高子璐 榮傳新 唐 彬

(安徽理工大學土木建筑學院，安徽淮南232001)

對巖土工程的安全性和穩(wěn)定性來說，研究巖石的蠕變特性有著重要的意義。傳統(tǒng)本構模型采用線性元件組合，不能很好地描述巖石蠕變的三階段，尤其是加速蠕變階段。因此國內外學者[1-2]引進了非線性流變模型。目前建立非線性流變模型的方法有很多。一種是對傳統(tǒng)線性元件進行非線性改進。如周家文等[3]構造出一個非線性函數，帶入到廣義Bingham 模型方程中，形成了一個新的非線性蠕變模型，但模型中的元件均為理想線性元件，無法完整表述巖石的全過程流變，因此不具備普遍適用性。另一種是建立應變與時間的非線性關系來描述加速蠕變階段的特征。如徐衛(wèi)亞等[4-5]將非線性元件與線性五元件模型串聯，建立一個新的巖石非線性流變模型(河海模型)；張治亮等[6]將非線性流變與廣義Kelvin 模型串聯，建立一個巖石非線性黏彈塑性流變模型，用于反映巖石亞穩(wěn)定蠕變和加速蠕變階段的特征；蔣海飛等[7]采用冪函數與對數函數混合方程對加速階段進行擬合，通過類比提出一個非線性黏性元件，將其與Burgers 模型串聯，得出一個新的六元件非線性黏彈塑性蠕變模型，用于描述加速蠕變階段蠕變特性；楊逾等[8]以Burgers 模型為基礎，基于Lemaitre 原理建立了改進的Burgers 非線性蠕變損傷模型，并以砂巖為研究對象進行試驗，驗證了模型的合理性；張亮亮等[9]通過引入作用函數表征衰減蠕變階段，提出一種非線性的改進模型，將其與賓漢姆模型串聯，得出一個新的蠕變模型。

圖1 改進西原體模型

在眾多傳統(tǒng)模型當中，西原體模型雖然對巖石穩(wěn)定蠕變及其變形階段的模擬取得了良好的效果，但是，它們在模擬加速蠕變時仍存在一定不足，需要通過對西原體模型的改進，建立出能更有效地反映加速蠕變階段的模型。曹樹剛等[10]對西原正夫模型進行改進，使之適用于描述巖石流變3 個階段，尤其是非線性的加速蠕變變形；佘成學[11]在西原模型的基礎上，引進巖石時效強度理論和損傷理論，建立了巖石非線性黏彈塑性蠕變模型。范翔宇等[12]基于煤巖蠕變力學實驗對西原模型進行改進與分析。王軍寶等[13]基于巖石非線性流變力學理論提出一個能夠描述巖石加速蠕變的非線性黏滯體，與基本彈性體和塑性體進行組合建立一個新的四元件非線性黏彈塑性蠕變模型。田小朋等[14]以西原蠕變模型為基礎添加含水元件建立與含水量相關的泥巖蠕變模型，同時選取實際油田中一井網為研究對象建立注采數值模型，通過控制注采比來調節(jié)地層中的含水量，驗證了改進泥巖蠕變模型的正確性與合理性；楊秀榮等[15]考慮時效劣化和含水弱化對巖石蠕變參數的劣化效應，對西原模型進行參數修正，提出了一種新的蠕變損傷模型。本文通過引入一個新的非線性流變元件并將其串聯在西原體模型上，完成對西原體模型的修正，建立了新的蠕變本構方程。該模型可以充分反映巖石蠕變的三個階段，特別是加速蠕變階段的特征，并且結構簡單、參數少，能夠更好地描述巖石三階段的蠕變特性。

1 改進西原體模型的建立

根據巖石的流變力學特性以及對蔣海飛等[7]提出的加速蠕變擬合曲線進行修改，由此引入一個新的非線性流變元件，該流變元件應力應變關系為

式中，σ為應力，η為材料的黏性參數，˙ε為應變速率，n為蠕變指數，t為流變時間，σb為中間應力，σs為極限應力。

將新的非線性流變元件與西原體模型串聯，組成六元件非線性黏彈塑性模型，即改進的西原體模型，如圖1 所示，從左到右依次為元件1，元件2，元件3，元件4。六元件非線性黏彈塑性模型滿足以下條件：

