張順琦, 張書揚, 陳 敏, 趙國忠

(1.上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院,上海200444;2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室,遼寧大連116024;3.西北工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院,西安710072;4.西交利物浦大學(xué)工業(yè)設(shè)計系,江蘇蘇州215123)

將壓電材料埋入或嵌入普通材料結(jié)構(gòu)中形成的壓電智能結(jié)構(gòu),具有自感知、自控制特性,被廣泛應(yīng)用于飛行器壁板結(jié)構(gòu)形狀控制、振動抑制和健康監(jiān)測等[1-3].

對壓電智能結(jié)構(gòu)進行準(zhǔn)確建模與仿真可為結(jié)構(gòu)設(shè)計提供必要參考.已有的大量智能結(jié)構(gòu)的線性建模均基于線性壓電材料本構(gòu)關(guān)系和線性應(yīng)變位移關(guān)系.在線性壓電本構(gòu)關(guān)系框架下,大部分模型都假設(shè)電勢在結(jié)構(gòu)厚度方向是線性[4-5]或二次型[6-7]分布,只能適用于弱電場情況.假設(shè)電勢沿厚度方向呈線性分布,Panda等[8]以及Varelis等[9]建立了馮卡門型非線性有限元模型,但只適用于中等變形以及小轉(zhuǎn)角的情況;Lentzen等[10]建立了壓電薄壁結(jié)構(gòu)的中等轉(zhuǎn)角非線性模型;Kundu等[11]以及Dash等[12]基于Reissner-Mindlin的中等轉(zhuǎn)角假設(shè),建立了幾何全非線性模型;Zhang等[13-16]在大轉(zhuǎn)角假設(shè)下建立了壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)的大轉(zhuǎn)角變形非線性模型.

上述模型均基于線性壓電本構(gòu)關(guān)系,只適用于弱電場情況.當(dāng)施加強電場時,壓電材料會表現(xiàn)出較強的材料非線性,文獻[17-19]較早地對壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系進行了探究.之后,Yang等[20]建立了壓電陶瓷和壓電聚合物的材料非線性本構(gòu)方程.其他一些關(guān)于壓電材料非線性的數(shù)值分析和實驗可參見文獻[21-23].同時考慮兩類非線性,Yao等[24]基于馮卡門非線性,建立了一種強致動電壓下的智能結(jié)構(gòu)非線性模型,但并不適用于幾何大變形情況.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),已有研究大多只是單一地考慮電致材料非線性或幾何非線性.然而,在強電壓加載下,兩類非線性會同時發(fā)生.因此,為了對壓電智能結(jié)構(gòu)描述得更準(zhǔn)確,本工作同時考慮了兩類非線性,建立了壓電薄壁智能結(jié)構(gòu)在強電壓加載下的幾何大變形非線性有限元模型.在所建立的非線性模型中,采用了多種幾何非線性理論,并進行比較與計算,包括馮卡門非線性理論、中等轉(zhuǎn)角非線性理論以及大轉(zhuǎn)角非線性理論.模型首先通過已有研究的實驗數(shù)據(jù)進行了有效性驗證,之后利用模型對強致動電壓下的壓電智能板殼結(jié)構(gòu)進行了計算和仿真分析.

1 非線性理論

1.1 壓電材料非線性本構(gòu)方程

處在強致動電場下的彈性壓電材料的本構(gòu)方程[18]可表示為忽略厚度方向應(yīng)力,且電場只存在厚度方向,式(1)和(2)中的各系數(shù)為

在式(1)～(12)中: 下標(biāo)p,q表示1,2,4,5或6,m,n,k可以表示數(shù)字1,2或3;(ε1,ε2,ε6)和(σ1,σ2,σ6)分別表示面內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力;(ε4,ε5)和(σ4,σ5)表示橫向剪切應(yīng)變和應(yīng)力;Dm和En分別表示電位移和電場強度;spq,cpq,dmp和εmn分別表示柔度系數(shù)、剛度系數(shù)、壓電系數(shù)以及介電系數(shù);(β331,β332)和χ333分別表示非線性壓電系數(shù)和非線性介電系數(shù);Y1,Y2為楊氏模量;ν12,ν21為泊松比;G12,G13和G23為剪切模量;κ表示修正系數(shù)[16],取值5/6.

