梅鳳翔

(北京理工大學(xué)力學(xué)系，北京100081)

1 Noether的“不變變分問題”

本節(jié)介紹Noether 生平，一本關(guān)于Noether 定理的科學(xué)史書，Noether論文的翻譯，Noether的兩個定理及其起源，Noether定理和Noether思想的傳播等。

1.1 Noether生平

Noether Emmy (1882-1935)，漢譯諾特，德國女?dāng)?shù)學(xué)家。自稱巴伐利亞族，以色列人。生于埃爾蘭根(Erlangen)，其父是德國數(shù)學(xué)家Noether Max(1844-1921)。1897 年入埃爾蘭根女子學(xué)院，1900 年入埃爾蘭根大學(xué)，1904年正式注冊為大學(xué)生。1907年在不變量理論的著名專家Gordan P (1837-1912)指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位，學(xué)位論文為“三元雙二次形的形式系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)”。1915 年應(yīng)邀赴格丁根(G?ttingen)大學(xué)工作，在希爾伯特(Hilbert D, 1862-1943)和克萊因(Klein F, 1849-1925)的支持下，1919 年成為格丁根大學(xué)的講師，1922 年成為編外副教授，1928-1929 年應(yīng)邀赴莫斯科大學(xué)講學(xué)，并出席第八屆國際數(shù)學(xué)家代表大會，1933 年10 月因納粹政府迫害移居美國，任布林·莫爾(Bryn Mawr)女子學(xué)院教授，1934 年起在普林斯頓高級研究所工作。從1907年至1929年用德文發(fā)表17篇重要論文。她是抽象代數(shù)的奠基人之一，她最重要的論文是“不變變分問題” (Invariante Variationsprobleme，1918)，由此才有了Noether對稱性，Noether定理等。

1.2 介紹一本科學(xué)史書

Kosmann-Schwarzbach Y 于2011 年 出 版 英 文書《Noether 定理：20 世紀(jì)不變性與守恒律》[1]. 這本書的法文版于2004 年和2006 年由巴黎綜合工科學(xué)校出版，法文書名為Les Théorèmes de Noether.Invariance et lois de conservation au XXesiècle。本書分兩部分，第一部分為Noether “不變變分問題”的英譯。第二部分為“20 世紀(jì)不變性與守恒律：Noether定理的起源與承認(rèn)”，包括7小節(jié)：

(1) Noether定理的起源；

(2) Noether定理；

(3) 用現(xiàn)代和科學(xué)史來看Noether定理；

(4) Noether 思想的傳播，從Bessel-Hagen 到Hill，1921-1951；

(5) 1950年后Noether第一定理的承認(rèn)；

(6) 1950年后Noether第二定理的承認(rèn)；

(7) 1970年后--純正的推廣。

書后附錄5個：

(1) 1918 年2 月15 日Noether 給Klein 的 明信片；

(2) 1918年3月12日Noether給Klein的信；

(3) 1921年3月8日Klein給Pauli的信；

(3) 1926年1月7日Noether給Einstein的信；

(5) 給G?ttingen數(shù)學(xué)學(xué)會的信。

這本書是研究Noether 定理的科學(xué)史，史料較齊全，觀點正確，值得一讀。資料顯示作者在1979-1987年的工作涉及非線性偏微分方程的廣義對稱性，場論中的動量映射，纖維流形上的矢量場等。這本書沒有提到中國學(xué)者的相關(guān)工作，說明當(dāng)時中國學(xué)者的工作影響力還不夠。

1.3 “不變變分問題”的翻譯

Noether 的 重 要 論 文 Invariante Variationsprobleme[2]被譯成俄文，英文，法文，意大利文和中文。

俄文本出現(xiàn)于Polak LS 1959 年的俄文書《力學(xué)的變分原理》(Пoлaк Л С. Бaриaциoнныe Принципы Meхaники. Moсквa: ГИФMЛ, 1959)中, Эмми Neтeр. Инвaриaнтныe Бaриaциoнныe Зaдaч. 由Жaркoв Д Б 翻譯。

