岳曾元

(德國體育大學(xué)(科隆)，科隆)

浮體，指任何能在靜止水面上飄浮的物體。船體是特殊的浮體。其特殊之處在于，船體的外表面是一個(gè)開口向上的殼體。開口邊界即船沿。這為船體允許的傾斜程度提供了一個(gè)上限：船體不允許傾斜到使水漫過船沿。否則船體會(huì)傾覆以致沉沒。這也為船體及其載荷能承受的外部擾動(dòng)力矩提供了一個(gè)上限。顯然，這個(gè)上限越高，船體及其載荷越能承受更大的風(fēng)浪，因而穩(wěn)定性能越強(qiáng)。

本文首先研究簡單的浮體和船體模型的穩(wěn)定性，并分析和計(jì)算簡單的船體模型能承受的最大外部擾動(dòng)力矩；然后將這些分析和計(jì)算方法推廣到實(shí)際船體；最后，將詳細(xì)比較關(guān)于浮體平衡穩(wěn)定性的6種判據(jù)，指出它們各自的優(yōu)點(diǎn)和局限性，以及相互關(guān)系。

1 浮體平衡態(tài)的穩(wěn)定性定義

假定浮體在一定位置和方位下達(dá)到平衡。考慮浮體的方位發(fā)生了小擾動(dòng)。則浮體的重心C 會(huì)相應(yīng)地調(diào)整其深度，使排水量不變，從而浮力仍等于重力。若作用在擾動(dòng)態(tài)重心的重力與作用在擾動(dòng)態(tài)浮心的浮力產(chǎn)生恢復(fù)力矩，則穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。

此外，對(duì)于船體而言，不但關(guān)心當(dāng)船體從平衡姿態(tài)發(fā)生微小擾動(dòng)時(shí)能否穩(wěn)定，而且關(guān)心為使船體的傾斜保持在允許范圍內(nèi)，船體能承受的最大外部擾動(dòng)力矩。后者是代表船體穩(wěn)定性能的重要指標(biāo)。

已有多篇文章[1-3]指出過對(duì)于浮體穩(wěn)定性容易產(chǎn)生的一個(gè)誤解，認(rèn)為若平衡態(tài)下重心低于浮心則穩(wěn)定，若重心高于浮心則不穩(wěn)定。第5節(jié)將證明，前面一句話是對(duì)的，而后面一句話不對(duì)，因?yàn)橹匦母哂诟⌒臅r(shí)未必不穩(wěn)定。這一點(diǎn)可從后面將講到的許多例子中看出。

2 半球體的平衡與穩(wěn)定

設(shè)半球體的半徑為R，重量為W。先設(shè)半球體密度均勻，與水密度ρ 之比η ＜1。設(shè)平衡時(shí)，半球嵌入水中的深度(即半球底部到水面的距離)為H，嵌入體積為

其中r 為嵌入體積中水平圓截面的半徑，ζ 為該截面到半球底部的距離(參見圖1(a)，其中設(shè)η =0.5)。

平衡時(shí)浮力與半球體重力相等

得到

求其反函數(shù)需解一個(gè)3次方程(標(biāo)準(zhǔn)解法見文獻(xiàn)[4])，結(jié)果為

圖1

重心C 到半球底部的距離為

因此半球頂部平面高于重心C 的距離為

排水體積的形心(即浮心) Q 在平衡時(shí)到底部的距離為

當(dāng)η =0.5，有

注意，在此例中, 明顯有ζC＞ζQ，即重心高于浮心。但此平衡態(tài)對(duì)小擾動(dòng)卻是穩(wěn)定的，因?yàn)楫?dāng)發(fā)生向右的小的傾斜時(shí)，對(duì)此半球體而言，浮心仍保持在過球心的鉛直線上，而重心卻向左移動(dòng)(參見圖1(b)，其中傾角θ = 5°)，因而重心與浮心的力偶矩為恢復(fù)力矩。只要傾角θ 不超過即只要半球頂部平面的最低點(diǎn)未低于水平面，由重力和浮力產(chǎn)生的恢復(fù)力矩為

其中Wwater是假定半球充滿水時(shí)的重量。對(duì)于非均勻半球體，只要質(zhì)量分布關(guān)于半球的幾何對(duì)稱軸是軸對(duì)稱的，并將η理解為該半球?qū)嶋H重量W與Wwater之比，即