當(dāng)多層壓電材料和復(fù)合材料層合在一起時(見圖1),由于復(fù)合材料纖維之間存在夾角,需要通過轉(zhuǎn)換矩陣將復(fù)合-壓電材料層合結(jié)構(gòu)進行坐標(biāo)統(tǒng)一[25-26].因此,在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的本構(gòu)方程變?yōu)?/p>

圖1 復(fù)合壓電材料層合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of composite piezoelectric laminated structures

式中:σ,ε,D和E分別表示應(yīng)力向量、應(yīng)變向量、電位移向量和電場強度向量;c表示剛度矩陣;表示非線性電場強度矩陣;e和g分別表示壓電系數(shù)矩陣和介電常數(shù)矩陣;b和h分別表示非線性壓電系數(shù)矩陣和非線性介電系數(shù)矩陣.

1.2 幾何非線性理論

基于一階剪切變形假設(shè),薄壁結(jié)構(gòu)內(nèi)任意一點處的位移可表示為

假設(shè)結(jié)構(gòu)在變形時厚度不變,得到拉格朗日幾何非線性應(yīng)變張量[27-28]為

式中:εαβ和εα3分別表示面內(nèi)應(yīng)變和橫向剪切應(yīng)變.不同的非線性理論使式(17)和(18)中各應(yīng)變項表示的應(yīng)變位移關(guān)系也不同[16].考慮不同的應(yīng)變位移關(guān)系,可以得到不同的幾何線性和非線性板殼模型[13-14,25],例如5參數(shù)線性板殼模型(LIN5)、5參數(shù)修正馮卡門非線性板殼模型(RVK5)、5參數(shù)中等轉(zhuǎn)角非線性板殼模型(MRT5)、中等轉(zhuǎn)角假設(shè)下的幾何全非線性板殼模型(LRT5)以及6參數(shù)大轉(zhuǎn)角非線性板殼模型(LRT56).在施加強電壓(strong electric field,SE)的情況下,同時考慮幾何非線性,可得到相對應(yīng)的線性和非線性模型,記為LIN5SE,RVK5SE,MRT5SE,LRT5SE和LRT56SE.當(dāng)施加弱電壓(weak electric field,WE)時,則所建模型用LIN5WE,RVK5WE,MRT5WE,LRT5WE和LRT56WE表示.

本工作中的有限元模型是采用具有5自由度的8節(jié)點二次型單元來建立的.這5個自由度分別是3個平移自由度u,v,w和2個旋轉(zhuǎn)自由度?1,?2,如圖2所示.而對于有6個參數(shù)的LRT56模型來說,可以通過這5個自由度來表示

2 有限元模型

本工作所建模型考慮了壓電材料和幾何非線性,為了便于計算,需要進行線性化處理.在t+?t時刻,應(yīng)變和電場強度可表示為t時刻的值與增量之和,

圖2 單元自由度Fig.2 Degree of freedom for element

對應(yīng)變和電場強度分別求變分,可得

式中:Bu和Bφ分別表示應(yīng)變矩陣和電場矩陣;δ表示變分符號;φ表示電勢向量.

在t+?t時刻的內(nèi)力虛功可表示為

在t+?t時刻的外力虛功可表示為

式中:Wint和Wext分別表示內(nèi)力功和外力功;fb,fs和fc分別表示體力向量、面力向量和集中力向量;Q和Qc分別表示表面電荷強度向量和集中電荷強度向量.

根據(jù)哈密頓原理

可以得到壓電智能結(jié)構(gòu)非線性靜力平衡方程和傳感器方程為

式中:Kuu,Kuφ,Kφu以及Kφφ分別表示剛度矩陣、壓電耦合剛度矩陣、耦合容量矩陣和壓電容量矩陣;Fue,Fui,Gφe以及Gφi分別表示外力、平衡力、外加電荷以及平衡電荷;q,Φa和Φs分別表示節(jié)點位移向量、致動電壓向量和傳感器電壓向量.

