李 濤，張幽彤，梁玉秀，楊 業(yè)，艾 強(qiáng)

（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081）

前言

輪轂電機(jī)技術(shù)將電機(jī)固定在車輪內(nèi)部，電機(jī)輸出的動(dòng)力直接作用在車輪上，具有傳動(dòng)效率高、轉(zhuǎn)矩分配靈活、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)［1-3］。軸向磁通永磁電機(jī)與傳統(tǒng)徑向磁通電機(jī)相比，具有功率密度大、效率高和軸向結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，作為輪轂電機(jī)具有明顯優(yōu)勢(shì)［4］。定子無磁軛模塊化結(jié)構(gòu)軸向磁通電機(jī)作為一種新型的輪轂電機(jī)，具有質(zhì)量輕、損耗小的優(yōu)點(diǎn)，有廣闊的發(fā)展前景［5］。

快速準(zhǔn)確地計(jì)算出電機(jī)的電磁特性是軸向磁通輪轂電機(jī)設(shè)計(jì)和優(yōu)化的關(guān)鍵，軸向磁通輪轂電機(jī)特殊的三維結(jié)構(gòu)使其無法像徑向電機(jī)一樣進(jìn)行簡單的二維有限元計(jì)算。三維有限元法［6］（FEM）可根據(jù)電機(jī)的實(shí)際結(jié)構(gòu)尺寸，精確地計(jì)算磁場(chǎng)分布，但其計(jì)算耗時(shí)長，占用計(jì)算機(jī)資源多，通常用來驗(yàn)證其它計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。解析法［7］通常假設(shè)一組圓柱形切片穿過電機(jī)，并將切片展開成多個(gè)二維直線電機(jī)形式進(jìn)行分析。該假設(shè)忽略了繞組的端部效應(yīng)，并認(rèn)為直線電機(jī)沿著徑向方向的尺寸為常量，但實(shí)際上軸向磁通輪轂電機(jī)沿任何方向的尺寸都是變化的，特別是當(dāng)永磁體采用斜極技術(shù)、定子齒采用斜槽技術(shù)或定轉(zhuǎn)子沿徑向方向尺寸不相等時(shí)，通過徑向切片建模的方法無法滿足精度要求。

磁場(chǎng)重構(gòu)法（FRM）可利用少量的靜態(tài)有限元計(jì)算獲得電樞勵(lì)磁和永磁體勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密分布，建立定子和轉(zhuǎn)子的基礎(chǔ)函數(shù)組，根據(jù)勵(lì)磁電流的大小與轉(zhuǎn)子位置的不同對(duì)氣隙磁密進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)而獲得電機(jī)的電磁性能參數(shù)，包括電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)等，能避免電機(jī)等效模型不精確所帶來的精度問題，同時(shí)可明顯改善運(yùn)算速度。目前，采用二維磁場(chǎng)重構(gòu)法對(duì)不同類型徑向磁通輪轂電機(jī)的電磁性能研究較為成熟。文獻(xiàn)［8］～文獻(xiàn)［10］中采用二維磁場(chǎng)重構(gòu)法對(duì)永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和徑向電磁力波進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［11］中采用二維磁場(chǎng)重構(gòu)法對(duì)感應(yīng)電機(jī)的磁密分布和電磁力進(jìn)行了計(jì)算。文獻(xiàn)［12］中以轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)為優(yōu)化目標(biāo)，提出了一種基于二維磁場(chǎng)重構(gòu)法的雙饋電機(jī)轉(zhuǎn)子電流的優(yōu)化方法。與徑向磁通電機(jī)不同，軸向磁通輪轂電機(jī)具有三維結(jié)構(gòu)特性，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)多，定轉(zhuǎn)子數(shù)量也各不相同。文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［14］中采用三維磁場(chǎng)重構(gòu)法對(duì)單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通電機(jī)進(jìn)行研究，計(jì)算了永磁體退磁、轉(zhuǎn)子偏心等故障下電機(jī)的電磁特性。文獻(xiàn)［15］中采用三維磁場(chǎng)重構(gòu)法對(duì)考慮平行槽效應(yīng)和永磁體伸出結(jié)構(gòu)的單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通輪轂電機(jī)進(jìn)行了研究。與單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通輪轂電機(jī)相比，定子無磁軛模塊化結(jié)構(gòu)采用雙轉(zhuǎn)子進(jìn)行永磁體勵(lì)磁，并去掉了定子軛，使電機(jī)的磁路結(jié)構(gòu)、氣隙數(shù)、繞組方式均發(fā)生了變化，三維磁場(chǎng)重構(gòu)法在該類型電機(jī)上的應(yīng)用還鮮有報(bào)道。本文中以一臺(tái)基于非晶合金定子齒的無磁軛模塊化軸向磁通輪轂電機(jī)為樣機(jī)，采用三維磁場(chǎng)重構(gòu)法對(duì)該輪轂電機(jī)的氣隙磁密進(jìn)行重構(gòu)計(jì)算，結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力張量法對(duì)電磁力和電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行計(jì)算，分析了磁鏈和反電動(dòng)勢(shì)波形，并與三維瞬態(tài)有限元法計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算時(shí)間進(jìn)行了對(duì)比。