則上述所有推導(dǎo)全部成立。唯一不同的是，O點(diǎn)高于重心C的距離Λ將隨半球中質(zhì)量的具體分布而變化。

3 簡單船體模型加載的穩(wěn)定性問題

3.1 均勻半球殼形船體加載的穩(wěn)定性

設(shè)船體為均勻半球殼形，半徑為R，船上加載的重物被固定在船體上，且加載物重心在對(duì)稱軸上，于是總重量W的重心C仍在對(duì)稱軸上。η仍由式(8)定義。設(shè)船口平面高出重心C的距離為Λ。這事實(shí)上是上節(jié)末尾討論的非均勻半球體的特殊情形。上節(jié)中得到的式(1)～式(6)在這里完全適用，因?yàn)樗鼈兣cΛ無關(guān)。對(duì)于半球殼船體而言，由式(7)定義的最大偏角θmax有一個(gè)更具體的含義：若船體傾斜超過θmax，水將漫過船沿，使船體傾覆乃致沉沒。θ=θmax代表半球殼的船沿接觸水表面的情形。θ=θmax時(shí)的恢復(fù)力偶矩為半球殼船體所能承受的最大外部擾動(dòng)力矩

引進(jìn)無量綱的最大承受力矩

利用式(3)～式(4)，可將μmax/λ只用H/R或只用η表示

如圖2(a)和圖2(b)所示。

圖2

圖2 表明，中等吃水深度，或中等載荷的船最有利于承受更大的風(fēng)浪。這個(gè)結(jié)論將在下面的討論中一再被證實(shí)。由式(9)可知，重心越低(Λ越大)，則體系越能承受更大的外部擾動(dòng)力矩，即體系的穩(wěn)定性能越好。

3.2 均勻半圓柱殼形船體加載的穩(wěn)定性

設(shè)船體為一均勻圓柱殼的一半(橫截面為半圓，船沿為矩形)。圓柱半徑為R，縱向(母線)長度為L，且L?R。為簡單起見，只考慮關(guān)于橫向擾動(dòng)的穩(wěn)定性問題。取固定于船體的“隨體”直角坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)，使得當(dāng)船體的船口平面處于水平時(shí)，原點(diǎn)O位于船口平面中心，Y軸沿縱向，Z軸鉛直向上，X軸則指向橫向。假定船體與載荷的總重量W的分布關(guān)于中心橫截面(Y= 0)和中心縱截面(X= 0) 都是對(duì)稱的。于是，第一，船口平面處于水平的平衡態(tài)是存在的，在該平衡態(tài)之下，重心C和浮心Q都在鉛直線X=Y= 0 上；第二，在橫向擾動(dòng)中，重心C和浮心Q將始終保持在中心橫截面(Y= 0)內(nèi)。由于穩(wěn)定性及最大允許外力矩的討論只涉及重心C和浮心Q的位置，因此只需討論中心橫截面(Y= 0)中的二維圖像，見圖3。圖3(a)和圖3(b)分別為平衡態(tài)和最大允許傾角的狀態(tài)。設(shè)在平衡時(shí)，船體在中心橫截面的二維“隨體”坐標(biāo)系(O;X,Z)與二維空間坐標(biāo)系(o;x,z)重合。當(dāng)船體發(fā)生橫向擾動(dòng)時(shí)，OZ軸將偏離oz軸, 在zox平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)。

圖3

圖3(a)中重心C的位置假定是已知的。將總重量W與假定半圓柱殼中充滿水的重量Wwater之比定義為η，將平衡時(shí)半圓橫截面中位于吃水線以下的面積記為SH。由于SH等于圖3(a)中oA與oB間的扇形面積減去三角形oAB的面積，容易得到

平衡時(shí)浮力與重力的平衡導(dǎo)致

因此得到

設(shè)浮心Q到船體底部的距離為ζQ。有

因此得到

對(duì)于η=0.5, 得到

船體在η= 0.5 且處于最大傾角時(shí)的橫截面如圖3(b)所示。重心到船口平面的距離Λ與如何安放貨物有關(guān)。(該圖中Λ= 0.75R是額外假定的) 關(guān)于船體能承受的最大側(cè)向外力矩Mmax及其無量綱表示μmax, 式(9)～式(10)仍然成立。只是η與H/R的關(guān)系，現(xiàn)在要采用式(11)。于是由式(10)得到

如圖4(a)和圖4(b)所示。

圖4

在給定λ(重心位置)情況下，μmax在H/R=0.581 9 或η= 0.483 6 達(dá)極大值。再次看到，中等浸水深度或中等載荷對(duì)于船體承受外界擾動(dòng)是最有利的。

