郭 語，陸 慶，孫志峻，宋愛國

(1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；2.金陵科技學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 南京 211169；3.南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)動力學(xué)與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016)

0 引言

球形超聲電機(jī)是一種多自由度超聲電機(jī)，因其具有響應(yīng)快，定位精度高，斷電自鎖，抗干擾能力強(qiáng)及結(jié)構(gòu)簡單，易集成化等優(yōu)點(diǎn)，受到越來越多的關(guān)注。它具有類似于球關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)形式，非常適合應(yīng)用于機(jī)器人關(guān)節(jié)、人工眼球等領(lǐng)域，許多研究學(xué)者從不同結(jié)構(gòu)形式、驅(qū)動控制機(jī)理和應(yīng)用方式對其開展了相關(guān)研究。

球形超聲電機(jī)的轉(zhuǎn)子一般為球形，定子可采用不同的結(jié)構(gòu)形式和激勵方式。MASHIMO等[1]提出了一種3個環(huán)形行波定子共同夾持驅(qū)動1個球轉(zhuǎn)子的球形超聲電機(jī)，但尺寸和輸出力矩較小。TING等[2]將一系列彎曲壓電陶瓷沿半球形定子表面直線布置，通過在相鄰壓電陶瓷上施加適當(dāng)?shù)南辔徊罘蛛妷盒盘?，在定子上產(chǎn)生行波并驅(qū)動球轉(zhuǎn)子的多自由度運(yùn)動。LU等[3]提出了一種三明治結(jié)構(gòu)的多自由度球形超聲電機(jī)，利用兩個壓電振子夾持1個球轉(zhuǎn)子，利用定子激發(fā)出的5個振動模態(tài)使球轉(zhuǎn)子具有3個轉(zhuǎn)動自由度。趙淳生等[4]針對圓柱-球體多自由度超聲電機(jī)的定子進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，保證定子的一階縱振和二階彎振的固有頻率基本一致。張健滔等[5]提出了一種利用二階面內(nèi)振動模態(tài)工作的多自由度駐波超聲電機(jī)，可實(shí)現(xiàn)球轉(zhuǎn)子的3個轉(zhuǎn)動自由度，但定、轉(zhuǎn)子間的預(yù)壓力僅通過球轉(zhuǎn)子的自身重力提供，因此具有一定的應(yīng)用局限性。SHI等[6]研制了一種面向人工眼球應(yīng)用的球形超聲電機(jī)，利用復(fù)合定子激發(fā)的軸向彎曲模態(tài)和面內(nèi)非軸對稱模態(tài)，通過4個驅(qū)動足產(chǎn)生的3種橢圓運(yùn)動使球轉(zhuǎn)子具有3個旋轉(zhuǎn)自由度。王劍等[7]基于柔性板簧設(shè)計的三自由度球形超聲電機(jī)具有多定子與球轉(zhuǎn)子之間的自適應(yīng)對心調(diào)節(jié)能力。

本文提出一種具有同步調(diào)心底座的球形超聲電機(jī)，由3個環(huán)形行波型定子共同夾持驅(qū)動1個球轉(zhuǎn)子，采用類似三爪卡盤的面螺紋機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)3個定子的同步調(diào)心。利用有限元仿真軟件對定子進(jìn)行動力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計，對定子試制件進(jìn)行了定掃頻實(shí)驗(yàn)。

1 球形超聲電機(jī)的結(jié)構(gòu)與工作原理

球形超聲電機(jī)主要由三爪卡盤底座、定子及其支架、球轉(zhuǎn)子組成(見圖1)。球轉(zhuǎn)子被3個定子夾持，3個定子及其支架水平圓周均勻分布，每個支架內(nèi)裝有碟形彈簧、微型壓力傳感器等零部件，微型壓力傳感器用以檢測定、轉(zhuǎn)子間的預(yù)壓力?，F(xiàn)有采用類似結(jié)構(gòu)的球形超聲電機(jī)需要單獨(dú)調(diào)節(jié)定子支架以改變預(yù)壓力，操作繁瑣且難以保證調(diào)節(jié)過程中轉(zhuǎn)子球心的位置精度，本文采用的三爪卡盤底座在保證3個定子與球轉(zhuǎn)子預(yù)壓力同步調(diào)節(jié)的同時，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的自定心。