3算 例

3.1 模型驗證

為了說明本模型的正確性,通過一種雙壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)(見圖3)進行驗證.該結(jié)構(gòu)首先由Wang等[28]提出并進行了實驗以及基于線性理論的計算,之后Yao等[29]基于壓電材料非線性和馮卡門幾何非線性理論對該結(jié)構(gòu)進行了理論計算.該結(jié)構(gòu)由兩片相同的壓電片粘合而成,極化方向相反,每片壓電片的結(jié)構(gòu)尺寸為35 mm×7 mm×0.5 mm,壓電材料選用型號為3203HD的壓電陶瓷,具體材料參數(shù)如表1所示.本工作提出的有限元模型將雙壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)劃分為10×2的8節(jié)點二維有限元網(wǎng)格.

圖3 雙壓電智能懸臂梁結(jié)構(gòu)Fig.3 Piezoelectric bimorph cantilevered smart beam

表1 材料參數(shù)Table 1 Material properties

對上下兩片壓電材料都從0 V開始每隔7.5 V在厚度方向施加一次電壓,最大達到75 V(即最大電場強度為150 V/mm),共10個電壓值.利用本工作提出的模型進行計算,得到結(jié)構(gòu)末端Θ3方向的位移,并與文獻[28-29]中的實驗值和理論計算值進行對比,結(jié)果如圖4所示.從圖中可以看出:LIN5SE模型計算值十分接近實驗值,且在較大的電壓值處重合;LIN5WE模型計算值與線性理論值也非常吻合.在小電壓范圍下線性結(jié)果與非線性結(jié)果接近,但當(dāng)電壓逐漸增大時,線性結(jié)果與非線性結(jié)果差值越來越大,不適用于大電壓情況.基于伯努利梁假設(shè),可以推導(dǎo)出懸臂梁幾何線性材料非線性下的末端厚度方向位移理論計算公式為

式中:w表示梁末端Θ3方向位移;l表示梁的長度;t表示雙壓電懸臂梁的總厚度.計算結(jié)果即理論值如表2所示.從表中可以看出,LIN5SE模型結(jié)果與理論計算值非常接近,最大偏差僅為3.32%.針對本工作所建模型,通過Abaqus軟件進行仿真來進一步驗證,結(jié)果如圖4所示,從圖中可以看出所建強電場耦合非線性模型得出的結(jié)果與已有研究結(jié)果和軟件非線性仿真結(jié)果更接近.上述結(jié)果說明了本模型的正確性,同時在一定程度上也說明了本模型具有更高的準(zhǔn)確性.

圖4 不同電場強度下結(jié)構(gòu)末端位移Fig.4 Tip displacement of bimorph under various voltages

表2 理論計算與模型末端厚度方向位移比較Table 2 Tip displacements by theoretical calculation and model

3.2 壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)仿真分析

3.2.1 平板結(jié)構(gòu)

采用如圖3所示的雙壓電智能懸臂梁,通過改變結(jié)構(gòu)厚度來分析所建模型機電耦合非線性的效果.保持結(jié)構(gòu)的長寬不變,材料不變,網(wǎng)格劃分不變,設(shè)定10組不同的厚度值,即每片壓電片從0.1 mm每隔0.1 mm遞增至1.0 mm,則總厚度從0.2 mm增加到2.0 mm.對10組厚度不同的結(jié)構(gòu)施加相同的電場強度400 V/mm,以懸臂梁末端的Θ3方向的位移進行比較,通過所建模型計算所得結(jié)果如圖5所示.

圖5不同厚度下的結(jié)構(gòu)末端位移Fig.5 Tip displacement of bimorph under various thickness

圖5 結(jié)果表明,電壓所致的材料非線性對結(jié)構(gòu)的變形影響巨大.圓圈所代表的材料非線性與虛線所代表的材料線性從數(shù)值以及變化趨勢上都有著顯著的差異.可以明確考慮電壓所致的材料非線性對結(jié)構(gòu)計算有重大影響.而在該結(jié)構(gòu)中,幾何非線性對結(jié)構(gòu)的相應(yīng)影響較小,如實線所表示的LRT56SE與僅考慮材料非線性的計算結(jié)果幾乎重疊.