1 軸向磁通輪轂電機(jī)結(jié)構(gòu)

本文中以一臺(tái)三相、24極、27槽的軸向磁通輪轂電機(jī)為研究對(duì)象，樣機(jī)三維模型如圖1所示。定子齒采用非晶合金材料1k101卷繞而成，齒頂部為開槽結(jié)構(gòu)，橫截面為空心圓形。圖2為定子繞組和磁極的分布方式，繞組采用分?jǐn)?shù)槽集中繞組，A、B、C為順時(shí)針環(huán)繞，a、b、c為逆時(shí)針環(huán)繞，不同的箭頭方向分別代表永磁體磁極的N極和S極。鐵心與繞組之間注入環(huán)氧樹脂，起到固定和絕緣的作用。永磁體采用釹鐵硼材料N38EH，為減小齒槽轉(zhuǎn)矩，永磁體采用圓形斜極，其位置通過轉(zhuǎn)子背鐵和轉(zhuǎn)子支架進(jìn)行固定，以防止永磁體在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)移動(dòng)。定子支架、轉(zhuǎn)子支架以及轉(zhuǎn)子軸為不導(dǎo)磁材料，建模時(shí)忽略。電機(jī)主要的尺寸參數(shù)如表1所示，該電機(jī)由3個(gè)單元電機(jī)構(gòu)成，每個(gè)單元電機(jī)為8極，9槽。

圖1 樣機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 繞組分布與磁極

表1 軸向磁通輪轂電機(jī)主要參數(shù)

2 軸向磁通輪轂電機(jī)的三維磁場(chǎng)重構(gòu)法

2.1 算法簡介與假設(shè)

三維磁場(chǎng)重構(gòu)法以靜態(tài)三維有限元計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)，通過靜態(tài)求解器分別計(jì)算單元電機(jī)通入單位電流I0、單相電樞勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密和不同轉(zhuǎn)子位置處永磁體勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密，將兩者的計(jì)算結(jié)果分解為徑向、切向和軸向氣隙磁密分量Br、Bφ和Bz，如圖3所示，并將這些氣隙磁密分量作為基礎(chǔ)函數(shù)組進(jìn)行存儲(chǔ)，然后利用基礎(chǔ)函數(shù)組對(duì)任意勵(lì)磁電流和轉(zhuǎn)子位置下各向氣隙磁密進(jìn)行重構(gòu)，獲得氣隙平面的合成磁密，進(jìn)而計(jì)算電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩、電磁力和反電動(dòng)勢(shì)等電磁特性。

圖3 電機(jī)轉(zhuǎn)子和氣隙磁密分量

建模時(shí)進(jìn)行如下假設(shè)：

（1）忽略損耗與溫升對(duì)電機(jī)的影響；

（2）電機(jī)工作在線性區(qū)域，定子齒和轉(zhuǎn)子背鐵的磁導(dǎo)率無限大，氣隙磁密可線性疊加；

（3）忽略變頻器產(chǎn)生的時(shí)間諧波電流；

（4）為方便基礎(chǔ)函數(shù)組的存儲(chǔ)，對(duì)氣隙平面進(jìn)行離散化假設(shè)。

圖3中所示的氣隙平面與非晶合金定子齒和永磁體的距離相等，該圓環(huán)面的內(nèi)外徑與轉(zhuǎn)子的內(nèi)外徑相等。假設(shè)將氣隙平面沿徑向方向由內(nèi)徑Ri至外徑Ro劃分為M層，沿切向方向由0至2π／k劃分為N段，每段弧長為2π／kN，k為單元電機(jī)數(shù)。因此，單元電機(jī)各向氣隙磁密可通過M×N的陣列進(jìn)行存儲(chǔ)。如徑向氣隙磁密矩陣中第m行第n列的值用來表示半徑為r、偏轉(zhuǎn)角度為φ處的徑向氣隙磁密值。其中：