英文本于1971 年由Tavel MA 翻譯為Invariant variational problems (Transport Theory and Statistical Physics，1971，1(3): 186-207)。

法文本是Kosmann-Schwarzbach 的書，2004 年出版。

意大利文本于1960—1990年間由Tonti E 翻譯。

中文本于2005 年由梅鳳翔根據(jù)俄文本翻譯，發(fā)表在《力學(xué)進(jìn)展》上(2005, 35(1)：116-124)。

一篇論文被譯成多種文字反映了Noether 定理的認(rèn)可度和重要性。

1.4 Noether的兩個定理

Noether 在其“不變變分問題”中給出了兩個定

理[2].

定理1 如果積分I在群Gρ下是不變的，那么在成為散度的Lagrange表示之間存在ρ個非線性獨立組合，反之亦然，這意味著I在群Gρ下是不變的。定理在無限個參數(shù)下的極限情形也成立。

定理2 如果積分I在依賴于ρ個任意函數(shù)及其至σ階導(dǎo)數(shù)的群G∞ρ下是不變的，那么在Lagrange表示及其至σ階導(dǎo)數(shù)之間存在ρ個等式。反之亦然。

兩個定理中的積分I是指高階Lagrange 函數(shù)f的多重積分

函數(shù)f是n個獨立變量x1,···,xλ,···,xn和μ個依賴變量u1,···,ui,···,uμ及其至某固定k階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。

Noether 兩個定理非常重要、非常普遍，被認(rèn)為是變分原理中最重要的兩個。Noether第一定理給出對稱性(不變性)與守恒量(不變量)之間的關(guān)系，對數(shù)學(xué)，力學(xué)和物理學(xué)尤為重要。Noether 定理由于變量多，函數(shù)多，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)多，而不易讀懂。

1.5 Noether定理的起源

Noether 回答了關(guān)于對稱性與守恒律的兩個定理的一些數(shù)學(xué)問題，這些問題是由Einstein 提出廣義相對論的一般協(xié)變方程以及由Hilbert 和Klein 尋求新的物理理論而引起的[1]。他們或用于解釋新理論中能量-動量張量守恒問題，或使之與已出現(xiàn)的能量守恒律的提法相符合。Noether第一定理使力學(xué)和當(dāng)時已知的狹義相對論中守恒定理得到廣泛推廣。利用連續(xù)變換群的Lie理論，她將微分不變量理論應(yīng)用于物理的變分方程，提出了特別重要的一般結(jié)果。

1.6 Noether定理和Noether思想的傳播

文獻(xiàn)[1]指出，1950 年之后Noether 定理才得到認(rèn)可。 在Noether 文章發(fā)表后的三年間僅有Bessel-Hagen 的 論 文(1921)，Weitzenb?ck 的 不 變量理論著作(1923)以及Caurant 和Hilbert 的手冊(1924)涉及Noether 的工作。其后有20 世紀(jì)30 年代關(guān)于量子力學(xué)的文獻(xiàn)以及Hill 1951 年的文章。1950-1980 年在數(shù)學(xué)和力學(xué)方面涉及Noether 定理的文獻(xiàn)[1]列舉了如下18篇(部)。

(1) Ge?fand IM (1913-2009)和Fomin SV(1917-1975) 1961 年的俄文書《變分法》，1963 年被譯成英文，書中給出變分法的近代表述及其對物理和力學(xué)的應(yīng)用，指出Maxwell 方程實際上是變換的15 參數(shù)族(群)下的不變量，即存在5 個守恒律以及由Lorentz 群下方程的不變性導(dǎo)致的10 個守恒律。書中介紹了簡單積分的Noether 第一定理，在英文版中涉及Noether第二定理。

(2) Funk P (1886-1969)，Hilbert 的學(xué)生，于1962 年出版德文書《變分法及其在物理和技術(shù)中的應(yīng)用》并提到Noether的兩個定理。

