李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

函數(shù)零點(diǎn)是高考重點(diǎn)考查的問題，函數(shù)零點(diǎn)與相關(guān)知識(shí)的綜合更是高考?jí)狠S題時(shí)常出現(xiàn)的題目，所以搞清零點(diǎn)的概念，研究零點(diǎn)問題的題型，探究零點(diǎn)問題解題思考就顯得十分重要.下面通過一些示例說明零點(diǎn)問題的題型和解決零點(diǎn)問題的思考.

一、零點(diǎn)唯一性問題

從題型角度講，一是判斷、證明有唯一零點(diǎn)；二是已知零點(diǎn)唯一，求參數(shù)、解決不等式等問題.解題思考：函數(shù)曲線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).由此引出兩種思考：曲線單調(diào)性僅一次穿越x軸；或曲線與x軸相切(切于極值點(diǎn)).

例1 (2018年全國(guó)二卷 理第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

略解問題(1)略.

問題(2)，f′(x)=ex-2ax；f″(x)=ex-2a.

a≤0時(shí)，f(x)=ex-ax2>0，所以，不合題意.

a>0時(shí)，

設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x,f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．h′(x)=ax(x-2)e-x．

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，h′(x)>0.

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．

二、零點(diǎn)與方程的根

函數(shù)的零點(diǎn)就是該函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，從這個(gè)意義上講，可以從解方程角度求解零點(diǎn)問題，也可以從函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)，即數(shù)形結(jié)合角度求解零點(diǎn)問題.

例2 (2013年全國(guó)二卷 理第10題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )．

A．?x0∈R,f(x0)=0

B．函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-,x0)單調(diào)遞減

D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)=0.

略解若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則x0是方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的一個(gè)實(shí)根，設(shè)另一實(shí)根為x1，則x1是f(x)的極大值點(diǎn).由已知得f(x)在(-,x1)是增函數(shù)，在(x1,x0)是減函數(shù)，在(x0,+)是增函數(shù)，所以答案選C.

另：此題用淘汰法做更簡(jiǎn)捷.

三、零點(diǎn)存在性問題

零點(diǎn)的存在性問題有別于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，此類問題核心是有，多少并不重要.所以，可以從單調(diào)性、解方程、數(shù)形結(jié)合、極值點(diǎn)、零點(diǎn)化簡(jiǎn)代換等各層面來(lái)思考問題的解決.

(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)設(shè)x0為f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

略解(1)f(x)在(0,1)、(1,+)上為增函數(shù).由于f(x)在(0,1)上為連續(xù)的增函數(shù)，所以，f(x)在(0,1)上只有一個(gè)零點(diǎn).同理f(x)在(1,+)只有一個(gè)零點(diǎn)，因此f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

四、零點(diǎn)與極值點(diǎn)問題

零點(diǎn)與極值點(diǎn)問題的兩個(gè)方面：函數(shù)極值點(diǎn)就是其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)圖象與x軸相切于極值點(diǎn)則極值點(diǎn)就是函數(shù)零點(diǎn).由此，我們可以從零點(diǎn)角度思考極值點(diǎn)，也可從極值點(diǎn)角度思考零點(diǎn)，所以處理零點(diǎn)問題的思考也可以借鑒到極值點(diǎn)問題上來(lái).

例4 (2017年全國(guó)二卷 理第11題)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為( ).

A.-1 B.-2e3C.5e3D.1

略解因?yàn)閤=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn)，所以x=-2是導(dǎo)數(shù)f′(x)=[x2+(2+a)x+a-1]ex-1的零點(diǎn).所以，f′(-2)=0,即(-2)2-2×(a+2)+a-1=0，解之，a=-1.

又由f′(x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1=0，得零點(diǎn)x=-2，x=1.而x<-2時(shí)，f(x)為增函數(shù);-21時(shí)，f(x)為增函數(shù).所以，極小值為f(1)=-1.選A.

例5 (2017年 全國(guó)一卷 第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

略解(1)由已知得f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(ex+1).

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=(aex-1)(ex+1)≤0恒成立，故而函數(shù)恒遞減.