2.2 定子基礎(chǔ)函數(shù)組

定子繞組產(chǎn)生的磁場(chǎng)是各定子槽電流勵(lì)磁時(shí)產(chǎn)生的合成磁場(chǎng)。由于A相、B相和C相的電流是對(duì)稱的，且B相和C相分別超前于A相2π／3和4π／3電角度，為提高計(jì)算速度，僅對(duì)單元電機(jī)單相繞組勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密進(jìn)行計(jì)算，通過相移即可獲得其他兩相電流勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密。單相繞組勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密通過三維靜態(tài)有限元法獲得，建模時(shí)需忽略永磁體勵(lì)磁。由于假設(shè)電機(jī)工作在線性區(qū)域，電流幅值的選取與定子基礎(chǔ)函數(shù)組無關(guān)，為了方便計(jì)算，設(shè)置初始勵(lì)磁電流I0為1 A。樣機(jī)采用表貼式永磁體結(jié)構(gòu)，永磁體的磁導(dǎo)率與空氣的磁導(dǎo)率接近，可認(rèn)為定子繞組產(chǎn)生的氣隙磁密不受轉(zhuǎn)子位置的影響。將單位電流勵(lì)磁時(shí)引起的單元電機(jī)徑向、切向和軸向氣隙磁密作為定子基礎(chǔ)函數(shù)組，分別用hrs、hφs和hzs表示：

式中：Brs、Bφs和 Bzs分別為電樞勵(lì)磁時(shí)沿徑向、切向和軸向的氣隙磁密分量；ia、ib和ic分別為三相電流。計(jì)算可得單相繞組勵(lì)磁時(shí)單元電機(jī)的氣隙磁密云圖，如圖4所示，提取氣隙磁密時(shí)須通過式（4）和式（5）將直角坐標(biāo)系下的氣隙磁密Bx和By轉(zhuǎn)換為沿徑向和切向的柱坐標(biāo)系下的氣隙磁密Br和Bφ并存儲(chǔ)。

2.3 轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)函數(shù)組

圖4 單相電流勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密云圖

由于非晶合金材料具有硬、脆、薄的物理特性，不易對(duì)定子齒頂部進(jìn)行加工，通常設(shè)計(jì)為開槽結(jié)構(gòu)。因此，建立轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)函數(shù)組時(shí)必須考慮定子的開槽效應(yīng)，須通過三維靜態(tài)有限元法獲得不同轉(zhuǎn)子位置θr處的氣隙磁密。設(shè)置定子的三相繞組均為開路狀態(tài)，永磁體勵(lì)磁時(shí)的轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)函數(shù)組和可表示為

式中：BrPM、BφPM和BzPM分別為永磁體勵(lì)磁時(shí)沿徑向、切向和軸向的氣隙磁密分量；q為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)系數(shù)。轉(zhuǎn)子位置θr的表達(dá)式為

式中Nq為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位置數(shù)。提取不同轉(zhuǎn)子位置處單元電機(jī)永磁體勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密并進(jìn)行存儲(chǔ)，當(dāng)θr＝0時(shí)的氣隙磁密云圖如圖5所示。

圖5 永磁體勵(lì)磁時(shí)的氣隙磁密云圖

2.4 氣隙磁場(chǎng)重構(gòu)

三維磁場(chǎng)重構(gòu)法的算法流程圖如圖6所示。由已存儲(chǔ)的定轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)函數(shù)組通過線性疊加分別獲得單元電機(jī)沿徑向、切向和軸向的磁密分量Br、Bφ和Bz，可表示為

圖6 三維磁場(chǎng)重構(gòu)法流程圖

圖6 中的Imax和f分別為勵(lì)磁電流的幅值和頻率，在每一個(gè)電周期內(nèi)選取Ni個(gè)時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，其取值必須滿足勵(lì)磁電流波形要求。為了保證轉(zhuǎn)子位置θr和勵(lì)磁電流時(shí)間t同步更新，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位置數(shù)Nq和單位電周期內(nèi)時(shí)間點(diǎn)選取數(shù)Ni應(yīng)當(dāng)滿足如下關(guān)系：