圖1 球形超聲電機(jī)結(jié)構(gòu)

3個定子在與球轉(zhuǎn)子接觸位置作用有3個驅(qū)動力矩矢，分別為M1、M2、M3，3個力矩矢相交于球心處，根據(jù)矢量合成關(guān)系，可以合成為一個過球心的合力矩矢M0。通過改變3個超聲電機(jī)定子的驅(qū)動作用，即改變M1、M2、M3的大小，從而在三維空間中改變M0的方向和大小，使球轉(zhuǎn)子繞M0的方向轉(zhuǎn)動。圖2為1號定子與球轉(zhuǎn)子的安裝結(jié)構(gòu)示意圖。定子中心軸線與水平面夾角為α，則球轉(zhuǎn)子所受的M0與M1、M2、M3之間的關(guān)系為

(1)

圖2 單定轉(zhuǎn)子安裝結(jié)構(gòu)

每個定子與球轉(zhuǎn)子的接觸部位為定子內(nèi)緣一狹窄圓環(huán)面，設(shè)接觸圓半徑為rs，球轉(zhuǎn)子半徑為r，預(yù)壓力為N，μ為定、轉(zhuǎn)子間的摩擦系數(shù)，則第i個定子對球轉(zhuǎn)子的理想驅(qū)動力矩為

(2)

考慮帶載驅(qū)動時，定、轉(zhuǎn)子間接觸的粘滑效應(yīng)，實(shí)際驅(qū)動力矩為

(3)

式中:ωsi為第i個定子表面質(zhì)點(diǎn)橢圓運(yùn)動的平均切向速度對應(yīng)的轉(zhuǎn)子角速度；ωri為實(shí)際球轉(zhuǎn)子角速度矢量在第i個定子中心軸上的投影大小；cdi為第i個定、轉(zhuǎn)子間和相對速度有關(guān)的動態(tài)庫倫摩擦系數(shù)，由于接觸力學(xué)的非線性，難以確定實(shí)際值。式(1)、(3)表明，球形超聲電機(jī)的輸出力矩主要受單個定子的性能及定、轉(zhuǎn)子間的接觸力學(xué)影響。由于定、轉(zhuǎn)子間接觸力學(xué)的非線性和復(fù)雜性，因此，本文主要通過對定子的優(yōu)化設(shè)計提高球形超聲電機(jī)的性能。

2 定子的優(yōu)化設(shè)計

2.1 行波型定子的結(jié)構(gòu)參數(shù)化

本文設(shè)計的球形超聲電機(jī)定子為圓環(huán)結(jié)構(gòu)，由錫青銅材質(zhì)的金屬基體和d33效應(yīng)的PZT-4壓電陶瓷組成。由于圓環(huán)結(jié)構(gòu)具有軸對稱性，因此，定子存在兩相同頻正交模態(tài)。在環(huán)形定子底部黏貼有兩相極化分區(qū)的壓電陶瓷片，通過施加空間與時間上分別相差1/4波長和周期的激勵電壓，激起定子彈性體的行波，從而使定子表面質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生橢圓運(yùn)動，在摩擦力的作用下驅(qū)動球轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動。本文選擇B07模態(tài)作為定子的工作模態(tài)，齒數(shù)定為工作模態(tài)中行波數(shù)的整數(shù)倍，以保證不同驅(qū)動點(diǎn)速度方向的一致性。該模態(tài)有7個波，因此齒數(shù)定為42，是波數(shù)的6倍。定子基體的參數(shù)化尺寸如圖3所示，中間圓板通過3個螺紋孔與固定支架連接。為了減小固支對圓環(huán)振動體的影響，中間圓板和圓環(huán)振動體之間的連接厚度小于1 mm。圓環(huán)振動體上開有齒槽形成一定高度的齒，用來提高定子的驅(qū)動效果。圖3中，h為總高，R為外環(huán)半徑，h1為固定板厚度，p1為連接板厚度，p2為齒高，p3為齒寬，p4為齒槽寬，p5為齒外緣斜角。

