姚仰平 陳 偉 陳 含

(北京航空航天大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京100083)

馬氏瓶是一種能提供恒定水頭和恒定流速的裝置，它以法國(guó)物理學(xué)家Edme Mariotte 的名字命名[1]。在試驗(yàn)和生活中被廣泛應(yīng)用，例如作為自動(dòng)補(bǔ)水裝置為水面蒸發(fā)儀提供恒定水位，在地下水均衡場(chǎng)的入滲儀中作為計(jì)量裝置計(jì)算入滲量[2]，在實(shí)驗(yàn)室經(jīng)常用于穩(wěn)定供水和量測(cè)[3]。

馬氏瓶構(gòu)造簡(jiǎn)單實(shí)用，但學(xué)者們對(duì)于馬氏瓶工作原理的研究較少，僅有的研究集中在馬氏瓶恒定水頭補(bǔ)水的基礎(chǔ)上[4-5]。對(duì)于馬氏瓶出水口發(fā)生回水的逆過(guò)程未有研究，筆者在試驗(yàn)過(guò)程中這種情況時(shí)有發(fā)生。

為了收集覆蓋層下鍋蓋效應(yīng)生成的水，筆者進(jìn)行了鍋蓋效應(yīng)取水試驗(yàn)，其中鍋蓋效應(yīng)是指冬季土中的水氣在溫度梯度作用下向上遷移，在道面覆蓋層下的低溫區(qū)冷凝或凝華，導(dǎo)致覆蓋層下水分聚集的現(xiàn)象[6-13]。試驗(yàn)中利用馬氏瓶作為補(bǔ)水裝置給土樣提供恒定水位。土樣經(jīng)升溫后覆蓋層下冷凝水和凝華冰融化成液態(tài)水流下，使水面高于馬氏瓶控制的水位，導(dǎo)致馬氏瓶發(fā)生了回流，部分融化的液態(tài)水回流到了馬氏瓶?jī)?nèi)，造成了損失，為了研究有多少液態(tài)水發(fā)生了回流，以獲知試驗(yàn)中實(shí)際生成液態(tài)水的量，本文對(duì)馬氏瓶的回流原理進(jìn)行了相關(guān)研究。

1 馬氏瓶恒定水頭原理

如圖1 所示，馬氏瓶與試筒相連，左側(cè)為馬氏瓶：圖中1○為馬氏瓶瓶身。2○為進(jìn)氣管，馬氏瓶供水時(shí)外界空氣從進(jìn)氣管進(jìn)入瓶?jī)?nèi)空腔，馬氏瓶水量不足時(shí)作為注水口給馬氏瓶補(bǔ)充水。3○為帶有閥門(mén)的出氣管，馬氏瓶正常工作時(shí)閥門(mén)關(guān)閉。閥門(mén)打開(kāi)時(shí)有兩個(gè)作用，一是在給馬氏瓶補(bǔ)充水時(shí)，打開(kāi)閥門(mén)用來(lái)平衡氣壓出氣，二是需要將馬氏瓶作為普通連通器使用時(shí)打開(kāi)閥門(mén)平衡氣壓，平衡液面為瓶?jī)?nèi)液面。4○為出水口，用來(lái)給試筒補(bǔ)水。右側(cè)為與馬氏瓶出水口相連的試筒，試筒上端開(kāi)口，筒中的水位可由馬氏瓶調(diào)節(jié)。當(dāng)試筒中水面低于馬氏瓶進(jìn)氣管底端時(shí)，進(jìn)氣管底端氣體壓強(qiáng)小于試筒中水面氣體壓強(qiáng)，即小于一個(gè)大氣壓，馬氏瓶將開(kāi)始給試筒補(bǔ)水，同時(shí)進(jìn)氣管底端逸出氣泡上升到水面上部空腔進(jìn)行補(bǔ)氣[14-15]，氣體補(bǔ)充的體積即為出水口流出水的體積；隨著補(bǔ)水的進(jìn)行，試筒中水面逐漸上升，當(dāng)水面上升到與進(jìn)氣管底端平齊時(shí)，馬氏瓶停止補(bǔ)水，此時(shí)進(jìn)氣管底端氣體壓強(qiáng)為一個(gè)大氣壓[16]，達(dá)到平衡狀態(tài)。在試筒中的水由于蒸發(fā)作用而減少時(shí)，導(dǎo)致水位低于進(jìn)氣管底端，進(jìn)氣管底端氣體壓強(qiáng)將再次低于大氣壓，馬氏瓶繼續(xù)為試筒補(bǔ)水，使水位不斷趨近進(jìn)氣管底端直到平齊，達(dá)到恒定水頭補(bǔ)水的目的。