3.3 矩形截面柱殼船體加載的穩(wěn)定性

考慮橫截面是寬為b高為h的矩形的柱殼形船體，其縱向長度為L，L?b。為簡單起見，仍然只考慮關(guān)于橫向擾動(dòng)的穩(wěn)定性問題。與3.2 節(jié)類似，假定船體與載荷的總重量W關(guān)于中心橫截面和中心縱截面的分布都是對(duì)稱的。于是，重心便固定在中心橫截面的對(duì)稱軸上。基于與3.2 節(jié)同樣的道理，只需考慮中心橫截面上的二維圖像，如圖5 所示。設(shè)平衡時(shí)，船口平面高于重心的距離為Λ?？傊亓縒與假定矩形截面柱殼中充滿水的重量Wwater之比定義為η

其中ρ為水密度,Wwater是假如船容積中充滿水時(shí)水的重量。設(shè)平衡時(shí)水平面到船底平面的距離為H，則浮力(bHLρg)與重力(W=bhLρgη)相等導(dǎo)致

空間坐標(biāo)系(o;x,z)和二維隨體坐標(biāo)系(O;X,Z)，使原點(diǎn)o位于平衡時(shí)吃水平面的中心，x軸向右，z軸向上。在平衡狀態(tài)下，(O;X,Z)與(o;x,z)重合。平衡時(shí)，浮心位置為

當(dāng)船體發(fā)生較小的橫向傾角θ時(shí)，浮心Q將偏離過O點(diǎn)的鉛垂線(見圖5(a))。

圖5

圖5(a)給出船體順時(shí)針傾斜θ角時(shí)橫截面的真實(shí)圖像：水面是水平的。為使浮力仍等于重力，浸入水的梯形面積必須等于θ= 0 時(shí)的浸入水的矩形面積，即Hb。這也意味著水面必通過原點(diǎn)o。為求該擾動(dòng)態(tài)的浮心Q，先考慮浮體坐標(biāo)系(O;X,Z)中的圖像(圖5(b))。這里，水面成為向左傾斜的平面BD，與平衡(θ=0, 水面為AC)相比，浸水體積增加了一部分(由三角形OCD所示)，同時(shí)減小了一部分(由三角形OAB所示)。這兩個(gè)三角形的形心分別記為P1和P2。將每個(gè)三角形面積與浸水面積之比記為α，有

將平衡態(tài)時(shí)的浮心刻在浮體上，記為Q0, 令它隨浮體一起動(dòng)。則在浮體坐標(biāo)系(O;X,Z)中有

注意到

得到

在θ→0 過程中，δ和α都是與θ同階的小量。由式(12)之第一式可知，的x分量和z分量分別為θ的1階小量和2階(或高階)小量。因此，可將式(13)寫成更一般的形式

式(14)適用于任何形狀的浮體。重心C在(O;X,Z)系中的坐標(biāo)為

通過坐標(biāo)變換

式中Λ為平衡時(shí)船口平面高于重心的距離(若Λ ＜0，則表示重心比船口平面高出|Λ|)。重力和浮力產(chǎn)生的恢復(fù)力偶矩為

若M(θ)＜0，則表示重力和浮力產(chǎn)生的力偶矩會(huì)使傾斜變得更嚴(yán)重，即失穩(wěn)。引入無量綱恢復(fù)力偶矩

則得到

其中

由圖5 可知，船體最大允許傾角為船沿接觸水面的情形，即

M(θ)在0 ≤θ≤θmax中的最大值就是該船體在給定幾何尺寸(h,b,L)和給定總重量及其安排(W,η,Λ)之下所能承受的最大外部干擾力矩。圖5中還顯示另一個(gè)臨界傾角，即船底部左端點(diǎn)與水面接觸的傾角

倘若η≥1/2，則有H≥h/2, 從而θcrit≥θmax。也就是說，在整個(gè)傾角允許范圍0 ≤θ≤θmax內(nèi)，不會(huì)遇到水面越過船底部左端點(diǎn)(即θ ＞θcrit)的情形。但倘若η ＜1/2，則有H ＜h/2, 從而θcrit＜θmax。于是在θ達(dá)到θmax之前，會(huì)遇到θ ＞θcrit的情形。這時(shí)浮心Q的計(jì)算方法如圖6 所示。由于傾斜后浮力大小仍必須等于重力，三角形AEF的面積必須等于Hb，即圖6(b)中