(1)當0＜σ≤σb時，新的非線性流變元件等同于牛頓體，改進的西原體模型等同于廣義Kelvin 體。模型的狀態(tài)方程為

式中，σ與ε分別為模型的總應力與總應變；σ1和σ2分別為元件1 和元件2 對應部分的應力；ε1和ε2分別為元件1 和元件2 對應部分的應變；E1和E2為巖石材料的彈性參數；η1為巖石黏性參數。

整理式(2)，得本構方程為

(2)當σb＜σ≤σs時，新的非線性流變元件等同于牛頓體，改進的西原體模型等同于Burgers 模型。模型的狀態(tài)方程為

式中，σ與ε分別為模型的總應力與總應變；σ1，σ2和σ4分別為元件1，元件2 和元件4 對應部分的應力；ε1，ε2和ε4分別為元件1，元件2 和元件4 對應部分的應變；E1和E2為巖石材料的彈性參數；η1和η3為巖石黏性參數。

整理式(4)，得本構方程為

(3)當σ ＞σs時，新的非線性流變元件等同于非線性黏彈塑性體，改進的西原體模型狀態(tài)方程為

整理式(6)，得本構方程為

由上面各式假定t= 0 時施加瞬時應力，則σ=σ0代入邊界條件：t= 0，˙ε= 0，¨ε= 0，解微分方程，可求得非線性黏彈塑性模型一維狀態(tài)下的蠕變方程

將式(8)兩邊分別對時間進行一次和二次求導，可以得到下列結果

(1) 當0＜σ≤σb時

(2)當σb＜σ≤σs時

(3)當σ ＞σs時

很顯然，當σ≤σs時，˙ε恒大于0，¨ε ＜0，當t→∞時，則˙ε趨于某一非零恒定值。這表明，該模型可以很好地反映巖石的衰減和穩(wěn)定蠕變過程。當σ ＞σs時，˙ε恒大于0，當t→∞時，則˙ε趨于某一非零恒定值。該模型可以很好地反映巖石蠕變全過程曲線中的衰減、穩(wěn)定和加速3 個蠕變階段。如果n ＞1，隨著時間t的增長，¨ε可以小于、等于或大于0，對應于巖石的衰減、穩(wěn)定和加速3 個階段，且蠕變曲線的形態(tài)與n取值有關。

2 圓形巷道圍巖徑向位移

由于內部巖體被開挖的過程中產生了巷道變形，巷道半徑為R0，圍巖可以視為均質的各向同性體，巷道遠處的邊界應力為各項等壓應力，采用改進的西原體模型描述圓形巷道的變形特性，計算模型如圖2所示。

圖2 圓形軸對稱巷道計算模型

當0＜σ≤σb時，在等圍壓狀態(tài)下，由圓形軸對稱巷道(圖2)徑向位移表達式為

式中，P0為原巖應力；E和μ分別為巖體的彈性模量與泊松比。

由式(3)得到巖石的本構關系

對上式進行Laplace變換

對式(12)進行Laplace變換可以得到

將式(17)代入式(16)得到

對式(18)進行Laplace逆變換可以得到

當σb＜σ≤σs時，同理可得

對式(20)進行Laplace逆變換可以得到

當σ ＞σs時，同理可得

式中，M=tn+nlnt，A=E1+E2，B=E1E2，C=η2η3。

式(24)中的參數識別可采用優(yōu)化反演法[16]。以實際位移和計算位移殘差平方和最優(yōu)值設計目標函數，通過不斷優(yōu)化位移殘差的最小值得到蠕變參數值，由此得到基于改進的西原體模型下的圓形巷道圍巖徑向位移變化情況。

3 工程應用及參數反演

山西某煤礦中8 號采區(qū)的在建南回風巷道，采用全斷面隧道掘進機(Tunneling Boring Machnie，簡稱TBM) 法進行巷道掘進。巷道軸向截面為圓形斷面，斷面直徑為4.52 m，斷面面積為16.12 m2，豎向地應力為P= 14.3 MPa。巷道地層所在的主要層位是砂巖層，主要組成成分是細粉砂巖。彈性模量范圍為24.38～46.71 GPa，泊松比范圍為0.121～0.36。假設巷道周邊足夠范圍內都位于巨厚砂巖層中，在巷道掘進的影響范圍內都不考慮圍巖分層。