(3) Souriau JM 在1964 年的法文書《幾何與相對論》中寫道：“設(shè)由變分原理控制的特殊系統(tǒng)，并存在無限小變換使系統(tǒng)不變。Emmy Noether 的方法可以確定某個量，并證明其大小的數(shù)值是常數(shù)(即設(shè)這個量守恒)”。1970 年出版法文書《動力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)》，涉及變分法的變分問題的變換，提出對經(jīng)典力學(xué)的Noether 定理的形式，因為是在流形的框架下，他的提法是現(xiàn)代的。

(4)Lanzos C的英文書《力學(xué)的變分原理》(1949年第一版，1962 年第二版，1966 年第三版，1970 年第四版)，前兩版未提及Noether的結(jié)果，在第三版和第四版的前言中，他寫道：“本版不同于前版加上了一節(jié)關(guān)于Noether 不變變分問題。Noether 的原始論文不易弄懂?！?/p>

(5) Rund H 的英文書《變分法中的Hamilton-Jacobi 理論：它在數(shù)學(xué)和物理中的作用》(1966)給出Noether 定理的表述，先是對單個獨立變量，而后對多重積分問題。

(6) Trautman A 于1950 年代開始研究廣義相對論中的守恒律，他是首先用近代數(shù)學(xué)語言，即流形的語言，介紹Noether的論文。

(7) Edelen DGB 的英文書《場的非局部變分和局部不變性》(1969)，考慮作用在獨立變量流形上的坐標(biāo)變換或點變換下泛函的幾何性質(zhì)，討論了Noether定理的兩種情形。

(8) Smale S (1930-)1970 年的論文“拓?fù)渑c力學(xué)”，在“力學(xué)中的對稱”一節(jié)中，他首先斷言“Noether 是闡明對稱性與積分類系的大可信賴的人”，而后利用位形流形的切叢提出有對稱的力學(xué)系統(tǒng)并引入角動量的概念。他的方法是表示為切叢的純Lagrange 方程和表示為余切叢的Hamilton 形式之間的中間方法。

(9) Sniatycki JS在1970年的論文“Lagrange形式中經(jīng)典場論的幾何結(jié)構(gòu)”中，將Noether 的結(jié)果轉(zhuǎn)換為用流形和射叢語言表示的不變幾何形式。

(10) Krupka D于1971年和1973年發(fā)表的論文涉及纖維流形中變分問題的幾何形象。

(11) Goldschmidt H和Stenberg S在1973年的長文“變分法中的Hamilton-Cartan 形式”中，利用纖維流形和射叢仿射結(jié)構(gòu)，給出多變量變分法的幾何解釋，對發(fā)展Noether 定理和Bessel-Hagen 推廣是重要的一步。

(12) Garcia PL 在1974 年的論文“變分法中的Poincaré-Cartan 不變量”中，強調(diào)不變變分問題的現(xiàn)代“流形代數(shù)”和老的“Noether 定理”之間概念的一致化, 但未引用Noether的文章。

(13) Arnold VI (1937-2010)的書《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》(俄文1974, 1979；法文1976；英文1978,1989；德文1988；中文1992)中有一節(jié)“Noether 定理”，指出由Lagrange函數(shù)的不變性可導(dǎo)出守恒量。

(14) Marsden JE (1942-2010) 1974，1978 年的工作跟隨Souriau 將Noether 定理稱為守恒定理的Hamilton表示。

(15) Logan JD 于1970 年寫出博士學(xué)位論文“Noether 定理和變分法”， 他是Drobot 的學(xué)生，Drobot 是Steinhaus 的學(xué)生，Steinhaus 是Hilbert 的學(xué)生。1977年的“不變變分原理”中指出“Noether 定理已成為近代場論的基石之一”。

(16) Ibragimov NH 在1969—1983 年的工作中涉及不變變分問題和守恒律，Noether 等式，應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理的變換群等。