由此得出

圖6

其中K為EF的中點(diǎn)。由此得出A點(diǎn),K點(diǎn)以及浮心Q點(diǎn)在(O;X,Z)系中的坐標(biāo)

重心C在(O;X,Z)系中的坐標(biāo)仍由式(15)給出。因此，向量在(O;X,Z)系中的坐標(biāo)為

重力和浮力產(chǎn)生的恢復(fù)力偶矩及無量綱恢復(fù)力偶矩為

和

至此，已完成矩形截面柱殼船體在給定幾何尺寸(h,b,L)和給定總重量及其安排(W,η,Λ)之下恢復(fù)力偶矩作為傾角函數(shù)的全部計(jì)算。下面對(duì)穩(wěn)定條件作一個(gè)一般的討論。在平衡(θ= 0)時(shí)，浮心在過重心的鉛垂線上。因而

穩(wěn)定性意味著當(dāng)發(fā)生小的傾角θ ＞0 時(shí)，xCQ＞0，從而浮力與重力產(chǎn)生恢復(fù)力偶矩。因此，矩形截面柱殼船體加載穩(wěn)定的充分必要條件是(見式(17))

亦即

或其無量綱形式

注意η的范圍只是0 ≤η≤1。由式(21)可知，對(duì)于較寬的船體(例如β=4)，即使重心明顯高于船口平面(λ ＜0)，該平衡仍可能是穩(wěn)定的。

現(xiàn)在來討論矩形截面柱殼船體在給定幾何尺寸和重心位置(h,b,L,Λ)之下所能承受的最大外界擾動(dòng)力矩Mmax對(duì)η(或?qū)Τ运疃菻=ηh)的依賴關(guān)系。Mmax定義為在θ= 0 為穩(wěn)定平衡前提下恢復(fù)力矩M(θ)在0 ≤θ≤θmax中的最大值，其中M(θ) 由式(18) (當(dāng)η≥1/2)或式(18)及式(20) (當(dāng)η ＜1/2)給出。最大允許傾角θmax則由式(19)給出，它也可寫成無量綱形式

作為一個(gè)例子，圖7給出在(β=4,λ=0.75)條件下Mmax對(duì)η的依賴關(guān)系。Mmax在η= 0.41 達(dá)最大。再次發(fā)現(xiàn)，對(duì)不同形狀的船體和浮體，Mmax總是在中等載荷，或中等浸水深度達(dá)最大。

綜上所述，對(duì)矩形截面柱殼船體穩(wěn)定性的研究得出如下有益的結(jié)論：

(1) 對(duì)于給定的船體深度h, 適當(dāng)增大船體寬度b, 不但會(huì)增大載貨量，而且會(huì)大大改善船體的穩(wěn)定性。

圖7

(2) 對(duì)于給定的船體與載荷總重量W 而言，重心越低越有利于穩(wěn)定性。對(duì)于較寬的船體，甚至允許重心適當(dāng)?shù)馗哂诖谄矫妗＿@一點(diǎn)對(duì)大型的多層游輪和載有多層集裝箱的貨輪很重要。盡管如此，也應(yīng)將重心盡可能降低，以獲得盡可能大的抗外部擾動(dòng)能力。

(3) 船體的幾何結(jié)構(gòu)決定了它允許的最大浸水深度和最大排水量，因而也決定了它的不可超越的最大總載荷。為使加載船體獲得最佳的承受外部干擾力矩的能力，中等載荷或中等浸水深度最有利。

4 實(shí)際船體的穩(wěn)定性

考慮一個(gè)任意形狀的實(shí)際船體，上面有固定的載荷。船體與載荷總重量為W, 它不能超過船體可能的最大排水量的重量，亦即W的上限，Wwater=Wmax，否則水會(huì)漫過船沿，造成船體傾覆乃至沉沒。仍可定義

可將船體在平衡時(shí)所允許的最高吃水線看成是刻在船體外表面上的幾何曲線，而將此幾何曲線所在的幾何平面定義為“船口平面”，將船口平面到船底(指平衡時(shí)過船外表面最低點(diǎn)的水平面)的鉛直距離記為h，將船口平面高于總重量W的重心C的距離記為Λ。注意，船口平面,h,Λ三者都是“隨體不變量“，即不因船體之傾斜而改變。

