圖4b、圖5b中ωj取值均為0.5。

圖5 車前蓋設(shè)計效果

4 結(jié) 論

與傳統(tǒng)的繪制與調(diào)整方法相比,本文通過調(diào)整四次廣義帶參Bézier曲線中控制頂點的位置和形狀參數(shù),可以迅速獲得不同的線條形狀,從而得到大量不同風(fēng)格的汽車車燈造型。該方法同樣適用于汽車車身其余部分的繪制,如車窗、前蓋的設(shè)計等,具有較強(qiáng)的擴(kuò)展性;與已有同類方法相比,車燈曲線每個點依賴于初始控制點,逼近性效果更理想,在此基礎(chǔ)上,可以實現(xiàn)更好的細(xì)節(jié)修改,從而盡量減少對其余已完成形狀設(shè)計的影響。