(17) Kijowski J 和Tulczyjew WM在1979年的《場論的辛構(gòu)架》中提供了導(dǎo)出物理理論變分公式的系統(tǒng)方法，基于辛流形的Lagrange 子流形的概念發(fā)展了對粒子物理和場論的新的物理理論。

(18) Goldstein H (1922-2015)的《經(jīng)典力學(xué)》(1950, 1980, 2002)第一版討論了力學(xué)中某些守恒定理，但未提及Noether定理。

以上是文獻(xiàn)[1]列舉的18 篇(部)關(guān)于Noether定理對數(shù)學(xué)和力學(xué)的應(yīng)用，大多為20 世紀(jì)60～70 年代的工作，大多涉及流形語言，而作者都有較高知名度，如Souriau JM，Smale S，Arnold VI，Marsden JE, Tulczyjew WM 等，其中最后兩位是“分析力學(xué)近代發(fā)展討論會”(1982，Torino)學(xué)術(shù)委員會成員。

2 經(jīng)典力學(xué)中的Noether定理

本節(jié)討論經(jīng)典力學(xué)中的Noether 定理， 包括Hamilton 作用量的不變性，含速度變換下的Noether 定理，完整非保守系統(tǒng)的Noether 定理，非完整系統(tǒng)的Noether 定理，Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理，被積函數(shù)用動能和勢能的高階導(dǎo)數(shù)替代的情形，Noether等式的弱化，對連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的應(yīng)用，對Noether對稱性的理解等。

2.1 Hamilton作用量的不變性

經(jīng)典Noether 定理出現(xiàn)于一些教材中，如文獻(xiàn)[3-6]。在Noether 的積分I中獨立變量取為時間，依賴變量取為廣義坐標(biāo)，即

被積函數(shù)取為Lagrange 函數(shù)，即f=L(t,q,˙q)，則積分I成為Hamilton作用量

取無限小變換

其中ε為一無限小參數(shù)，ξ0，ξs為無限小生成元。表示不變變分問題的Noether等式有形式

其中GN為規(guī)范函數(shù)。Noether守恒量為

這樣給出經(jīng)典Noether 定理：如果無限小變換式(1)的生成元ξ0，ξs和規(guī)范函數(shù)GN滿足Noether 等式(2)，則Lagrange系統(tǒng)

有Noether守恒量式(3)。

“經(jīng)典Noether 定理”一詞由文獻(xiàn)[7]提出。利用經(jīng)典Noether 定理不僅可得到力學(xué)中的基本守恒律，還可以得到更多的守恒律。如果Lagrange 函數(shù)L不含t，即

取生成元

則由式(2)，得到

式(3)給出

這就是廣義能量積分。如果q1為循環(huán)坐標(biāo)，即

取生成元為

則式(2)給出

式(3)給出

這就是循環(huán)積分，代表廣義動量守恒?；臼睾懵梢部芍苯佑蒐agrange方程(4)導(dǎo)出。

設(shè)單自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

它代表Emden方程

Noether等式(2)給出

可找到它的解

守恒量式(3)給出

這樣的守恒量還不能由Lagrange方程導(dǎo)出。

經(jīng)典Noether 定理是Noether 第一定理對Lagrange系統(tǒng)的一個應(yīng)用，由此，不僅可直接導(dǎo)出力學(xué)的基本守恒律，還可以找到更多的守恒律。

2.2 含速度變換下的Noether 定理

經(jīng)典Noether定理的變換是不含速度的，這符合Noether 的原意。南斯拉夫?qū)W者Djuki? 和Vujanovi?將變換式(1)推廣到含速度情形[8]，即代替式(1)，有

此時，對Lagrange 系統(tǒng)，Noether 等式仍為式(2)，Noether 守恒量仍為式(3)，不同的是相應(yīng)的Killing方程。這種推廣有利于找到更多的守恒量。例如，Kepler問題的Lagrange 函數(shù)為