圖1 與試筒相連的馬氏瓶

2 馬氏瓶回流原理分析

如圖2(a)所示，馬氏瓶與試筒達(dá)到初始平衡狀態(tài)。若模擬鍋蓋效應(yīng)生成水的下落過(guò)程，給試筒中添加一定量水使水面高于進(jìn)氣管底端，發(fā)現(xiàn)馬氏瓶將開(kāi)始回水，回流的水不僅進(jìn)入進(jìn)氣管，也將回流到馬氏瓶?jī)?nèi)，如圖2(b)所示。其添加的水量Va包括三部分：留在試筒內(nèi)的水Vb、回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水Vc、進(jìn)氣管中水柱Vd。三者滿(mǎn)足關(guān)系式

而且發(fā)生回流時(shí)進(jìn)氣管中水柱始終與試筒中水面同高，因?yàn)閮烧咭好嬷苯优c大氣接觸，液面氣壓相同，且水流之間的通道連通，類(lèi)似于U型管結(jié)構(gòu)。

圖2 引起馬氏瓶回流的水量組成

如圖3 所示，圖3(a)為馬氏瓶初始平衡狀態(tài)，圖3(b)為馬氏瓶回流后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，由圖3(a)中的平衡狀態(tài)加水回流后實(shí)現(xiàn)。p1和p2分別為兩種狀態(tài)下馬氏瓶?jī)?nèi)氣體壓力，V1和V2為兩種狀態(tài)下的氣體體積，由理想氣體方程

式中，p為指理想氣體的壓強(qiáng)，V為理想氣體的體積，n為氣體物質(zhì)的量，T為理想氣體的熱力學(xué)溫度，R為理想氣體常數(shù)。無(wú)論馬氏瓶進(jìn)氣管水柱多高，均沒(méi)有氣體進(jìn)入馬氏瓶，故n恒定，所以上式右端為定值?？芍R氏瓶在兩種狀態(tài)下有等式兩端同時(shí)除以馬氏瓶橫截面面積，有

其中

式中，pA為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；Z1是馬氏瓶初始平衡狀態(tài)時(shí)瓶?jī)?nèi)空腔的高度(cm)；h1為該狀態(tài)下水面到進(jìn)氣管底端的距離(cm)，可認(rèn)為是馬氏瓶的初始水位；Z2是馬氏瓶回流后瓶?jī)?nèi)空腔的高度(cm)；h2為該狀態(tài)下進(jìn)氣管中水柱高度(cm)；由于進(jìn)氣管中水柱與試筒中水面同高；也可用h2表示試筒中相對(duì)水位；h3為馬氏瓶回流后水面到進(jìn)氣管底端的距離(cm)[17]。如圖3所示。

圖3 兩種馬氏瓶穩(wěn)定狀態(tài)

式(5)～式(6)的等號(hào)兩端同時(shí)除以ρg，用水頭表示壓力

式中1034 表示為1 個(gè)大氣壓的水頭高度，式中高度單位均為cm。將式(7)代入式(4)得到

即馬氏瓶中回流水量高度為

可用式(9)計(jì)算回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水量。由式(1)可知引起馬氏瓶回流所添加的水量為

式中，s1為馬氏瓶?jī)?nèi)截面積(cm2)，s2為進(jìn)氣管內(nèi)截面積(cm2)，s3為試筒內(nèi)截面積(cm2)，式(10)中忽略了馬氏瓶進(jìn)氣管的壁厚，將式(9)代入式(10)中可得

式(11)即為引起馬氏瓶回流所添加水量的計(jì)算式。從上述推導(dǎo)過(guò)程可以看出，馬氏瓶發(fā)生逆向回流時(shí)，馬氏瓶?jī)?nèi)水量增加，水面上部氣體壓強(qiáng)增大，空腔體積被壓縮，壓縮的體積由回流的水量補(bǔ)充。由式(9)和式(11)可知馬氏瓶回流水量高度與馬氏瓶初始水位h1、水面上部空腔高度Z1與試筒中相對(duì)水位h2及h3有關(guān)，而引起回流所添加的水量除與上述因素有關(guān)外，還與馬氏瓶、進(jìn)氣管、試筒的截面積有關(guān)。

