孫寬程

【摘要】函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學中最常見的一種思想，它能夠使我們在解題中保持最正確的分析方向，在思考的過程中掌握此類問題的推理技巧，因此，我們必須在相同的類型題中找到規(guī)律，舉一反三，做到遇到這種題目就能夠得心應手地解決.

【關鍵詞】函數(shù);方程;思想;轉(zhuǎn)化

一、方?程

（一）方程的概念

含有未知數(shù)的等式叫作方程.

（二）方程的思想

通俗地說，方程的出現(xiàn)就是把一個問題運用逆向思維去解決，我們在解方程的時候不難發(fā)現(xiàn)，每次都是先設要求的答案為未知數(shù)，從后往前推進，在這個過程中我們會得到一個含有未知數(shù)的等式，這個等式就是我們說的方程，而這個過程就叫作構(gòu)造方程，由此及彼，方程的思想就是運用逆向思維去尋找一個等量關系.

二、函?數(shù)

（一）函數(shù)的概念

一般地，在一個變化過程中，假設有兩個變量x，y，如果對任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù).x的取值范圍叫作這個函數(shù)的定義域，相應y的取值范圍叫作函數(shù)的值域.

（二）函數(shù)的思想

函數(shù)與方程最大的不同就是函數(shù)可以運用圖像來解決一些棘手的問題，因此，我們在分析函數(shù)問題時，總是會選擇運用函數(shù)的圖像或者它本身的性質(zhì)來處理，其他的過程與方程思想無異，建立新的函數(shù)，將所要求的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題，以此來解決原有問題.

三、函數(shù)與方程的思想在實例中的應用

（一）用函數(shù)與方程的思想解決關于不等式類型的問題

在我們所學過的知識中，與函數(shù)和方程聯(lián)系最緊密的應該就是不等式，以前學過的一元一次方程，一元一次不等式和一次函數(shù)之間的關聯(lián)，還有一元二次方程，一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關聯(lián).所以我們以后再學習這種題型的時候，可以適當?shù)芈?lián)系函數(shù)思想或者方程思想，這樣可以非常方便地解決此類問題.

例1?求證不等式：y1-2y

證明?令f（y）=y1-2y-y2（y≠0），

由f（-y）=-y1-2-y+y2=-y（2y-1）2y-1+-y2y-1+y2=y1-2y-y2=f（y），

所以f（y）=y1-2y-y2是偶函數(shù).

當y>0時，2y>20，即1-2y<0，可知f（y）<0.

當y<0時，-y>0，f（y）=f（-y）<0，

故當y≠0時，f（y）=y1-2y-y2<0，

即y1-2y

注意：這道題運用函數(shù)的奇偶性來證明不等式，這需要對函數(shù)的性質(zhì)有深刻的理解和掌握，并能應用在實際問題中.

（二）用函數(shù)與方程的思想解決關于三角函數(shù)類型的問題

三角函數(shù)一般都是與方程的思想相結(jié)合，在解決此類問題時，應注意把方程中的隱含條件與三角函數(shù)值相對應，從而得到結(jié)論.

例2?有一個△ABC的三個內(nèi)角∠1，∠2，∠3的大小正好構(gòu)成了等差數(shù)列，∠1<∠3，又已知tan∠1·tan∠3=2+3，∠3對應的邊z上的高等于43，求△ABC的三邊長x，y，z的大小以及三個內(nèi)角∠1，∠2，∠3的大小.

解?由題可知，

tan∠1·tan∠3=2+3能夠讓人聯(lián)想到△ABC中的恒等式tan∠1+tan∠2+tan∠3=tan∠1·tan∠2·tan∠3，

因此，tan∠1+tan∠3=tan∠2·（tan∠1·tan∠3-1）.

又因為∠1，∠2，∠3成等差數(shù)列，則∠2=π3，

所以tan∠1+tan∠3=3（1+3），

即tan∠1，tan∠3是方程x2-（3+3）x+2+3=0的兩個根，

由∠1<∠3，

可以解得tan∠1=1，tan∠3=2+3，

則∠1=π4，∠3=5π12.

由此可以得出x=8，y=46，z=43+4.

注意：我們在中學階段就學過韋達定理，這道題正好是逆向使用了這個定理，再結(jié)合三角函數(shù)值從而求得出結(jié)果.

（三）用函數(shù)與方程的思想解決關于數(shù)列類型的問題

我們在高中時期學過數(shù)列的通項公式，這是數(shù)列中最基礎也是最重要的部分.那我們來看一下，數(shù)列的通項公式是一個永久不變的等式，我們可以很容易地發(fā)現(xiàn)，這種方法能夠很好解決此類問題.那么我們?nèi)绾斡梅匠痰乃枷虢鉀Q數(shù)列問題呢？

例3?若在數(shù)列{an}中，a1=3，以后各項滿足an+1=an-23，則{an}的前（??）項和最大.

解?由題可知，

{an}是以3為首項，-23為公差的等差數(shù)列，

故Sn=3n+n（n+1）2·-23=-13（n-4）2+163，

當n=4時，Sn取到最大值，故答案填4.

也可以由an=-23n+113得知an是關于n的單調(diào)遞減函數(shù)，

因此，僅僅有前若干連續(xù)項為整數(shù)，它們的和為Sn的最大值，

由an≥0，an+1<0得n=4.

注意：數(shù)列問題是一個比較靈活的知識，具有函數(shù)與方程的兩種特點，因此，我們可以就題而論.

【參考文獻】

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