仍將總重量為W的船體在水面平衡時(shí)，吃水線到船底的鉛直距離記為H，將過重心C的鉛直線與“吃水平面” (即過吃水線的平面)之交點(diǎn)作為“空間坐標(biāo)系”的原點(diǎn)o，且令oz軸鉛直向上，oy軸水平向前。于是ox軸為水平且指向由船尾向船頭看時(shí)的右側(cè)。將此坐標(biāo)系三個(gè)軸上的單位向量分別記為eeex，eeey和eeez。平衡時(shí)，定義“隨體坐標(biāo)系”(O;X,Y,Z)與空間坐標(biāo)系(o;x,y,z)重合。設(shè)該平衡態(tài)時(shí)，船體外表面的形狀滿足方程

引進(jìn)

則ξ為平衡時(shí)外表面任一點(diǎn)(x,y)到船底平面的高度。當(dāng)船體發(fā)生傾斜時(shí)，ξ=F(X,Y)則代表外表面任一點(diǎn)(X,Y)到過“船底點(diǎn)”的切平面的垂直距離。F(X,Y)和f(X,Y)=F(X,Y)-H都是”隨體不變量“，即不隨船體傾斜而改變。所不同的是，F(xiàn)(X,Y)只依賴于船體外表面的幾何形狀，而f(X,Y)則還依賴于平衡時(shí)的浸水深度，從而依賴于總重量W。對(duì)于給定的船體，ξ=F(X,Y)是已知函數(shù)。雖未必能用統(tǒng)一的解析式給出，但可從設(shè)計(jì)圖紙或?qū)嶋H測(cè)量得到。將總重量為W和Wwater=Wmax時(shí)吃水線在xy平面投影所圍的區(qū)域分別記為DH和Dh，則有

其中ρ為水的密度。于是有

首先討論當(dāng)船體只發(fā)生橫向傾斜，OZ軸相對(duì)于oz軸在x方向傾角為θ時(shí)，浮心Q的求法。在隨體坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)中看，船體外表面仍由方程

給出。而吃水面則為一個(gè)向左傾斜的平面

其中δ= 0 (當(dāng)θ= 0)。傾角為θ時(shí)排水體積V仍必須與平衡時(shí)的排水體積相同

其中V為斜面(式(23))與外表面(式(22))之間的體積，Dθ為斜面(式(23))與外表面(式(22))之交線在XY平面投影所圍區(qū)域。由式(24)定出δ之后，浮心Q(即體積V的形心)在隨體坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)中的坐標(biāo)為重心C在隨體坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)中的坐標(biāo)為

由此得到純橫向傾斜且傾角為θ時(shí)浮力與重力的恢復(fù)力偶矩為

其中θ不超過最大允許橫向傾角θmax。船體所能承受的最大橫向外界擾動(dòng)力矩為

純橫向傾斜穩(wěn)定性判據(jù)為

這可由式(27)來判斷。可用完全類似的方法討論純縱向傾斜，OZ軸相對(duì)于oz軸在y方向傾角為φ時(shí)浮心Q的求法。在隨體坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)中看，吃水面為一個(gè)向后傾斜的平面

其中Δ=0 (當(dāng)φ=0)。排水體積V必須等于平衡時(shí)的排水體積，即

其中V為斜面(式(28))與外表面(式(22))之間的體積，Dφ為斜面(式(28))與外表面(式(22))之交線在XY平面投影所圍區(qū)域。由式(29)定出Δ之后，浮心Q(即體積V的形心)在隨體坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)中的坐標(biāo)為

重心C在隨體坐標(biāo)系(O;X,Y,Z)中的坐標(biāo)仍由方 程(25)和(26)給 出。 向 量--→CQ在 隨 體 坐 標(biāo) 系(O;X,Y,Z)中的坐標(biāo)為

將最大允許縱向傾角記為φmax，于是得到純縱向傾斜且傾角為φ(φ≤φmax)時(shí)浮力與重力的恢復(fù)力偶矩為

船體所能承受的最大縱向外界擾動(dòng)力矩為

純縱向傾斜穩(wěn)定性判據(jù)為這可由式(30)來判斷。至此，已完成任意形狀船體在給定重量和重心時(shí)，對(duì)橫向和縱向傾斜的穩(wěn)定性及所能承受最大外部擾動(dòng)力矩的推導(dǎo)。實(shí)際船體的設(shè)計(jì)除了考慮穩(wěn)定性(包括承受外部擾動(dòng)力矩的能力)之外，還需考慮貨運(yùn)量，行進(jìn)速度，建造費(fèi)用等因素。例如，增大船體寬度固然對(duì)貨運(yùn)量和穩(wěn)定性都有利，但也會(huì)增大行進(jìn)的阻力，從而降低行進(jìn)速度，并且也會(huì)增加建造費(fèi)用。內(nèi)河航運(yùn)的游船和貨船還需考慮河水寬度和橋墩間距等因素。

