江蘇省蘇州國(guó)際外語(yǔ)學(xué)校 吳妍迪

線段的中點(diǎn)把線段分成長(zhǎng)度相等的兩個(gè)部分，是幾何圖形中的一個(gè)特殊的點(diǎn)。圖形中出現(xiàn)的中點(diǎn)，可以引發(fā)我們豐富的聯(lián)想。解題中，經(jīng)常需要根據(jù)問(wèn)題具體情境，利用中點(diǎn)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線，解決問(wèn)題。下面結(jié)合幾道例題具體談?wù)勅绾吻捎弥悬c(diǎn)解決問(wèn)題。

例1：如圖1，在△ABC 中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD=AB，取AB 的中點(diǎn)E，連接CD 和CE。求證：CD=2CE。

分析：從條件分析，圖中出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn)：E 為AB 中點(diǎn)，B 為AD 的中點(diǎn)。而E、B 在邊AD 上，不能發(fā)揮中線或中位線的作用。但從結(jié)論分析，此題目求證的是長(zhǎng)度的2 倍關(guān)系，聯(lián)想到三角形中位線、直角三角形斜邊上的中線構(gòu)造輔助線，然而此題未出現(xiàn)直角，只能構(gòu)造中位線，并且構(gòu)造長(zhǎng)度為DC 一半長(zhǎng)度的中位線，即找到了以B 為一端點(diǎn)的中位線。

所 以，取AC 中 點(diǎn)F，連 接BF。BF 為△ADC 的 中 位 線，BF=CD，易證△EBC ≌△FCB，則CE=BF，得證。

小結(jié)：本題中直接給出一個(gè)中點(diǎn)，認(rèn)真審題后不難發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)B 是線段AD 的中點(diǎn)。當(dāng)已知條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常常構(gòu)造三角形中線或中位線來(lái)解題。又因?yàn)榍笞C倍半關(guān)系，在未出現(xiàn)直角的情況下，選擇構(gòu)造三角形中位線求解。

例2： 如 圖2， 已 知 正 方 形ABCD 中，E 為對(duì)角線BD 上一點(diǎn)，過(guò)E 點(diǎn)作EF ⊥BD 交BC 于F，連接DF，G 為DF 中點(diǎn)，連接EG，CG。

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖2 中△BEF 繞B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖3 所示，其他條件不變，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：（1）本小題要求證的線段EG、CG 分別是兩個(gè)直角三角形△EFD、△CFD 內(nèi)的線段，而G 點(diǎn)為公共斜邊DF 上的中點(diǎn)，則EG、CG 分別為兩個(gè)三角形斜邊上的中線，易聯(lián)想到直角三角形中線性質(zhì)定理，DF 為公共邊，從而證明兩條線段相等。

（2）本小題在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換后，DF 的中點(diǎn)G 不屬于直角三角形中，EG、CG 不再是中線，無(wú)法發(fā)揮三角形中線的作用。按照題（1）的經(jīng)驗(yàn)，如果能構(gòu)造出直角三角形斜邊上的中線模型，即可得證（見(jiàn)法一、法二）。如果不構(gòu)造直角三角形，那么借助中點(diǎn)，仍可聯(lián)想中位線模型嘗試解決（見(jiàn)法三）。

法一：借助EF ⊥AB,構(gòu)造直角三角形。延長(zhǎng)EF 與CD 交于點(diǎn)H，連接GH（如圖4 所示）。此時(shí)GH 為Rt △FHD 的中線，是DF 長(zhǎng)度的一半，與GF 長(zhǎng)度相等，從而易證△EFG ≌△CHG，得證。

法二：借助DF 的中點(diǎn)G、EF ∥AD，構(gòu)造“×字型”全等及直角三角形。延長(zhǎng)EG 與AD 的延長(zhǎng)線相交于H 點(diǎn)，連接EC、HC。（如圖5 所示）此時(shí)，EG=GH，G 為EH 的中點(diǎn)。又易證△EBC ≌△HDC，則∠ECH=90°，從而用直角三角形斜邊上的中線得證。（也可用其他方法得到，如證明△ECH 為等腰直角三角形等）

法三：借助DF 的中點(diǎn)G，取AE 的中點(diǎn)H，連接AG，如圖6 所示,此時(shí)GH 為梯形EFDA 的中位線，與EF 平行，加之H 為AE 的中點(diǎn)，易證△AGE 為等腰三角形，AG=EG。由對(duì)稱變化可得AG=GC，從而得證。

小結(jié)：本題第一小題給出具有公共邊的兩個(gè)直角三角形，利用斜邊上的中線證明線段相等，給出中點(diǎn)聯(lián)想三角形中線的方法。運(yùn)用到第二小題，只給出中點(diǎn)，對(duì)比第一小題，缺少直角三角形的條件。通過(guò)對(duì)題目已知條件的分析，利用EF ⊥AB、DF 的中點(diǎn)G 分別構(gòu)造直角三角形模型，解決問(wèn)題。同時(shí)，在沒(méi)有出現(xiàn)直角三角形的情況下，運(yùn)用中點(diǎn)聯(lián)想到常用的中位線模型，同樣能快速解決問(wèn)題。

直角三角形中斜邊中線及其性質(zhì)在直角三角形中起著重要作用，除了出現(xiàn)2 倍關(guān)系之外，這條中線還把直角三角形分割成兩個(gè)頂角互補(bǔ)、底角互余的等腰三角形，借助中點(diǎn)，如果我們能把握?qǐng)D形特征，恰當(dāng)構(gòu)造出直角三角形斜邊上的中線，借助它的性質(zhì)，往往能幫助我們迅速打開(kāi)解題思路，順利解決問(wèn)題。

中位線是三角形中具有重要性質(zhì)的線段，三角形中位線定理更是平面幾何中具有重要價(jià)值的定理，它既呈現(xiàn)出了線段之間的位置關(guān)系，又傳遞了線段長(zhǎng)度的關(guān)系，在一些幾何解題中，我們常常會(huì)見(jiàn)到它的身影，特別是又遇到了中點(diǎn)，往往會(huì)聯(lián)想到三角形中位線，利用中位線定理建立模型，解決問(wèn)題。

巧用中點(diǎn)解決問(wèn)題，當(dāng)我們把握住圖形的特征，讀懂題目條件的含義，分析結(jié)論，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹芯€及中位線，就能幫助我們迅速、正確地解決復(fù)雜問(wèn)題。