2.5 電磁力與轉(zhuǎn)矩計(jì)算

麥克斯韋應(yīng)力張量法是用等效的面積力代替體積力的一種方法。將磁場(chǎng)重構(gòu)后的氣隙磁密計(jì)算結(jié)果帶入麥克斯韋張量方程，即可得到單側(cè)氣隙的電磁力密度沿徑向、切向和軸向的分量fr、frφ和

式中μ0為真空磁導(dǎo)率，其值為4π×10-7H／m。由式（14）～式（16）可求出離散化后氣隙平面內(nèi)任意一個(gè)子面域的三向電磁力密度。徑向電磁力Fr由繞組端部與永磁體相互作用而產(chǎn)生，可認(rèn)為是轉(zhuǎn)子的內(nèi)應(yīng)力，通常用來校核轉(zhuǎn)子支架強(qiáng)度。沿軸向的單側(cè)轉(zhuǎn)子電磁力Fz可表示為

軸向電磁力Fz產(chǎn)生軸向不平衡磁拉力，通常用來校核軸承的軸向載荷，由于樣機(jī)采用雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，定子上受到的軸向電磁力合力為零，轉(zhuǎn)子上受到的軸向電磁力通常較大。

切向電磁力Fφ產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩Te，通過轉(zhuǎn)子軸直接作用于車輪上。針對(duì)定子無磁軛模塊化結(jié)構(gòu)雙轉(zhuǎn)子雙氣隙特點(diǎn)，電磁轉(zhuǎn)矩Te的表達(dá)式為

由于定子和轉(zhuǎn)子無法單獨(dú)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，式（18）可簡化為

當(dāng)電機(jī)空載時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩Tcog可表示為

2.6 磁鏈與反電動(dòng)勢(shì)計(jì)算

進(jìn)入定子齒的磁通線大多數(shù)會(huì)通過圖7中設(shè)定的氣隙平面，少量的磁通線會(huì)通過定子齒的齒間傳遞而不經(jīng)過氣隙平面，忽略這一部分齒間傳遞，通入單相電流時(shí)定子的磁通量可以通過氣隙磁密進(jìn)行計(jì)算。

圖7 定子齒對(duì)應(yīng)的氣隙平面

根據(jù)重構(gòu)后的軸向氣隙磁密Bz，可獲得軸向磁通量Φz(mì)：

A相的總磁鏈ψa可由下式計(jì)算：

式中Na（φ）為A相繞組函數(shù)。樣機(jī)的A相繞組函數(shù)如圖8所示，繞組匝數(shù)N的取值見表1。

A相的反電動(dòng)勢(shì)Vemfa可由下式計(jì)算：

同理，B相和C相的磁鏈和反電動(dòng)勢(shì)可通過移相獲得。

圖8 A相繞組函數(shù)

3 模型驗(yàn)證與結(jié)果討論

利用ANSYSMaxwell搭建軸向磁通輪轂電機(jī)的單元電機(jī)三維有限元模型，如圖9所示。其中，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位置數(shù)Nq和單位電周期內(nèi)時(shí)間點(diǎn)選取數(shù)Ni均為30，即轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)1°機(jī)械角度，對(duì)氣隙磁密進(jìn)行一次存儲(chǔ)。設(shè)氣隙平面徑向?qū)訑?shù)M為30層，切向段數(shù)N為240段，采用IDLE完成定轉(zhuǎn)子基礎(chǔ)函數(shù)組的提取。采用MATLAB完成三維磁場(chǎng)重構(gòu)法程序設(shè)計(jì)。磁場(chǎng)重構(gòu)后氣隙磁密的準(zhǔn)確性決定了輪轂電機(jī)電磁性能的準(zhǔn)確性，采用動(dòng)態(tài)有限元法對(duì)氣隙磁密的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)置單位時(shí)間步長為0.15 ms。為了方便比較，選取層數(shù)m為1層、6層、11層和16層時(shí)的重構(gòu)氣隙磁密與動(dòng)態(tài)有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖10所示。由于磁場(chǎng)重構(gòu)法基于電機(jī)的實(shí)際結(jié)構(gòu)尺寸、材料和電氣參數(shù)進(jìn)行建模，能夠反映出較為復(fù)雜的定子齒形狀和永磁體斜極對(duì)氣隙磁密所造成的影響。同時(shí)，由圖10可知，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)位置數(shù)Nq和單位電周期內(nèi)時(shí)間點(diǎn)選取數(shù)Ni的取值較為合理，除個(gè)別點(diǎn)的氣隙磁密稍有差異外，整體趨勢(shì)與瞬態(tài)有限元計(jì)算結(jié)果所得非常接近。