對(duì)于同一個(gè)馬氏瓶和試筒，上式中的自變量為馬氏瓶初始水位h1、水面上部空腔高度Z1、試筒相對(duì)水位h2和h3，因?yàn)閔3可由h1，h2和Z1決定(由h3-h1等于式(9)可得)，Z1由h1決定，所以實(shí)際的自變量為馬氏瓶初始水位h1和試筒相對(duì)水位h2。以上參量都可以從馬氏瓶上直接獲取，可知僅通過(guò)觀測(cè)馬氏瓶就可以計(jì)算得到引起馬氏瓶回流所添加的水量。另外可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)馬氏瓶初始水位恒定，即h1和Z1不變時(shí)，試筒中相對(duì)水位h2越高，進(jìn)氣管中水柱越高，h3-h2越小，馬氏瓶?jī)?nèi)回流水量越多，引起回流所添加的水量也越大。

當(dāng)馬氏瓶初始水位h1恒定時(shí)，式(11)中的Va只隨試筒中相對(duì)水位h2變化，兩者之間的變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 Va 和h2 的變化關(guān)系

由圖4 可知，Va與h2基本成線性關(guān)系，因?yàn)閂a等于回流的水Vc+Vd與留在試筒中的水Vb之和，且Vb=h2·s3，即Vb與h2成線性關(guān)系，因此Vc+Vd與h2基本成線性關(guān)系。

因?yàn)榛亓鞯乃甐c+Vd相對(duì)Va一般較小，若不考慮回流的水，將Va近似等于留在試筒中的水Vb，用V′a 表示，即

Va與V′a 之間有一個(gè)回流水Vc+Vd的誤差，兩者之間的相對(duì)誤差用δ表示由上述分析可知：對(duì)于同一個(gè)馬氏瓶和試筒，在馬氏瓶初始水位h1恒定時(shí)，此時(shí)式(11)只有一個(gè)自變量h2，且Va與h2基本成線性關(guān)系，又有Vc+Vd與h2基本成線性關(guān)系，因此上式中的相對(duì)誤差δ基本為一個(gè)穩(wěn)定值，可認(rèn)為相對(duì)誤差δ基本和h2無(wú)關(guān)。

當(dāng)馬氏瓶中的初始水位h1變化時(shí)，相對(duì)誤差δ也將隨之變化，在馬氏瓶初始水位h1減小時(shí)，回流水Vc+Vd將變大，則相對(duì)誤差δ將變大；若馬氏瓶初始水位h1增大時(shí)，回流水Vc+Vd將變小，則相對(duì)誤差δ將變小。因?yàn)榛亓鞯狡績(jī)?nèi)的水是依靠壓縮瓶?jī)?nèi)空腔體積得以進(jìn)入瓶?jī)?nèi)，馬氏瓶初始水位h1越低，瓶?jī)?nèi)空腔體積越大，相同壓力水頭下可壓縮氣體的量越大，這樣就可以留出更多的空間接收回流水，Vc+Vd也將變大，反之亦然。

3 試驗(yàn)分析及驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式(11)的適用性及進(jìn)一步探究馬氏瓶回流原理，本文設(shè)計(jì)了兩組馬氏瓶逆向回流試驗(yàn)，采用圖3 中的試驗(yàn)裝置，通過(guò)改變馬氏瓶初始水位h1、給試筒添加水改變?cè)囃仓邢鄬?duì)水位h2，探究馬氏瓶中回流水量變化。兩組試驗(yàn)均采用同一個(gè)馬氏瓶和試筒，即s1，s2和s3不變，試驗(yàn)中s1=63.6 cm2，s2= 0.28 cm2，s3= 706.8 cm2。因?yàn)樵谠囼?yàn)過(guò)程中試筒中相對(duì)水位始終高于或等于馬氏瓶進(jìn)氣管底端，將進(jìn)氣管底端水平高度處的水位取為0。第一組試驗(yàn)初始條件為Z1=16.5 cm，h1=6 cm；第二組試驗(yàn)初始條件為Z1=6.5 cm，h1=16 cm。兩組試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和計(jì)算結(jié)果如表1和表2所示。