Noether等式(2)給出

可找到它的解守恒量式(3)給出

它是Runge-Lenz矢量分量的守恒量。

這種推廣已被廣泛認(rèn)可，如文獻(xiàn)[6,9-10]。

2.3 完整非保守系統(tǒng)的Noether 定理

經(jīng)典Noether 定理是對Lagrange 系統(tǒng)給出的。如果Hamilton作用量S的全變分滿足

其中ΔG=εGN,Qs(s=1,2,···,n)為非勢廣義力，則稱變換為廣義準(zhǔn)對稱變換。此時對系統(tǒng)

Noether等式成為

而守恒量仍有式(3)。式(8)稱為Noether-Bessel-Hagen方程。

以 上 結(jié) 果 由Djuki? 和Vujanovi? 給 出[8]。Vujanovi? BD 是南斯拉夫著名學(xué)者，1982 年6 月由IUTAM 和ISIMM 在意大利都靈舉辦“分析力學(xué)近代發(fā)展討論會”，Vujanovi? 為學(xué)術(shù)委員會成員。有關(guān)完整非保守系統(tǒng)的工作還可參見文獻(xiàn)[6,9,11]。Noether 定理的這種推廣可以解決完整非保守系統(tǒng)的對稱性與守恒量問題。

2.4 非完整系統(tǒng)的Noether定理

微分方程為

約束方程為

在運動微分方程積分之前，可由方程(9)和(10)求出約束乘子λβ為t,q,˙q 的函數(shù)，令與非完整系統(tǒng)方程(9)和(10)相應(yīng)的完整系統(tǒng)的方程為

此時Noether等式有形式

非完整約束方程(10)對生成元ξ0,ξs的限制為

相應(yīng)的守恒量仍為式(3)。如果無限小生成元ξ0,ξs和規(guī)范函數(shù)GN滿足式(12)，則相應(yīng)完整系統(tǒng)方程(11)存在Noether 守恒量式(3)。進(jìn)而如果還滿足限制方程(13)，則存在非完整系統(tǒng)的Noether守恒量式

(3)。

例如，Appell-Hamel的Lagrange函數(shù)和非完整約束分別為

方程(9)給出

可求出約束乘子

以及非完整約束力

Noether等式(12)給出

限制方程(13)給出

可找到如下解

相應(yīng)的守恒量分別為

有關(guān)非完整系統(tǒng)的Noether定理，見文獻(xiàn)[6,9,12-15]。

2.5 Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理

以Pfaff作用量替代Hamilton 作用量，可建立Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。

令

Noether等式(2)成為[16]

Noether守恒量方程(3)成為文獻(xiàn)[17]由直接變分也得到上述結(jié)果。進(jìn)而，對廣義Birkhoff方程

在式(15)左端應(yīng)添加一項

而守恒量仍為式(16)。

2.6 被積函數(shù)用動能和勢能高階導(dǎo)數(shù)替代的情形

泛函表示為

其中T為系統(tǒng)動能，V為系統(tǒng)勢能，而

由式(19)出發(fā)可建立高階系統(tǒng)的Noether 定理[9]。當(dāng)m=0時，式(19)為Hamilton作用量。

2.7 Noether等式的弱化

將Noether等式(8)改寫為下列形式

其中

方程為

即在Noether 等式中出現(xiàn)¨qs時以αs替代，這樣的Noether 等式稱為弱Noether 等式[18]。如果生成元ξ0，ξs和規(guī)范函數(shù)GN不依賴于速度，則弱Noether等式(20)成為Noether 等式(8)。如果ξ0，ξs，GN依賴于速度，兩者會有所不同。由弱Noether 對稱性也可找到守恒量式(3)。例如，對二自由度系統(tǒng)