3.2.2 半圓形殼體結(jié)構(gòu)

下面采用本工作提出的非線性模型,計算分析一端固定的半圓形殼體結(jié)構(gòu)(見圖6).圖中的半圓形結(jié)構(gòu)由中間的主體結(jié)構(gòu)和粘貼在主體結(jié)構(gòu)兩側(cè)的壓電材料層組成,主體結(jié)構(gòu)使用各向正交異性材料,由4層夾角分別為[45?/?45?]s的薄板層合而成,壓電材料完全覆蓋上下表面,極化方向朝外且相反.結(jié)構(gòu)中性面處的半徑為318.31 mm,寬度為50.8 mm,每層的厚度相同,為0.254 mm,即總厚度為1.524 mm.主體材料采用石墨環(huán)氧復(fù)合材料T300/976,壓電材料選用壓電陶瓷3203HD,材料參數(shù)如表1所示.結(jié)構(gòu)有限元網(wǎng)格劃分如圖6所示,劃分為10×1的8節(jié)點有限元網(wǎng)格,圖中PZT(piezoelectric ceramic)代表壓電陶瓷.

圖6 半圓形殼體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Schematic of semicircular cylindrical shell

分別向結(jié)構(gòu)上下表面的壓電材料施加381 V的電壓(即1 500V/mm電場強度),采用不同的非線性模型可以得到半圓形結(jié)構(gòu)曲面中心線上有限元節(jié)點處的位移如圖7所示,橫坐標(biāo)為單位化的半圓弧長度,縱坐標(biāo)分別為切向位移(hoop displacement)和法向位移(radial displacement).

圖7 半圓殼體結(jié)構(gòu)位移Fig.7 Displacement of semicircular cylindrical shell

從圖7中可以看出,在強電壓情況下,壓電材料非線性模型LIN5SE相比于線性模型LIN5WE所得結(jié)果差值很大,說明壓電材料線性本構(gòu)關(guān)系已不再適用.此外,不同幾何非線性模型的計算結(jié)果也存在著較大的差異,這是因為不同非線性理論所考慮的幾何非線性因素和程度均有所不同.在非線性壓電本構(gòu)關(guān)系下,馮卡門非線性模型(RVK5SE)考慮最簡化的非線性應(yīng)變位移關(guān)系,其非線性影響最不明顯,結(jié)果最接近線性計算結(jié)果.中等轉(zhuǎn)角簡化幾何非線性模型(MRT5SE)和中等轉(zhuǎn)角幾何全非線性模型(LRT5SE)所考慮的非線性非常相似,因此二者結(jié)果近似.在強電場下的6參數(shù)大轉(zhuǎn)角幾何全非線性模型(LRT56SE)不僅考慮了大轉(zhuǎn)角幾何全非線性,還考慮了壓電材料非線性本構(gòu)關(guān)系,相比之下結(jié)果最為準(zhǔn)確.

4 結(jié)論

(1)同時考慮電致材料非線性和幾何非線性,建立了壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)非線性有限元模型,并通過已有研究的實驗數(shù)據(jù)驗證了本模型的準(zhǔn)確性,表明本模型能準(zhǔn)確描述壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形大轉(zhuǎn)角的情況.

(2)電致材料非線性因素會影響壓電智能薄壁結(jié)構(gòu)在強電場下的變形,且通過仿真發(fā)現(xiàn)這種影響相當(dāng)大,不可忽略.

(3)基于一階剪切變形假設(shè),利用不同的幾何非線性模型(RVK5,MRT5,LRT5和LRT56)進行計算,其中基于LRT56的非線性模型考慮了大變形情況下的全幾何非線性,在大變形大轉(zhuǎn)角情況下結(jié)果更加準(zhǔn)確.