5 討論

現(xiàn)在將浮體穩(wěn)定平衡的各種判據(jù)作一小結(jié)，比較它們各自的優(yōu)點(diǎn)和局限性，以及它們之間可能存在的邏輯關(guān)系。

判據(jù)1

定理1浮體平衡時(shí)，若重心低于浮心，則該平衡態(tài)是穩(wěn)定的。

證明設(shè)水面為z= 0。eeez為z軸單位向量，指向上。平衡時(shí)，重心C和浮心Q在同一鉛直線上，且已知

將過C和Q的直線與水面的交點(diǎn)取作原點(diǎn)o。在浮體上取一個(gè)平衡時(shí)與ez重合的“隨體”單位向量EZ?，F(xiàn)考慮浮體方位從該平衡態(tài)發(fā)生一個(gè)小偏離達(dá)到一個(gè)擾動(dòng)態(tài)。無妨設(shè)擾動(dòng)態(tài)的EZ與eeez所在的平面為xoz平面，EZ從eeez向x方向傾斜了一個(gè)角度θ。將平衡時(shí)的浮心刻在浮體上的位置記為Q0，它隨浮體一起動(dòng)。令隨體坐標(biāo)系(O;X,Z)在平衡時(shí)與空間坐標(biāo)系(o;x,z)重合。在擾動(dòng)態(tài)(θ ＞0)仍有

即

由式(14)，有

將以上二式相加，得到

因此擾動(dòng)態(tài)重力和浮力的力偶矩是恢復(fù)力矩。故該平衡態(tài)穩(wěn)定。證畢。

此判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是其簡單性：完全不必計(jì)算擾動(dòng)態(tài)浮心的位置。此判據(jù)的局限性是，它只適宜于浮體重心低于浮心的情形。此情形只有不均勻浮體和船體，當(dāng)重量集中在底部附近時(shí)才會(huì)出現(xiàn)。密度小于1的均勻浮體，其平衡態(tài)有一部分露出水面，重心一定高于浮心。

判據(jù)2

力偶矩法

對(duì)于平衡態(tài)附近的擾動(dòng)態(tài)，重心位置由隨體變化容易得出。只要算出浮心的位置，便可直接判斷擾動(dòng)態(tài)重心與浮心力偶矩是不是恢復(fù)力矩，從而判斷該平衡態(tài)是否穩(wěn)定。此方法的優(yōu)點(diǎn)是，第一，它普遍適用于一切浮體；第二，它無需計(jì)算“浮心曲線”或“浮心曲面”的具體形狀；第三，此法便于計(jì)算船體所能承受的最大外部擾動(dòng)力矩，如本文在第3 節(jié)和第4節(jié)中所作的那樣。

判據(jù)3

最小總勢(shì)能法

浮體只受重力和浮力。重力場(chǎng)是有勢(shì)的，做功與路徑無關(guān)，因而有重力勢(shì)能。若將水面定義為z= 0(z ＞0 和z ＜0 分別表示水面以上和水面以下)，并將重力勢(shì)能的零點(diǎn)取為z= 0, 則浮體的重力勢(shì)能UG可簡單地表示為

其中W為浮體重量，zC為重心C的z坐標(biāo)。類似地，可以引進(jìn)“浮力場(chǎng)”

它在z ＜0 和z ＞0 分別為兩個(gè)有勢(shì)場(chǎng)，但在z= 0處間斷。容易證明“浮力場(chǎng)”f 做功與路徑無關(guān)，或等價(jià)地，“浮力場(chǎng)” f 沿任一閉曲線c做功為零。事實(shí)上，若閉曲線c完全在z ＜0 區(qū)域或完全在z ＞0 區(qū)域，這是顯然的。當(dāng)閉曲線c的一部分在z ＜0 區(qū)域而其余部分在z ＞0 區(qū)域時(shí)，對(duì)每段水面以上的部分，可用從該段的出水點(diǎn)到入水點(diǎn)的從下方緊貼于水面的直線段來代替，因?yàn)楸緛砀×?chǎng)對(duì)z ＞0部分做功就為零，而緊貼于水面的直線段上，浮力場(chǎng)與線段垂直，做功亦為零。經(jīng)過這樣替代后的整個(gè)閉曲線c′處于z ＜0的有勢(shì)場(chǎng)中, 因而