表1 第一組試驗(yàn)結(jié)果及計(jì)算結(jié)果

表2 第二組試驗(yàn)結(jié)果及計(jì)算結(jié)果

表中馬氏瓶?jī)?nèi)回流的水量Vc可由式(9)計(jì)算，添加水計(jì)算值由式(11)計(jì)算。由圖5 對(duì)比試驗(yàn)得到的引起回流實(shí)際添加水和計(jì)算添加水，可知兩者保持一致，說(shuō)明公式具有適用性。試驗(yàn)中試筒的水量由觀測(cè)得到，是主要的誤差來(lái)源。

圖5 添加水的實(shí)際值與計(jì)算值對(duì)比

引起回流添加的水主要為試筒中的水，回流到馬氏瓶?jī)?nèi)和進(jìn)氣管中的水很少，但依然不能忽略，且補(bǔ)充的水量越大，總的回流的水越多。由第一組(或第二組)試驗(yàn)可知，當(dāng)馬氏瓶初始水位一定時(shí)，給試筒添加的水量越多，試筒中水位越高，回流到馬氏瓶?jī)?nèi)和進(jìn)氣管中的水量越大。

在第一組試驗(yàn)中，觀察不同添加水量下Vc+Vd與Va的值，可知總的回流水Vc+Vd占比總添加水Va的比值基本為一個(gè)穩(wěn)定值，為0.18%左右。在第二組試驗(yàn)中，Vc+Vd與Va的比值基本為0.10%左右，比值變小的主要原因是回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水變小了。對(duì)比第一組和第二組試驗(yàn)可知，當(dāng)添加水量一定時(shí)，馬氏瓶初始水位越低，回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水量越大，而回流到進(jìn)氣管中的水基本不變，進(jìn)而導(dǎo)致Vc+Vd與Va的比值越大。

對(duì)于不同的馬氏瓶，s1，s2和s3不同，其最終結(jié)果也不一樣，如果s1比較大，即馬氏瓶截面積較大時(shí)，回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水的占比將更大，Vc+Vd與Va的比值也將更大。若s3較大，即試筒截面積較大時(shí)，回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水的占比將更小，Vc+Vd與Va的比值也將更小。

由上述分析可知，采用馬氏瓶控制恒定水頭只能正向補(bǔ)水，一旦試筒中的水由于外界干擾高過(guò)馬氏瓶進(jìn)氣管底端，就會(huì)造成回流，將無(wú)法提供恒定水頭，進(jìn)而導(dǎo)致馬氏瓶失靈，若仍需用馬氏瓶也可以，可用文中公式求得馬氏瓶回流水量，以及引起馬氏瓶回流所添加的水量。

4 結(jié)論

筆者在進(jìn)行鍋蓋效應(yīng)取水試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)融化產(chǎn)生的液態(tài)水引起了馬氏瓶回流，落下的液態(tài)水有少量進(jìn)入了馬氏瓶，為了獲知試驗(yàn)中實(shí)際生成液態(tài)水的量，本文對(duì)馬氏瓶的回流原理進(jìn)行了相關(guān)研究，得出如下結(jié)論。

(1)馬氏瓶和試筒達(dá)到初始平衡狀態(tài)后，給試筒添加一定量水引起馬氏瓶回流，所添加的水量包括三部分：留在試筒內(nèi)的水、回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水、進(jìn)氣管中的水。

(2)通過(guò)馬氏瓶的兩種平衡狀態(tài)推導(dǎo)出引起馬氏瓶回流所添加水量的計(jì)算式，可知，僅通過(guò)觀測(cè)馬氏瓶就可以計(jì)算得到引起馬氏瓶回流所添加的水量。對(duì)馬氏瓶展開(kāi)回流試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果和計(jì)算結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)實(shí)際值與計(jì)算值保持一致。

(3)馬氏瓶發(fā)生逆向回流時(shí)，回流的水不僅進(jìn)入馬氏瓶進(jìn)氣管，也會(huì)進(jìn)入馬氏瓶?jī)?nèi)，回流到瓶?jī)?nèi)的水將壓縮水面上部的空氣，使瓶?jī)?nèi)空腔體積減小，氣體壓強(qiáng)增大。在回流過(guò)程中，進(jìn)氣管中的水柱始終與試筒中的水面同高。當(dāng)添加水量一定時(shí)，馬氏瓶的初始水位越低，回流到馬氏瓶?jī)?nèi)的水量將越大。