馮宇星，雒志學(xué)，胡永亮，梁麗宇

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

1 模型的建立

建立具有飽和發(fā)生率、恢復(fù)率和HollingⅡ功能反應(yīng)函數(shù)的生態(tài)流行病模型：

(1)

其中：S表示易感食餌；I表示染病食餌；Y表示捕食者；r表示內(nèi)稟增長(zhǎng)率；k表示環(huán)境容納量；β表示傳染率系數(shù)；α是抑制系數(shù)；γ表示庇護(hù)系數(shù)；c1,c2分別表示捕食者對(duì)染病食餌和易感食餌的捕食率系數(shù)；d1,d2分別表示染病食餌和捕食者的死亡率；δ表示染病食餌的恢復(fù)率；e(0

2 系統(tǒng)解的有界性

證明：定義函數(shù)N(t)

N(t)=S(t)+I(t)+Y(t).

該方程沿系統(tǒng)(1)的解關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)是

即:

由于

0d2,

故

定義方程

當(dāng)t>T時(shí)，由比較定理得

3 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

通過(guò)解下面方程組：

易求得系統(tǒng)(1)有以下平衡點(diǎn)：

定理3.1系統(tǒng)(1)的零平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

證明：系統(tǒng)(1)的線性化系統(tǒng)在點(diǎn)E0處的Jaccobi矩陣為

對(duì)于零平衡點(diǎn)E0，其Jaccobi矩陣的特征方程為

(λ-r)(λ+d1+δ)(λ+d2)=0.

顯然，該特征方程存在兩個(gè)負(fù)實(shí)根和一個(gè)正實(shí)根，故E0是一個(gè)鞍點(diǎn)，且不穩(wěn)定.

證明：系統(tǒng)(1)的線性化系統(tǒng)在邊界平衡點(diǎn)EK處的Jaccobi矩陣為

對(duì)于邊界平衡點(diǎn)EK，其Jaccobi矩陣的特征方程為

由此可得特征根為

當(dāng)R0<1，R1<1時(shí)，邊界平衡點(diǎn)EK將局部漸近穩(wěn)定，而當(dāng)R0>1或R1>1時(shí)，邊界平衡點(diǎn)EK不穩(wěn)定.

定理3.3當(dāng)R0<1，R1<1時(shí)，邊界平衡點(diǎn)EK全局漸近穩(wěn)定.

證明：構(gòu)造Liapunov函數(shù)V=eI+Y沿著系統(tǒng)(1)的軌線關(guān)于t求導(dǎo)得

且系統(tǒng)(1)在E中存在最大的不變集M=E={I=0,Y=0}再由LaSalle不變集原理可知，對(duì)于系統(tǒng)(1)的一切解均有

證明：模型(1)的線性化系統(tǒng)在點(diǎn)E*處的Jaccobi矩陣為

對(duì)于無(wú)病平衡點(diǎn)E*，其Jaccobi矩陣的特征方程為

證明：構(gòu)造Liapunov函數(shù)V=I沿著系統(tǒng)(1)的軌線關(guān)于t求導(dǎo)得

(2)

令t=(m+(1-γ)S)τ，則系統(tǒng)(2)化為

取Dulac函數(shù)B(S,Y)=S-1Yn-1，則有

現(xiàn)在只需要證明存在實(shí)數(shù)n，使得φ(S,n)≤0即Δ<0，即

再令

(λ-a33)(λ2-(a11+a22)λ+a11a22-a12a21)=0,

下面證明該平衡點(diǎn)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性.

構(gòu)造Liapunov函數(shù)V=Y沿著系統(tǒng)(1)的軌線關(guān)于t求導(dǎo)得

(3)

則

4 系統(tǒng)的一致續(xù)存

證明：考慮平均Liapunov函數(shù)V(S,I,Y)=Sα1Iα2Yα3(α1,α2,α3>0)則