由于當(dāng)浮體整個(gè)處于水面以上時(shí)浮力為零，因而浮力在z ＞0不做功，自然將浮體整個(gè)處于水面以上的狀態(tài)定義為浮力勢(shì)能為零。于是，浮體在任一姿態(tài)下的浮力勢(shì)能UF便是將浮體從該姿態(tài)向上提升出水面過程中浮力所作的功，也就是該過程中浮力對(duì)浮體浸于水下部分所有體積元做功之和

其中V為浮體位于水面以下的那部分體積,ρ′為水密度。此式對(duì)浮體的任何位置和姿態(tài)都成立。特別，對(duì)于浮力等于重力的情形(包括平衡態(tài))，有

因此，在浮力等于重力這一限定下，有

于是，在浮力等于重力這一限定下，可將總勢(shì)能U簡單地寫成

由此得到

定理2浮體平衡態(tài)是穩(wěn)定平衡的充分必要條件是重心與浮心的高度差zC-zQ在浮力等于重力這一限定下達(dá)極小。

證明由穩(wěn)定平衡的最小總勢(shì)能原理和式(31)立即得證。

(注意，“浮力等于重力”這一限定是必要的。若取消這一限定，例如對(duì)均勻浮體，可將浮體整個(gè)按入水中，重心將與浮心重合，zC-zQ將等于零。)

推論1浮體的穩(wěn)定平衡態(tài)若重心高于浮心，則重心與浮心的距離在浮力等于重力這一限定下達(dá)極小。

證明重心C與浮心Q的距離為

由于該穩(wěn)定平衡態(tài)重心C高于浮心Q，由定理2知，該穩(wěn)定平衡態(tài)的zC-zQ在浮力等于重力這一限定下達(dá)極小。在平衡態(tài)，重心C與浮心Q在同一鉛直線上，上式根號(hào)下的前兩項(xiàng)為零。因而距離l在浮力等于重力這一限定下達(dá)極小。

推論2密度小于1 的均勻浮體的穩(wěn)定平衡態(tài)，其重心與浮心的距離在浮力等于重力這一限定下達(dá)極小。

證明密度小于1 的均勻浮體的平衡態(tài)，重心一定高于浮心，于是由推論1立即得證。

將上述推論1和推論2總結(jié)為

判據(jù)4

密度小于1 的均勻浮體的穩(wěn)定平衡態(tài)(或非均勻浮體重心高于浮心時(shí)的穩(wěn)定平衡態(tài))，其重心與浮心的距離在浮力等于重力這一限定下達(dá)極小。

穩(wěn)定平衡時(shí)重心與浮心距離達(dá)極小這一說法常在一些文章中用到[5-7]。這里則給出了從總勢(shì)能最小原理推導(dǎo)出這一判據(jù)的邏輯關(guān)系。

判據(jù)5

定傾中心法：

當(dāng)浮體處于平衡態(tài)時(shí)，浮力等于重力，重心與浮心處于同一鉛直線上。設(shè)想將這一鉛直線刻在浮體上，稱為“刻線”。當(dāng)浮體偏離該平衡態(tài)，保持排水量不變，而傾斜到一個(gè)擾動(dòng)態(tài)時(shí)，“刻線”將達(dá)到一個(gè)新位置。而浮心也由擾動(dòng)態(tài)排水體積的形狀而達(dá)到一個(gè)相應(yīng)的位置。將過擾動(dòng)態(tài)浮心的鉛直線與擾動(dòng)態(tài)“刻線”的交點(diǎn)稱為“定傾中心”。該判據(jù)稱，若擾動(dòng)態(tài)的重心低于定傾中心，則穩(wěn)定；若擾動(dòng)態(tài)的重心高于定傾中心，則不穩(wěn)定。許多作者討論過這一方法[1-3,5,8]。對(duì)于二維問題，不難看出，此法與力偶矩法等價(jià)。但在三維擾動(dòng)的一般情形下，過擾動(dòng)態(tài)浮心的鉛直線是否與“刻線“相交，會(huì)引出一些數(shù)學(xué)上的復(fù)雜討論。總之，雖然在船舶設(shè)計(jì)中這是一個(gè)常用的概念，使用起來，它并不比上述4種判據(jù)更方便。

判據(jù)6

當(dāng)浮體具有明顯的對(duì)稱性，使得從直觀上即可判斷它只有有限的幾個(gè)平衡姿態(tài)時(shí)，可直接比較這些平衡態(tài)的總勢(shì)能，或重心浮心的高度差zC-zQ，或(當(dāng)重心高于浮心時(shí))重心浮心距離l，來直接判斷哪些平衡態(tài)穩(wěn)定，哪些平衡態(tài)不穩(wěn)定，而不必對(duì)這些平衡態(tài)之間的擾動(dòng)態(tài)作任何計(jì)算。(見下面的例1)