圖3 定子參數(shù)化結(jié)構(gòu)

不同于常規(guī)圓環(huán)形行波超聲電機(jī)定子主要依靠上端面實(shí)現(xiàn)驅(qū)動圓板轉(zhuǎn)子，該定子通過其內(nèi)緣的狹窄圓環(huán)面驅(qū)動球轉(zhuǎn)子，因此多出p5這一結(jié)構(gòu)參數(shù)。h、h1和R根據(jù)外形尺寸及定、轉(zhuǎn)子間的安裝關(guān)系確定并為固定值，在確定優(yōu)化參數(shù)變化范圍且應(yīng)保證各參數(shù)變動時，結(jié)構(gòu)內(nèi)不產(chǎn)生干涉、尺寸負(fù)值等現(xiàn)象，固定尺寸和初定各優(yōu)化參數(shù)初值及其范圍如表1所示。

表1 固定尺寸、優(yōu)化參數(shù)初值及其取值范圍

2.2 定子的結(jié)構(gòu)有限元分析

定子能否正常工作且滿足性能要求，取決于以下幾方面因素：

1) 工作模態(tài)是否遠(yuǎn)離干擾模態(tài)。

2) A、B兩相頻率是否一致。

3) 定子彈性體表面所激發(fā)行波的振幅和形態(tài)是否理想。因此，需要對環(huán)型定子進(jìn)行模態(tài)分析以確定其工作模態(tài)和諧振頻率，同時通過結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整，使工作模態(tài)與干擾模態(tài)盡量遠(yuǎn)離，這是超聲電機(jī)設(shè)計中的關(guān)鍵。

4) 通過諧響應(yīng)分析可以確定工作模態(tài)頻率激勵下產(chǎn)生的最大振幅。利用有限元軟件對超聲電機(jī)定子進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析是目前最常用的手段。定子材料的相關(guān)屬性如表2所示。

表2 定子材料主要參數(shù)

在ANSYS中建立初始參數(shù)尺寸的定子模型，劃分網(wǎng)格、設(shè)置邊界條件(內(nèi)圈3個沉頭孔施加固定約束、外圈自由)后進(jìn)行模態(tài)分析，解算得到前100階定子模態(tài)的頻率和振型，并從中篩選出B07模態(tài)及其鄰近模態(tài)，如表3所示。

表3 B07模態(tài)及其鄰近模態(tài)

研究表明，工作模態(tài)與干擾模態(tài)頻率相差大于2 kHz，干擾模態(tài)不會影響電機(jī)的正常工作[8]。根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果，工作模態(tài)的兩個簡并模態(tài)共振頻率較一致，和相鄰前1階干擾模態(tài)頻率差僅有782 Hz，和后1階干擾模態(tài)頻率約有1.2 kHz的差值，易產(chǎn)生模態(tài)混疊，影響定子的工作性能。因此，需要對環(huán)形定子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，使其工作模態(tài)盡量遠(yuǎn)離干擾模態(tài)。

在對定子進(jìn)行模態(tài)分析后，通過諧響應(yīng)分析可檢驗(yàn)定子在工作頻率附近的簡諧電壓激勵下的振幅大小，即定子的幅頻特性。在諧響應(yīng)分析中需添加壓電陶瓷的壓電耦合關(guān)系，其壓電本構(gòu)方程為[9]

T=cES-eE

(4)

D=eTS+εSE

(5)

式中：T為應(yīng)力張量;D為電場強(qiáng)度張量;S為應(yīng)變張量;E為電場強(qiáng)度張量;cE為恒電場下的彈性系數(shù)矩陣;e為壓電常數(shù)矩陣;εS為介電常數(shù)矩陣。利用ANSYS軟件模擬壓電陶瓷驅(qū)動定子系統(tǒng)動力學(xué)方程為[10]