巷道開挖完成后，選取施工巷道靠近掘進面的斷面進行圍巖變形監(jiān)測，斷面1 沿巷道圓周選取5 個點，每點打孔錨固鋼片，在鋼片上留永久標記作為觀測點，巷道收斂監(jiān)測點布置如圖3所示。

圖3 巷道斷面收斂監(jiān)測測點布置示意圖

取其中較有代表性的曲線作為目標蠕變曲線，進行參數反演?；谧钚《朔ㄔ?，對給定的數據點{(Xi,Yi)}(i=1,2,3,···,n)，在取定的函數W中，求擬合函數f(x) ∈W，使誤差平方和∑[f(Xi-Yi)2]最小。假定W是式(24)提出的位移與時間的非線性關系式

已給出(W,T)的n對監(jiān)測值(wi,ti)，要求待定參數(E1,E2,η1,η2,η3,n),通過使

平方和最小，得到模型相應參數值。由于現場條件限制，與5 測點相關的收斂數據均無法測得。通過巷道實際監(jiān)測數據以第一次測量數據為基準，對后續(xù)測量數據取差進行記錄，可得1-2，1-3，1-4監(jiān)測點之間的收斂值，如圖4 所示，將收斂值加上基準值即1-3監(jiān)測點之間的實際距離d13，1-4 監(jiān)測點之間的實際距離d14等。由監(jiān)測布置圖3 可見，監(jiān)測點3到圓形巷道中心的距離d3近似由圖3 可見，1-5點的距離近似為2d3，2-5 的距離近似等于1-4 測點之間的距離，由此得測點2到圓形巷道直徑的豎向距離d26=d12·d14/2d13。根據勾股定理，可以算出監(jiān)測點2 豎向投影點6 到監(jiān)測點5 的水平距離d65，因此監(jiān)測點2 到圓心的距離由此算出監(jiān)測點2 和3 到圓心的距離值d2和d3。讀取第一次測量數據值，計算初始時刻監(jiān)測點2 和3 到巷道半徑的距離，并以該值為初始值。將d2，d3的值分別減去巷道半徑值和初始值，即測點2 和3 的徑向位移值，如表1 所示。采用Origin 軟件將測點2 和測點3 位移值的平均值進行非線性擬合，對蠕變參數進行初始識別并賦值，通過上述算法反復迭代反演，由此獲得蠕變參數如表2 所示。將所得的蠕變參數代入到式(24)中，計算得到巷道圍巖徑向位移，如圖5 所示。由圖5 可見，實際監(jiān)測結果與理論計算結果吻合較好，說明該模型可較好地模擬其圍巖的蠕變特性。在t≤25 d 時，巷道徑向位移速率隨著時間的增長而不斷增加；當t ＞25 d 時，巷道徑向位移變化速率隨時間的增長而趨于穩(wěn)定。

表1 監(jiān)測點2 和3 的徑向位移實測值

表2 反演得到的圍巖蠕變參數

圖4 巷道斷面收斂變形監(jiān)測結果

圖5 巷道位移理論曲線與實測曲線的對比

4 結論

(1)基于西原體模型，考慮巖石在衰減蠕變和加速蠕變階段的非線性特征，采用函數混合方程對加速階段進行擬合，建立了一個新的巖石蠕變本構方程。

(2)對該模型的力學特性進行了分析。認為存在一個中間應力σb，當0＜σ≤σb時，模型描述衰減階段；當σb＜σ≤σs時，該模型為Burgers 模型，描述了巖石的衰減與穩(wěn)定蠕變；當σ ＞σs時，該模型能夠反映巖石的衰減、穩(wěn)定與加速蠕變3個階段。

(3)通過對改進的西原體模型的本構方程進行Laplace 變換，得到圓形巷道圍巖的徑向變形規(guī)律?；诂F場實測數據進行反復迭代反演，求得巖石黏彈塑性的各個蠕變參數。

(4)計算結果與實測結果基本一致，當t≤25 d時，巷道圍巖徑向位移變化速率隨時間的增長而不斷增加；當t ＞25 d 時，巷道圍巖徑向位移變化速率逐漸趨于穩(wěn)定。該模型可較好地反映巷道圍巖的流變特性，為巷道圍巖穩(wěn)定性分析提供一個新的巖石蠕變模型。