例1橫截面為矩形(長為a, 寬為b,a ＞b)的均勻柱體，密度與水密度之比為η ＜1，能以(1)臥式和(2)立式兩個(gè)姿態(tài)在水面平衡(圖8)。

圖8

易知在臥式和立式兩個(gè)姿態(tài)下的浸水深度分別為

兩個(gè)姿態(tài)下的重心(分別記為C1和C2)和浮心(分別記為Q1和Q2)的z坐標(biāo)分別為

顯然zC1-zQ1＜zC2-zQ2。又由直觀判斷，zC-zQ不可能在臥式和立式兩個(gè)姿態(tài)之間的任何中間態(tài)達(dá)極值。因此，zC-zQ必在臥式(1)達(dá)極小，在立式(2)達(dá)極大。因而，臥式平衡(1)穩(wěn)定，而立式平衡(2)不穩(wěn)定。

例2再次考慮3.2 節(jié)中討論過的半圓柱殼形的船體模型。設(shè)船體與加載的總重量W小于該半圓柱殼中充滿水時(shí)水的重量Wwater，則平均密度與水密度之比

設(shè)船體與加載的質(zhì)量分布沿縱向均勻，且在橫截面上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱分布。在此條件下，該加載船體在水面平衡時(shí)的浸水深度和浮心位置完全由圓半徑R和總重量W決定，與總重量W在鉛直方向如何分布無關(guān)。因此，可以在保持總重量W不變前提下調(diào)解其鉛直方向分布，從而相應(yīng)地調(diào)解重心位置，而保持浮心位置不變。

圖9 是針對(duì)η= 0.5 算出的浸水深度和浮心位置Q。調(diào)解質(zhì)量的鉛直方向分布可分別得出平衡時(shí)圖中所示的重心位置C1,C2,C3。其中，C1在浮心Q之下；C2在浮心Q之上，但在圓心O之下；C3則在圓心O之上。當(dāng)船體連同載荷向右傾斜角度θ時(shí)，只要θ在允許范圍內(nèi)(即水不漫過船沿)，則浮心Q的空間位置不變，而重心C1，C2，C3分別隨船體旋轉(zhuǎn)到D1，D2，D3。注意此問題中定傾中心就是O點(diǎn)。對(duì)于平衡態(tài)C1，可用判據(jù)1，2，3，5 中任何一個(gè)，斷定它是穩(wěn)定平衡；對(duì)于平衡態(tài)C2，可用判據(jù)2，3，4，5 中任何一個(gè)，斷定它是穩(wěn)定平衡；對(duì)于平衡態(tài)C3，可用判據(jù)2，3，4，5 中任何一個(gè)，斷定它是不穩(wěn)定平衡。此問題中，可以對(duì)平衡態(tài)C1,C2和C3直接算出重心與浮心距離作為傾角θ的函數(shù)

圖9

顯然，l1(θ)和l2(θ)分別在θ= 0 達(dá)極小值QC1和QC2。而l3(θ)則在θ= 0 達(dá)極大值QC3。注意，l2(θ)和l3(θ)分別在θ=0 達(dá)極小和極大是判據(jù)4(或總勢(shì)能極小原理)的自然推論；而l1(θ)在θ= 0 達(dá)極小雖是事實(shí)，卻不是判據(jù)4(或總勢(shì)能極小原理)的推論。

6 結(jié)語

本文通過盡可能簡單的模型，討論了浮體(包括船體)平衡的穩(wěn)定機(jī)制和判據(jù)，給出求船體能承受的最大外部擾動(dòng)力矩的計(jì)算方法。這些方法不但適用于簡單的船體模型，而且適用于實(shí)際的船體。這對(duì)改進(jìn)船體設(shè)計(jì)會(huì)有一定參考價(jià)值。本文中對(duì)各種穩(wěn)定性判據(jù)的詳細(xì)討論有助于澄清該領(lǐng)域的一些基本概念，為改進(jìn)該領(lǐng)域的教學(xué)和研究會(huì)有所助益。

致謝作者謹(jǐn)向武際可教授表示衷心的感謝。感謝他建議作者深入考慮了這個(gè)有興趣的課題。并且作者從和他的多次討論中，獲得許多有益的啟示。