(6)

式中：Qu為節(jié)點(diǎn)位移矢量;Qφ為節(jié)點(diǎn)電勢矢量;M為質(zhì)量矩陣;Cs為單元結(jié)構(gòu)阻尼矩陣;Cd為單元介電阻尼矩陣;Ks為剛度矩陣;Kd為介電常數(shù)系數(shù)矩陣;Kp為壓電耦合矩陣;Fu為節(jié)點(diǎn)力矢量;Fφ為電荷矢量。對壓電陶瓷施加激勵電壓峰-峰值為120 V，根據(jù)表3的數(shù)據(jù)，頻率設(shè)為44～47 kHz，得到定子系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如圖4所示。

圖4 定子系統(tǒng)幅頻特性

由圖4可知，定子驅(qū)動面的最大響應(yīng)振幅約為1.7 μm。根據(jù)定子表面質(zhì)點(diǎn)周向位移函數(shù)[2]：

uc(x)=(πWh0/λ)cos(ωt-nx)

(7)

式(7)對時間求導(dǎo)可得定子周向速度函數(shù)：

(8)

式中:W為縱向振幅;h0為定子彈性體基板厚度;λ為振動波長;ω為角頻率;n為波數(shù)。式(8)表明，如果定子振幅較小，會造成周向速度低，縱向振幅過小甚至可能出現(xiàn)無法克服轉(zhuǎn)子表面粗糙度而停轉(zhuǎn)。因此，在進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計中，需要盡量提高定子振幅。

2.3 定子結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

超聲電機(jī)定子的設(shè)計通常采用參數(shù)分析法，這種方法是一種試誤法，需要較多時間來尋找合適的參數(shù)集。如果輸入?yún)?shù)很多，那么要檢查的配置數(shù)量可能非常龐大，且設(shè)計結(jié)果是次優(yōu)的[11]。

響應(yīng)面法是獲得給定目標(biāo)隨輸入?yún)?shù)變化的有效方法，在給定輸入變量上提供性能的連續(xù)變化，精度可控制，有利于進(jìn)一步優(yōu)化?；陧憫?yīng)面法的優(yōu)化設(shè)計原理是：首先確定每個設(shè)計變量的合理變化范圍(設(shè)計空間)，利用概率采樣挑選設(shè)計空間中的若干點(diǎn)并建立響應(yīng)面模型(最佳擬合面)，最后采用優(yōu)化算法進(jìn)行全局優(yōu)化[12]。

根據(jù)前述分析，確定定子設(shè)計的兩個優(yōu)化目標(biāo)：

1) 工作模態(tài)頻率盡量遠(yuǎn)離相鄰干擾模態(tài)頻率。

2) 定子表面質(zhì)點(diǎn)振幅最大。

為了更有效地進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，在確定最終設(shè)計變量前應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度分析，以確定影響定子優(yōu)化目標(biāo)的關(guān)鍵因素。結(jié)合模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析結(jié)果及表1中所列參數(shù)，5個設(shè)計參數(shù)分別對定子振幅、工作模態(tài)頻率、干擾模態(tài)頻率1(相鄰前1階)、干擾模態(tài)頻率2(相鄰后1階)的靈敏度分析結(jié)果如圖5所示。

圖5 設(shè)計參數(shù)的靈敏度

由圖5可知，p1對振幅、工作模態(tài)頻率和干擾模態(tài)頻率2的靈敏度都較低。p2對振幅和模態(tài)頻率的靈敏度都很高，且對工作模態(tài)的靈敏度高于干擾模態(tài)。p3對振幅和干擾模態(tài)頻率1的靈敏度比工作模態(tài)頻率和干擾模態(tài)頻率2大，而p4對振幅的靈敏度較模態(tài)頻率略大，p5對振幅的靈敏度較低，但對模態(tài)頻率靈敏度有一定貢獻(xiàn)。根據(jù)以上現(xiàn)象，最終的設(shè)計變量排除p1，保留p2、p3、p4和p5。建立對應(yīng)的兩個優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，為使目標(biāo)函數(shù)尺度接近，進(jìn)行了比例縮放并轉(zhuǎn)換為無量綱數(shù)。