Noether等式(8)給出

弱Noether等式(20)給出

生成元和規(guī)范函數(shù)取為

它們滿足兩個Noether 等式。這種對稱性是Noether的，也是弱Noether的。生成元取為

由Noether等式得

由弱Noether等式得

相應(yīng)的守恒量分別為

兩者稍有不同。

生成元取為

由弱Noether等式得

但由Noether等式找不到相應(yīng)的規(guī)范函數(shù)GN。

2.8 對連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的應(yīng)用

專著[9]介紹了連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的Noether定理。

2.9 對Noether對稱性的一種理解

有些作者將Noether 對稱性理解為Lagrange 函數(shù)的不變性。

Arnold 在其著作中給出如下Noether 定理：如果系統(tǒng)(M,L)允許有單參數(shù)微分同胚群hs:M→M,s∈R，那么對應(yīng)L的Lagrange 方程有一個第一積分I:TM→R。在M的局部坐標(biāo)下，積分I寫成形式[19]

José 和Saletan 寫道：“如果一個Lagrange 函數(shù)在一變換族下是不變的，其動力學(xué)系統(tǒng)有一運動常數(shù)，那么它可由Lagrange函數(shù)和變換來找到?！盵20]

這里的變換，時間是不變的。在時間不變的變換下，Lagrange函數(shù)的不變性意味著

其中

而Noether等式為

由式(22)給出的守恒量為

由式(23)給出的守恒量為顯然, Lagrange 函數(shù)的不變性與經(jīng)典Noether 定理的Noether 對稱性以及它們導(dǎo)出的守恒量一般是不一樣的。例如，對Lagrange系統(tǒng)

取生成元為

則式(22)滿足，由式(23)得

守恒量式(24)和式(25)都給出因此，這個對稱性是Lagrange 函數(shù)的不變性，也是Noether對稱性。

取生成元

它不是Lagrange 函數(shù)的不變性，而是Noether 對稱性。守恒量式(25)給出

2.10 各類Noether 定理

列舉一些Noether 定理， 包括對經(jīng)典力學(xué)的Noether 定理[21]；對單面約束系統(tǒng)的Noether定 理[22-24]； 對Vacco 動 力 學(xué) 的Noether 定 理[25]；Poincaré-Chetaev 方 程 的Noether 定 理[26]；對 相對論性系統(tǒng)的Noether 定理[27-29]；對高階系統(tǒng)的Noether 定理[30]；對廣義力學(xué)系統(tǒng)的Noether 定理[31]；對物理系統(tǒng)的Noether 定理[32-33]等。此外Olver的專著有十處提到了Noether定理[34]。

文獻(xiàn)[1]列舉了1970 年之后Noether 定理的純正(genuine)推廣，包括射叢和廣義對稱性，守恒律的特征與第一定理的逆，形式變分學(xué)，非變分方程的對稱性與守恒律等。本節(jié)所指經(jīng)典力學(xué)中的Noether定理不是Noether 定理的純正推廣，而是Noether 第一定理在經(jīng)典力學(xué)中的應(yīng)用。這些在文獻(xiàn)[1]中幾乎都未提及。

3 結(jié)語

Polak 指出,力學(xué)的變分原理的應(yīng)用和物理意義的基礎(chǔ)是兩個定理：Hilbert 獨立性定理和Noether定理。前一個定理給出變分原理的數(shù)學(xué)論據(jù)，后一個定理揭示出它的物理意義。

Noether在1918年的論文“不變變分問題”中給出的兩個定理，形式簡單而思想深刻，需要認(rèn)真學(xué)習(xí)、領(lǐng)會。第一定理對分析力學(xué)尤為重要，利用Noether 定理不僅可以找到牛頓力學(xué)的經(jīng)典守恒律以及Lagrange 力學(xué)的廣義動量守恒律和廣義能量守恒律，而且可找到更多的守恒律。力學(xué)系統(tǒng)的守恒律對研究力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)行為，穩(wěn)定性，計算等都有指導(dǎo)意義。Noether 的工作和她的學(xué)術(shù)思想必將進(jìn)一步發(fā)揚光大。