五、借助零點(diǎn)解(證明)某些特殊不等式

借助零點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性可以解決特殊不等式(>0,<0)的求解問題.一般做法研究單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合確定曲線形態(tài)，用觀察法、解方程等找零點(diǎn)等，特別是超越不等式用此解決的比較多.

六、已知零點(diǎn)求參數(shù)問題

已知零點(diǎn)求參數(shù)問題解法，一是借助數(shù)形結(jié)合；二是借助求極值(最值)的方法.這些求解方法如何運(yùn)用關(guān)鍵還是要具體問題具體分析.

略解x≤0時(shí)，g′(x)=ex+1>0，所以，g(x)在(-,0]是增函數(shù).x>0時(shí)，所以g(x)在(0,+)是增函數(shù).由已知方程g(x)=f(x)+x+a=0有兩根，即f(x)=-x-a有兩根，由數(shù)形結(jié)合知a≥-1.

例8 (2017年全國(guó)三卷 第11題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn)，則a=( ).

略解設(shè)t=x-1，則原命題等價(jià)于f(t)=t2-1+a(et+e-t)有唯一零點(diǎn).

例9 (2014年全國(guó)一卷 理第11題)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍為( ).

略解a=0時(shí)，f(x)=-3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn).不合題意.

a<0時(shí)，同理，解得a<-2， 所以選B.

七、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)與判斷零點(diǎn)存在的性的區(qū)別是要指出何時(shí)有無(wú)零點(diǎn)、幾個(gè)零點(diǎn)，解決問題的方法是一樣的.

(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x) 的切線；

(2)用min{m,n} 表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

對(duì)于問題(2)，注意到函數(shù)定義域是x>0.由于f′(x)=3x2+a，a≥0時(shí)，f(x)在(0,+)是增函數(shù)，且顯然g(x)=-lnx在(0,+)有一個(gè)零點(diǎn).而x≥1時(shí)，f(x)>g(x)，所以此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn).

a<0時(shí)，類似上述討論即可解決.

八、代換法解決零點(diǎn)問題

代換的目的是簡(jiǎn)化題目，通過代換分解解題步驟，層層剝離，達(dá)到降低難度的目的.另外此種方法也可用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題.

略解由于函數(shù)y=f(x)是定義域R上的偶函數(shù)，所以f(x)在(-,-2)和(0,2)上遞增，在(-2,0)和(2,+)上遞減.

設(shè)t=f(x)，則方程[f(x)]2+af(x)+b=0轉(zhuǎn)化為：t2+at+b=0.

九、借助零點(diǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn)代換

函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0即滿足f(x0)=0，借助零點(diǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn)代換的含義就是在解題過程中，如果x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，則可以思考是否需要借助f(x0)整體與0的互相代換，或其式子(變式)f(x0)與0的互相代換去解決問題.

例12 (2016年 全國(guó)一卷 理第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2．

略解(1)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)ex，所以，函數(shù)無(wú)兩個(gè)零點(diǎn).

a>0時(shí)f′(x)=(x-1)(ex+2a).x=1是f(x)極小值點(diǎn)，且f(1)=-e<0，顯然此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(2)不妨設(shè)x1

由于函數(shù)f(x)在x∈(-,1)上為減函數(shù)，

所以要證明x1+x2<2，即x1<2-x2.由于函數(shù)f(x)在x∈(-,1)上為減函數(shù)，只需證明f(x1)>f(2-x2).注意到x1是零點(diǎn)，有f(x1)=0，即只需證0>f(2-x2).注意到此時(shí)有f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，即只需證明：f(2-x2)=-x2e2-x2-a<0,x2>1.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=-xe2-x-a(1-x)2(x>1)，顯然可證g(x)<0.所以有x1+x2<2

例13 (2019年全國(guó)一卷 第20題)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)導(dǎo)函數(shù)，證明：

(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

(2)函數(shù)定義域?yàn)閤>-1.

所以，綜合上述知f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

以上是就函數(shù)零點(diǎn)題型、解題思考進(jìn)行一些探索，給出了一些解法，由于解方程和簡(jiǎn)單數(shù)形結(jié)合處理問題比較簡(jiǎn)單，限于篇幅沒有陳述，請(qǐng)讀者自行查閱教材.