(9)

(10)

式中：Fw、Ff、Fb分別為工作模態(tài)頻率、前1階干擾模態(tài)頻率、后1階干擾模態(tài)頻率。設(shè)定工作頻率為40～48 kHz，則最終的優(yōu)化模型為

(11)

采用非參數(shù)回歸法建立優(yōu)化參數(shù)的響應(yīng)面模型，利用稀疏網(wǎng)格自適應(yīng)加密抽取采樣點(diǎn)，最終得到設(shè)計變量與目標(biāo)響應(yīng)的響應(yīng)面模型。選取靈敏度較高的兩個參數(shù)p2、p3分別對應(yīng)G1、G2的響應(yīng)面如圖6所示。響應(yīng)面的擬合質(zhì)量可由誤差決定系數(shù)反映，圖6中的G1、G2響應(yīng)面誤差決定系數(shù)分別為98.93%和98.84%，表明所構(gòu)造的響應(yīng)面模型具有較高精度，可作為優(yōu)化的近似對象模型。

圖6 部分結(jié)構(gòu)參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)G1,G2的三維響應(yīng)面

優(yōu)化算法選擇多優(yōu)化目標(biāo)的迭代遺傳算法(MOGA)，該方法是一種全局優(yōu)化算法，適合于多目標(biāo)優(yōu)化問題[13]。種群大小設(shè)置為100，最大進(jìn)化代數(shù)取200。優(yōu)化得到的Pareto前沿如圖7所示。

圖7 Pareto前沿

由圖7可知，兩個優(yōu)化目標(biāo)在較大范圍內(nèi)相互制約，需要根據(jù)不同的策略選擇最終的非劣解。本文在選擇優(yōu)化結(jié)果時，以側(cè)重模態(tài)分離為原則挑選優(yōu)化參數(shù)，表4為優(yōu)化前、后及修正結(jié)果的對比。

表4 優(yōu)化前、后及修正結(jié)果對比

3 實(shí)驗(yàn)測試

試制了一個定子并黏貼好壓電陶瓷片，利用二維激光測振儀對其進(jìn)行定掃頻實(shí)驗(yàn)，所加交變電壓峰-峰值為120 V，電流為0.3 A，測試結(jié)果如圖8所示。

圖8 定子定掃頻振動測試結(jié)果

由圖8可知，定子B07模態(tài)A、B兩相頻率均為42.7 kHz，具有很好的模態(tài)一致性。定子縱向振幅約2.3 μm，具有良好的振動表現(xiàn)。模態(tài)頻率值和有限元分析結(jié)果相差約0.6 kHz，誤差較小。定頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在42.7 kHz頻率下，均能激勵出良好的A、B兩相駐波，模態(tài)較純，證明設(shè)計的定子結(jié)構(gòu)合理可靠，可以產(chǎn)生良好的行波。

4 結(jié)束語

創(chuàng)新性的將三爪卡盤自動定心的特點(diǎn)應(yīng)用在球形超聲電機(jī)的夾持機(jī)構(gòu)中。建立了單個定子對球形電機(jī)輸出力矩的數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用有限元分析軟件對定子結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析、模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，并建立了基于響應(yīng)面模型的多目標(biāo)優(yōu)化模型。優(yōu)化結(jié)果成功實(shí)現(xiàn)了定子模態(tài)分離要求，并提高了表面振幅。定子試制件的定掃頻實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果也表明，本文設(shè)計定子所采用的優(yōu)化方法是有效的，為多自由度球形超聲電機(jī)的實(shí)現(xiàn)奠定了良好基礎(chǔ)。