圖9 單元電機(jī)有限元模型

圖11 和圖12分別為單側(cè)轉(zhuǎn)子軸向電磁力和電磁轉(zhuǎn)矩的結(jié)果對(duì)比圖。采用磁場(chǎng)重構(gòu)法獲得的單側(cè)轉(zhuǎn)子軸向電磁力平均值為2 313 N，與有限元計(jì)算值2 344 N相比，誤差約為1.3%。另一側(cè)轉(zhuǎn)子受到大小相等、方向相反的軸向電磁力。采用磁場(chǎng)重構(gòu)法獲得的電磁轉(zhuǎn)矩平均值為19 N·m，與有限元結(jié)果19.6 N·m相比，誤差約為 3%，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)為1.4 N·m，與有限元結(jié)果1.9 N·m相比，誤差約為26%。值得注意的是，本文中研究所用的輪轂電機(jī)采用了永磁體斜極、定子斜槽和分?jǐn)?shù)槽集中繞組等齒槽轉(zhuǎn)矩削弱技術(shù)，齒槽轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率高且幅值小，無論通過磁場(chǎng)重構(gòu)法或是有限元法都很難獲得準(zhǔn)確的齒槽轉(zhuǎn)矩波形。

圖10 不同層數(shù)處磁場(chǎng)重構(gòu)法與有限元法各向氣隙磁密計(jì)算值對(duì)比圖

圖11 單邊轉(zhuǎn)子軸向電磁力結(jié)果對(duì)比

圖12 電磁轉(zhuǎn)矩結(jié)果對(duì)比

圖13 和圖14分別為A相磁鏈和反電動(dòng)勢(shì)計(jì)算值對(duì)比圖。對(duì)圖14（a）中A相反電動(dòng)勢(shì)波形進(jìn)行快速傅里葉變換，得到各次諧波幅值圖如圖14（b）所示。各次諧波幅值與瞬態(tài)有限元計(jì)算結(jié)果基本相等，反電動(dòng)勢(shì)基波幅值為53 V，主要諧波為三次諧波，幅值為7 V，總諧波畸變率為16%。

圖13 A相磁鏈結(jié)果對(duì)比

三維磁場(chǎng)重構(gòu)法與三維瞬態(tài)有限元法網(wǎng)格數(shù)量與計(jì)算時(shí)間對(duì)比如表2所示。三維磁場(chǎng)重構(gòu)法的計(jì)算時(shí)間顯著快于有限元法，其中計(jì)算時(shí)間并未包含模型的準(zhǔn)備時(shí)間。三維磁場(chǎng)重構(gòu)法計(jì)算的單元數(shù)量相當(dāng)于一個(gè)氣隙平面的網(wǎng)格數(shù)，顯著少于三維瞬態(tài)有限元法的網(wǎng)格數(shù)，而且三維磁場(chǎng)重構(gòu)法計(jì)算每個(gè)時(shí)間步長只須在靜態(tài)有限元結(jié)果的基礎(chǔ)上線性疊加，而三維瞬態(tài)有限元法每個(gè)時(shí)間步長都須重復(fù)一次完整的有限元計(jì)算，這是三維磁場(chǎng)重構(gòu)法速度大幅提升的重要原因。

圖14 A相反電動(dòng)勢(shì)結(jié)果對(duì)比

表2 計(jì)算時(shí)間對(duì)比

4 結(jié)論

（1）本文中提出了一種適用于定子無磁軛模塊化軸向磁通輪轂電機(jī)的三維磁場(chǎng)重構(gòu)法，結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力張量法和磁鏈計(jì)算法得到了給定勵(lì)磁電流和初始位置角下輪轂電機(jī)的電磁特性。

（2）與三維瞬態(tài)有限元法的計(jì)算結(jié)果相比，三維磁場(chǎng)重構(gòu)法能準(zhǔn)確計(jì)算電磁特性的同時(shí)，顯著減少了計(jì)算時(shí)間，能準(zhǔn)確高效地預(yù)測(cè)輪轂電機(jī)的電磁特性。